Conceptul bayesian de probabilitate

După ce matematicianul englez Thomas Bayes numit termenul de probabilitate bayesiană ( englez . Bayesianism ) interpretează probabilitatea ca un grad de convingere personală ( gradul de convingere englezesc ). Astfel diferă de concepția obiectivistă a probabilității, cum ar fi conceptul frecventist de probabilitate , care interpretează probabilitatea ca o frecvență relativă.

Conceptul bayesian de probabilitate nu trebuie confundat cu teorema lui Bayes , care se întoarce și la Thomas Bayes și este larg utilizată în statistici .

Dezvoltarea conceptului bayesian de probabilitate

Conceptul bayesian de probabilitate este adesea folosit pentru a re-măsura plauzibilitatea unei afirmații în lumina noilor descoperiri. Pierre-Simon Laplace (1812) a descoperit mai târziu această teoremă independent de Bayes și a folosit-o pentru rezolvarea problemelor din mecanica cerească, statisticile medicale și, potrivit unor rapoarte, chiar jurisprudența.

De exemplu, Laplace a estimat masa lui Saturn pe baza observațiilor astronomice existente ale orbitei sale. El a explicat rezultatele împreună cu o indicație a incertitudinii sale: "Pariez 11.000 la 1 că eroarea în acest rezultat nu va fi mai mare de 1/100 din valoarea sa." (Laplace ar fi câștigat pariul, deoarece 150 de ani mai târziu rezultatul a trebuit să fie corectat cu doar 0,37% pe baza datelor noi.)

Interpretarea bayesiană a probabilității a fost elaborată pentru prima dată în Anglia la începutul secolului al XX-lea. Mintile conducătoare au fost Harold Jeffreys (1891–1989) și Frank Plumpton Ramsey (1903–1930). Acesta din urmă a dezvoltat o abordare pe care nu a mai putut să o urmeze din cauza morții sale timpurii, dar care a fost luată independent de Bruno de Finetti (1906–1985) în Italia. Ideea este „estimări rezonabile” (engleză. Rational a fost ) considerată ca o generalizare a strategiilor de pariere: Având în vedere un set de informații / eșantioane / puncte de date și caută un răspuns la întrebarea cât de mare pariați pe acuratețea lui evaluare sau ce cote s-ar da. (Fundalul este că pariați mulți bani atunci când sunteți sigur de evaluarea dvs. Această idee a avut o mare influență asupra teoriei jocurilor ). O serie de broșuri împotriva metodelor statistice (frecventiste) s-au bazat pe această idee de bază, care a fost dezbătută între bayezieni și frecvenți încă din anii 1950 .

Formalizarea conceptului de probabilitate

Dacă cineva este pregătit să interpreteze probabilitatea ca „certitudine în evaluarea personală a unei situații” (vezi mai sus), se pune întrebarea cu privire la ce proprietăți logice trebuie să aibă această probabilitate pentru a nu fi contradictorii. Contribuții majore la acest lucru au fost făcute de Richard Threlkeld Cox (1946). El cere validitatea următoarelor principii:

1. Tranzitivitate : Dacă probabilitatea A este mai mare decât probabilitatea B și probabilitatea B este mai mare decât probabilitatea C, atunci și probabilitatea A trebuie să fie mai mare decât probabilitatea C. Fără această proprietate nu ar fi posibil să se exprime probabilitățile în numere reale, deoarece numerele reale sunt aranjate tranzitiv. În plus, ar apărea paradoxuri precum următoarele: Un om care nu înțelege tranzitivitatea probabilității a pariat pe calul A într-o cursă. Dar acum crede că calul B este mai bun și își schimbă cartea. Trebuie să plătească în plus, dar nu se supără pentru că acum are un card mai bun. Apoi crede că calul C este mai bun decât calul B. Schimbă din nou și trebuie să plătească ceva. Dar acum crede că calul A este mai bun decât calul C. Din nou schimbă și trebuie să plătească ceva. Întotdeauna crede că va primi o carte mai bună, dar acum totul este la fel ca înainte, doar că el este mai sărac.
2. Negare : Dacă avem o așteptare cu privire la adevărul a ceva, atunci implicit avem și o așteptare cu privire la neadevărul său.
3. Condiționare: Dacă avem o așteptare cu privire la adevărul lui H și, de asemenea, o așteptare cu privire la adevărul lui D în cazul în care H este adevărat, atunci implicit avem și o așteptare cu privire la adevărul simultan al lui H și D.
4. Coerență (soliditate): Dacă există mai multe metode de utilizare a anumitor informații, atunci concluzia este întotdeauna aceeași.

Valorile probabilității

Se pare că următoarele reguli trebuie să se aplice valorilor de probabilitate W (H):

1. ${\ displaystyle 0 \ leq W (H) \ leq c}$         noi alegem .${\ displaystyle c = 1}$
2. ${\ displaystyle \! \, W (H) + W (! H) = c = 1}$       „Regula sumei”
3. ${\ displaystyle \! \, W (H, D) = W (D | H) W (H)}$     „Regula produsului”

Aici înseamnă:

• H sau D : Ipoteza H este adevărată (apare evenimentul H) sau ipoteza D este adevărată (apare evenimentul D)
• W (H) : Probabilitatea ca Ipoteza H să fie adevărată (evenimentul H apare)
• ! H : Nu H: ipoteza H nu este adevărată (evenimentul H nu se produce)
• H, D : H și D sunt ambele adevărate (apar ambele) sau una este adevărată, iar cealaltă apare.
• W (D | H) : Probabilitatea ca Ipoteza D să fie adevărată (sau să apară evenimentul D) în cazul în care H ar fi adevărat (sau s-ar produce)

Altele pot fi derivate din regulile de probabilitate de mai sus.

Semnificație practică în statistici

Pentru a putea aborda astfel de probleme în cadrul interpretării frecventiste, incertitudinea este descrisă acolo prin intermediul unei variabile variabile aleatorii inventate în acest scop. Teoria probabilității bayesiene nu are nevoie de o astfel de mărime auxiliară. În schimb, introduce conceptul de probabilitate a priori , care rezumă cunoștințele anterioare ale observatorului și ipotezele de bază într-o distribuție de probabilitate . Reprezentanții abordării bayesiene consideră că este un mare avantaj să se exprime în mod explicit cunoștințele anterioare și presupunerile a priori în model.

literatură

• David Howie: Interpretarea probabilității, controverselor și dezvoltărilor la începutul secolului al XX-lea , Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-81251-8
• Edwin T. Jaynes, G. Larry Bretthorst: Teoria probabilității: logica științei: principii și aplicații elementare , Cambridge Univ. Presă, 2003, ISBN 0-521-59271-2 , online .
• David MacKay: Teoria informației, inferența și algoritmii de învățare , Cambridge, 2003, ISBN 0-521-64298-1 , în special capitolul 37: inferența bayesiană și teoria eșantionării .
• DS Sivia: Data Analysis: A Bayesian Tutorial , Oxford Science Publications, 2006, ISBN 0-19-856831-2 , recomandat în special pentru probleme în fizică.
• Jonathan Weisberg: Varieties of Bayesianism (PDF; 562 kB), p. 477ff în: Dov Gabbay, Stephan Hartmann, John Woods (Hgg): Handbook of the History of Logic , Vol. 10, Inductive Logic , North Holland, 2011, ISBN 978-0-444-52936-7 .
• Dieter Wickmann: Statistici Bayes. Obțineți informații și decideți în caz de incertitudine [= Textele matematice, volumul 4]. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim / Viena / Zurich 1991, ISBN 978-3-411-14671-0 .