Cuplu

Mărimea fizică
Nume de familie	Cuplu
Simbolul formulei	${\ displaystyle {\ vec {M}}}$
Dimensiune și sistem de unitate unitate dimensiune SI Nm = N • m M • L 2 • T −2 cgs dyn • cm M • L 2 • T −2

Cuplul ( de asemenea , momentul sau moment de forță, din latină impuls forța de circulație) este o cantitate fizică în mecanica clasică , care descrie efectul de rotație a unei forță , un cuplu de forță sau un alt sistem de forțe pe un corp . Joacă același rol în mișcările de rotație ca forța în mișcările liniare . Un cuplu poate accelera sau frâna rotația unui corp și poate îndoi corpul ( momentul de încovoiere ) sau îl poate răsuci ( momentul de torsiune ). În arborii de transmisie , cuplul, împreună cu viteza, determină puterea transmisă . Fiecare cuplu poate fi descris de câteva forțe. Cuplul unei perechi de forțe este independent de punctul de referință, deci poate fi deplasat ca vector liber .

Folosit pe plan internațional Unitatea de măsură pentru măsurarea cuplului este contorul newton . Ca formulă, simbolul este comun. Dacă o forță acționează asupra brațului unei pârghii în unghi drept , cantitatea de cuplu se obține înmulțind cantitatea de forță cu lungimea brațului pârghiei: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle M = h \ cdot F}$

${\ displaystyle M}$este cantitatea de vector a cuplului care rezultă din produsul transversal al vectorului de poziție și vectorul de forță: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Este vectorul de poziție de la punctul de referință al cuplului până la punctul de aplicare a forței. Direcția vectorului cuplului indică direcția de rotație a cuplului. Punctul de referință poate fi selectat în mod liber; nu trebuie să fie punctul în jurul căruia corpul se rotește (în unele cazuri nu există un astfel de punct) și nu trebuie să fie un punct al corpului asupra căruia acționează forța. Cuplul unei forțe unice, la fel ca impulsul unghiular, este, prin urmare, definit doar în raport cu un punct, care este uneori menționat în mod explicit: ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}$cu punct de referință .${\ displaystyle A}$

Dacă mai multe forțe ( ) acționează asupra punctelor diferite , cuplul total este suma vectorială a cuplurilor individuale: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ dotsc}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec {F}} _ {i}}$

Dacă două forțe paralele acționează asupra unui corp, care au aceeași cantitate, dar direcție opusă și ale căror linii de acțiune sunt la o anumită distanță , ele provoacă un cuplu cu cantitatea . Se vorbește apoi despre câteva forțe . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle M = F \ cdot h}$

Denumiri și delimitare

Cuplul ca moment de prim ordin

Termenul „moment” este utilizat în general pentru caracteristicile distribuțiilor care se referă la formă

${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}$

adu-l. În cazul unui cuplu, funcția care atribuie o forță locației și ordinea trebuie luată pentru măsură . Cuplul este, prin urmare, momentul de prim ordin ( moment dipol ) al unei distribuții a forței. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n = 1}$

În loc de o distribuție a forței, pot fi luate în considerare și alte mărimi fizice și distribuțiile acestora, ca în cazul unei expansiuni multipolare , dezvoltată în general în funcție de momente. Cantitățile rezultate care nu sunt cupluri sunt, de asemenea, menționate cu cuvinte care conțin terminația -moment . Exemple sunt momentul zonei , momentul inerției sau momentul magnetic .

Alegerea cuvintelor în știință și tehnologie

În lucrările de mecanică teoretică și fizică, cantitatea fizică tratată aici este în general denumită cuplu . În mecanica tehnică , precum și în standardele DIN și VDI , variabila este de obicei denumită moment . De asemenea, este denumit rareori, în general, cuplu și, uneori, cuplul de desemnare este, de asemenea, respins ca „colocvial”. Uneori, cuplul este folosit pentru momentul a două forțe. În majoritatea cazurilor, cuplul este utilizat numai atunci când corpul în cauză se rotește, de exemplu atunci când strângeți șuruburile sau arborii motorului, dar nu și atunci când există o deformare (moment de îndoire sau de torsiune) sau efectul nu este încă cunoscut (Moment).

Există, de asemenea, o serie de cupluri care se formează cu sufixul -moment , cum ar fi momentul de încovoiere, momentul de torsiune sau momentul de acționare. Nu sunt utilizate denumiri precum cuplul de îndoire sau cuplul de torsiune.

Cupluri speciale în tehnologie

Se face o distincție între

Tipul de stres:

• Moment de îndoire : Un moment care stresează o componentă în îndoire .
• Moment de torsiune : momentul în care o componentă este supusă torsiunii .
• Moment de tăiere: reacție de tăiere atunci când tăiați liber .

Tipul mișcării:

• Yaw, pitch, moment de rulare: momente în jurul axelor speciale ale unui corp rigid atunci când se țâșnește , se înclină și se leagănă .

Tipul efectului:

• Cuplul de pornire: cuplul pe care un motor primar îl poate oferi dintr-o oprire (mai rar denumit și cuplul de rupere) sau de care are nevoie o mașină de lucru sau un vehicul la pornire.
• Cuplul de acționare: Cuplul care acționează asupra arborelui de intrare al unei mașini sau al cutiei de viteze, pe puntea roții unui vehicul sau pe puntea unei elice . Pentru motorul de antrenare sau treapta de viteză este cuplul de conducere Ab .
• Cuplu sau cuplu: Cuplul căruia la fixare (strângere) i se aplică un șurub.
• Moment de basculare: în mecanică, momentul în care un obiect vertical se răstoarnă. În electrotehnică, cuplul maxim în curba de cuplu / viteză a unui motor asincron . Consultați punctul de referință pentru detalii .
• Cuplul de încărcare : Cuplul pe care o mașină de lucru se opune motorului de conducere sau cutiei de viteze. Pentru motorul principal sau cutia de viteze, este cuplul de ieșire.
• Moment de reținere : un moment generat la reținere , adică atașarea unui corp. Împiedică rotirea corpului.
• Moment decalat: momentul unei forțe în raport cu punctul de referință pentru forța și echilibrul momentului.

Alte:

• Cuplu nominal: Cuplul pentru o componentă în construcția dimensionată a fost.
• Moment nominal: momentul în care a fost concepută o componentă.
• Cuplu specific: Cuplul pe litru de deplasare pentru motoarele cu piston. Valorile maxime pentru motoarele pe benzină în patru timpi și pentru motoarele diesel mari în patru timpi sunt de 200 Nm / dm³. Motoarele diesel marine mari în doi timpi ating 300 Nm / dm³.

Tipuri de cupluri

Se face o distincție între

• cuplul unei forțe unice față de un punct,
• cuplul unei forțe unice față de o axă și
• cuplul unui cuplu de forțe .

Cu primii doi termeni, cantitatea și direcția de rotație a cuplului depind de piesa de referință (punct sau linie dreaptă). Cu cuplul de forțe, totuși, același cuplu total este întotdeauna obținut, indiferent de piesa de referință, dacă cuplurile forțelor individuale ale cuplului de forțe sunt luate în considerare și adăugate.

Pentru toate cele trei tipuri, sunt posibile două abordări diferite, echivalente:

• O considerație mixtă, geometrică și algebrică în care cantitatea de cuplu este produsul forței și al brațului pârghiei. Planul de acțiune și direcția de rotație rezultă din considerații geometrice.
• A doua variantă este una pur analitică. Cuplul este privit ca un vector, care are ca rezultat ca produsul vectorial al poziției vectorului și vectorul forței . Vectorul cuplului indică apoi cantitatea, planul de acțiune și direcția de rotație.

Ce considerație este mai adecvată depinde de problema de examinat și de cunoștințele matematice ale utilizatorului. Dacă toate forțele de acțiune sunt în același plan, se recomandă abordarea geometric-algebrică, care se obține cu o matematică comparativ simplă. Dacă forțele formează un sistem de forțe spațiale , o astfel de procedură este posibilă, dar dificilă. Reprezentarea vectorială este atunci adecvată, dar necesită cunoașterea conceptelor mai avansate de matematică, cum ar fi produsul vector. În plus, relațiile matematice generale dintre cuplu și alte mărimi fizice, cum ar fi cele examinate în mecanica teoretică, pot fi reprezentate mai ușor cu vectori. În manuale și manuale introductive despre mecanica tehnică, este preferată inițial abordarea geometric-algebrică. Pe de altă parte, în manualele de mecanică teoretică și în lucrările de referință despre mecanica tehnică, reprezentarea vectorială este larg răspândită.

Următoarele se aplică cuplului de cuplu pentru toate cele trei tipuri: forța timpului brațului manetei. Un singur cuplu acționează într-un singur plan și este, în general, suficient să se ia în considerare acest plan. Cuplul poate fi apoi specificat printr-un singur număr, al cărui semn indică direcția de rotație. Cuplurile care se rotesc în sens invers acelor de ceasornic, adică într-un sens matematic pozitiv, sunt de obicei numărate pozitiv. Dacă există mai multe cupluri care nu acționează în același plan, este mai util să le descriem cu vectorul lor de cuplu. Aceasta este perpendiculară pe planul în care acționează cuplul.

Sunt posibile diferite moduri pentru derivarea teoretică a cuplurilor. Cuplul unei singure forțe poate fi definit pe baza legilor de bază ale mecanicii. Cuplul unei perechi de forțe este atunci suma cuplurilor celor două forțe. În schimb, considerațiile despre rezultatul unei perechi de forțe duc direct la cuplul său. Cuplul unei forțe unice este apoi obținut prin deplasarea forței pe o linie de acțiune paralelă (cuplul decalat, vezi deplasarea forțelor de mai jos ).

Cuplul unei forțe față de un punct

Cuplul sau momentul unei forțe (simple) față de un punct acționează în planul care conține forța și punctul de referință. La acest nivel, cantitatea sa este definită ca produsul brațului pârghiei și cantitatea de forță : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle M = a \ cdot F}$

Pentru a evita confuzia cu alte cupluri, se remarcă și punctul de referință:

${\ displaystyle M ^ {(A)}}$sau .${\ displaystyle M _ {(A)}}$

Brațul pârghiei este distanța verticală dintre punctul de referință și linia de acțiune a forței. Aceasta nu este, în general, linia de conexiune directă între punctul de referință și punctul de aplicare a forței. Deoarece brațul pârghiei nu se schimbă atunci când forța este deplasată de-a lungul liniei sale de acțiune, cuplul său nu se schimbă. Punctul de referință în sine poate fi selectat în mod liber. Nu trebuie să fie punctul în jurul căruia se rotește corpul în cauză. Acest lucru este parțial necunoscut și nu există deloc un astfel de punct pentru corpurile care sunt ferm conectate la mediul lor. Punctul de referință nu trebuie să facă parte din corpul asupra căruia acționează forța. Atât cantitatea, cât și direcția de rotație a cuplului depind de alegerea punctului de referință.

Definiția vectorului este

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$.

Acesta este produsul vectorial al poziției vectorului , care indică din punctul de referință la punctul de aplicare a forței, și vectorul forței . Magnitudinea vectorului de poziție nu corespunde în general cu brațul pârghiei. Cantitatea vectorului de cuplu poate fi calculată din cantitățile vectorului de poziție și forță și unghiul dintre cele două ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \ varphi}$

Prin urmare, este adevărat . ${\ displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$

Adesea cuplul este întotdeauna legat de origine prin convenție : ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Vectorul de poziție indică apoi de la origine până la punctul de aplicare a forței. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Vectorul cuplului este perpendicular pe planul în care acționează cuplul și, astfel, perpendicular pe planul care este întins de vectorul forței și poziției. Cantitatea sa, adică lungimea sa, corespunde cantității de cuplu și suprafeței paralelogramului, care este format de vectorul de poziție și forță. Direcția de rotație rezultă din regula din dreapta : Dacă apucați vectorul cuplului în mâna dreaptă în așa fel încât degetul mare să indice în direcția vârfului săgeții, atunci celelalte degete indică direcția de rotație.

Cuplul unei forțe față de o axă

Pentru cuplul unei forțe față de o axă, punctul de axă cel mai apropiat de punctul de aplicare a forței este selectat ca punct de referință. Distanța dintre punctul de aplicare și axă este apoi brațul pârghiei. Pentru calcul, se poate proiecta forța într-un plan perpendicular pe axă și apoi se folosește forța proiectată pentru a forma cuplul în raport cu punctul în care axa pătrunde în plan. Alternativ, cuplul forței inițiale poate fi generat și în raport cu orice punct de pe linia dreaptă. Vectorul cuplului este apoi proiectat într-un plan care este perpendicular pe linia dreaptă.

Cuplul a câteva forțe

O pereche de forțe este formată din două forțe care sunt pe linii de acțiune paralele, au aceeași cantitate și punct în direcții opuse. Spre deosebire de o singură forță, nu poate mișca un corp, dar încearcă să-l întoarcă. Cuplurile de forțe sunt deseori prezente atunci când corpurile se rotesc; cu toate acestea, una dintre cele două forțe nu este adesea recunoscută imediat, deoarece este în mare parte o forță constrângătoare . Cantitatea de cuplu generată de câteva forțe poate fi calculată ca produs al cantității uneia dintre cele două forțe și distanța dintre liniile lor de acțiune:${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle M = F \ cdot a}$

Vectorul de cuplu al cuplului de forțe poate fi calculat prin:

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Vectorul de poziție indică de la orice punct de pe linia de acțiune a unei forțe la orice punct de pe linia de acțiune a celeilalte forțe. Vectorul care leagă punctele de aplicare a celor două forțe este adesea folosit. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Efectul perechilor de forțe diferă de forțele individuale în unele puncte importante, motiv pentru care cuplurile perechilor de forțe diferă și de alte cupluri:

• Cuplul unui cuplu de forțe este independent de punctele de referință. Aceasta înseamnă că câteva forțe pot fi deplasate în orice locație fără a le schimba efectul sau cuplul.
• Câteva forțe pot fi înlocuite de cuplul său fără a modifica efectul asupra corpului asupra căruia acționează. O singură forță, pe de altă parte, nu poate fi înlocuită de cuplul său.
• Vectorul cuplului unei perechi de forțe poate fi mutat în orice locație. Este un vector gratuit . Vectorul cuplului unei forțe, pe de altă parte, este un vector axial . Poate fi deplasat doar de-a lungul liniei drepte pe care o definește.

Derivații și relațiile dintre tipurile de cuplu

Există diferite moduri de a obține cuplurile pe baza legilor de bază ale mecanicii.

În mecanica teoretică

În mecanica teoretică, a doua lege a lui Newton este de obicei asumată sub forma „forța este egală cu masa accelerată”:

${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$

Vectorul indică în fiecare moment din timp, de la origine la locația punctului de masă, care este, de asemenea, punctul de aplicare a forței. Derivata vectorului poziție în ceea ce privește la timp da viteza , care este indicată printr - un punct, derivata a doua dă accelerației , care se caracterizează prin două puncte. Dacă ecuația de mai sus este multiplicată vectorial cu vectorul de poziție din stânga, rezultatul este cuplul forței în raport cu originea din stânga și derivata în timp a impulsului unghiular în dreapta : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) \ times {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ times m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( t)}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ dot {\ vec {L}}} (t)}$

Cuplul unui cuplu de forțe rezultă din adăugarea cuplurilor celor două forțe: ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ times {\ vec {F}} _ {2}}$

Deoarece este adevărat în cuplul forței , urmează și el ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ times {\ vec {F}} _ {1}}$,

în conformitate cu definiția de mai sus a cuplului unui cuplu de forțe, deoarece . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$

În mecanica tehnică

În mecanica tehnică, considerațiile despre rezultatul sistemelor de forță duc direct la cuplul unui cuplu de forțe. Cuplul unei singure forțe poate fi derivat din aceasta.

Cu paralelogramul forțelor , două forțe cu un punct comun de aplicare pot fi înlocuite cu o forță rezultantă. Dacă cele două forțe acționează asupra unui corp rigid, ele pot fi, de asemenea, combinate dacă numai liniile de acțiune ale celor două forțe se intersectează, deoarece forțele pot fi apoi deplasate la punctul de intersecție fără a modifica efectul asupra corpului. Cu forțe paralele, totuși, nu există un punct de intersecție. Dacă cele două forțe sunt de forță inegală, totuși, se poate găsi un punct de intersecție și se poate forma o forță rezultantă prin adăugarea a încă două forțe a căror forță rezultantă este zero. Cu toate acestea, pentru cuplul de forțe nu există un punct de intersecție, ci un cuplu diferit de forțe, posibil într-o locație diferită și cu linii de acțiune rotite la o distanță diferită una de cealaltă și o forță diferită a celor două forțe opuse egale. . Forța produsului de ori distanța dintre liniile de acțiune , adică cuplul, rămâne întotdeauna constantă. Perechea de forțe nu poate fi înlocuită de o singură forță rezultată, ci doar de o altă pereche de forțe cu același cuplu. Prin urmare, cuplul de forțe poate fi înlocuit destul de general de cuplul său.

Cuplul unei forțe unice față de un punct rezultă din cuplul unei perechi de forțe care utilizează cuplul de deplasare (a se vedea deplasarea forțelor de mai jos ). Se consideră linia paralelă cu linia de acțiune prin punctul de referință ca linia de acțiune a două forțe opuse egale de aceeași magnitudine ca forța individuală. Forța individuală este combinată cu noua forță corespunzătoare pentru a forma un cuplu de forțe și aceasta este apoi înlocuită de cuplul său. Rezultatul corespunde deplasării forței individuale originale și adăugării cuplului unui cuplu de forțe. Acesta din urmă este momentul compensat.

Reprezentări și notații

Există numeroase notații pentru cupluri în ecuații și reprezentări în desene. Dacă un plan este prezentat în desene în care acționează cuplul, acesta este de obicei reprezentat de o săgeată curbă care poate varia între un sfert de cerc și un cerc de trei sferturi. Vârful indică apoi direcția de rotație. În reprezentările tridimensionale, săgețile sunt utilizate ca cercuri de trei sferturi care se rotesc în jurul anumitor axe sau săgeți drepte care arată vectorii de cuplu. Așa cum se întâmplă în general cu vectorii, aceștia pot fi reprezentați printr-o săgeată simplă. Deoarece forțele și cuplurile apar simultan în multe probleme mecanice, vectorii cuplului sunt, de asemenea, marcați cu un punct dublu pentru a evita confuzia.

Dependența de punctul de referință

În sistemele care nu sunt în echilibru, valoarea cuplului depinde în general de alegerea punctului de referință. Dacă punctul de referință este deplasat de distanță , cuplul față de noul punct de referință are valoarea ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ times {\ vec {F}}.}$

Aici este forța rezultantă , adică suma tuturor forțelor individuale . ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$

Dacă forța rezultată este zero, corpul nu experimentează nicio accelerație și centrul de greutate nu își schimbă viteza sau direcția de mișcare. Forța schimbă doar impulsul unghiular. În acest caz, cuplul este independent de punctul său de referință și poate fi deplasat liber, fără a modifica efectul asupra corpului. Deoarece (cel puțin) două forțe sunt necesare pentru această situație, care au aceeași cantitate, dar o direcție opusă și ale căror linii de acțiune au o anumită distanță , se vorbește despre un cuplu de forțe . Cuplul de forțe provoacă un cuplu cu cantitatea . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle M = aF}$

Unitate de măsură

Unitatea de măsurare pentru măsurarea cuplului în SI este newton metru (Nm). Cu unitățile de bază de kilograme, metri și secunde, se aplică următoarele:

${\ displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}$

Unitatea de lucru mecanic este, de asemenea, newtonmetrul și are denumirea de "Joule" (1 J = 1 N · m). Numele unității „Joule” nu poate fi utilizat pentru cuplu, deoarece cuplul și lucrul sunt mărimi fizice diferite care nu pot fi convertite unul în altul. Munca se efectuează atunci când o forță (componentă) acționează paralel cu mișcarea atunci când se deplasează de-a lungul unei căi. Pe de altă parte, cu cuplul, forța acționează perpendicular pe calea formată de brațul pârghiei. Lucrarea este o cantitate scalară , în timp ce cuplul este un pseudo vector .

Propoziția „lucru = forță ori distanță” corespunde „lucru = cuplu ori unghi”. Pentru a arăta această relație, unitatea poate fi utilizată și pentru cuplu ca energie pe unghi

${\ displaystyle 1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}}$

poate fi utilizată, direcția vectorului îndreptată apoi în direcția axei de rotație. Aici, unitatea Radiant pentru unghiul plan. ${\ displaystyle \ mathrm {rad}}$

În documentele tehnice și pe plăcuțele tehnice, cuplul este specificat în unitatea Nm. Alte unități utilizate sunt de ex. B. sau combinații de alte unități de forță (greutate) și lungime. ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$

Adăugarea cuplurilor

Cuplurile pot fi adăugate la un cuplu rezultat, la fel ca forțele pot fi adăugate la o forță rezultată. Dacă se iau în considerare toate cuplurile, se vorbește și despre cuplul total. Setul de momente face corelații între forța rezultată și cuplul rezultat .

Cuplu total

Cuplurile individuale ale celor două forțe pot fi adăugate dacă se referă la același punct : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ times F_ {2}}$

Dacă există un număr de forțe, cuplul total este suma tuturor cuplurilor. Dacă sunt legate de origine, rezultă

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}$.

Vectorul indică de la origine la punctul de bază al forței . Dacă perechile de forțe au fost înlocuite de cuplurile lor , acestea trebuie adăugate și: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}$

Teorema momentului staticii

Legea momentelor statice spune că momentul forței rezultate are același efect asupra corpului ca momentul total, care rezultă din suma momentelor individuale: ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {R}} \ cdot F _ {\ mathrm {R}} = a_ {1} \ cdot F_ {1} + a_ {2} \ cdot F_ {2} + \ dotsb + a_ {n} \ cdot F_ {n}}$

Forța rezultată, care este formată din toate forțele existente, trebuie să aibă același efect asupra unui corp ca forțele individuale. Cantitatea și direcția forței rezultate rezultă din adunarea vectorială a forțelor individuale, dar nici punctul său de aplicare și nici linia de acțiune. Acestea sunt determinate folosind momentul stabilit. Forța rezultată trebuie să se afle pe linia de acțiune pe care generează același moment ca forțele individuale.

Setul de cuplu este deosebit de important atunci când se verifică echilibrul cuplului sau pentru calcularea forțelor necunoscute folosind echilibrul cuplului. Forțele care sunt oblice față de axele de coordonate din spațiu pot fi apoi împărțite în mai multe forțe care sunt perpendiculare pe axe. Momentele lor pot fi calculate mai ușor. Momentele produse de aceste componente ale forței corespund sumar momentului produs de forța originală.

echilibru

Când un corp se află în echilibru mecanic , acesta nu își schimbă starea de mișcare. Deci nu este nici accelerat, nici decelerat.

Un corp în echilibru, este situat atât în echilibrul forțelor , cât și în echilibrul cuplului sau echilibrul momentelor față de un punct arbitrar : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ vec {M}} _ {i} ^ {(A)}} = {\ vec {0}}}$

Acest lucru se aplică oricărui punct A și deci chiar și punctelor care se află în afara corpului. Există un punct în care liniile de acțiune a cât mai multor forțe se intersectează. În acestea, lungimea brațului pârghiei este zero, ceea ce duce la un cuplu zero. Ca urmare, aceste cupluri nu apar în ecuație, ceea ce simplifică calculul. Dacă există o singură forță necunoscută printre aceste forțe, aceasta poate fi calculată imediat. Uneori poate fi util să se determine mai multe echilibre de cuplu dacă acest lucru permite calcularea unei forțe necunoscute diferite pentru fiecare.

Dacă un corp se află în echilibru de cuplu față de un punct, nu se poate concluziona că acesta este, de asemenea, global în echilibru și la fel de puțin că este în echilibru de cuplu față de alte puncte. De exemplu, dacă acționează doar o singură forță, aceasta se află în echilibru de cuplu față de un punct de pe linia de acțiune a acestei forțe, dar nu în echilibru de cuplu față de punctele aflate la distanță de această linie și, de asemenea, nu în echilibru total, deoarece acționează o forță pentru care nu există o forță care dă. Cu toate acestea, un corp este în general în echilibru într-un plan dacă este în echilibru de cuplu în raport cu trei puncte diferite, cu condiția ca aceste trei puncte să nu fie pe o linie dreaptă.

Forțe schimbătoare

O săgeată de forță poate fi deplasată de-a lungul liniei sale de acțiune fără restricții fără a-și modifica efectul asupra unui corp rigid. În poziția în care vectorul de distanță este perpendicular pe linia de acțiune a săgeții de forță, se numește brațul pârghiei . În ceea ce privește cantitatea, se aplică următoarele: „Cuplul este egal cu forța brațului pârghiei”. Cu două forțe de acțiune (care sunt denumite apoi forță și sarcină ), echilibrul cuplului este echivalent cu legea pârghiei : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Timpi mici de forță forță = forța brațului ori sarcină.

(Rețineți că, strict vorbind, doar sumele sunt aceleași, deoarece cele două cupluri sunt în direcții opuse și, prin urmare, au semne diferite.)

Dacă o forță este deplasată perpendicular pe linia sa de acțiune de distanță pe o linie de acțiune paralelă, cuplul pe care îl provoacă se schimbă în comparație cu punctul de referință. Prin urmare, o forță poate fi schimbată în așa fel numai dacă este introdus și un cuplu care compensează această schimbare. Acesta este denumit momentul de deplasare sau momentul de compensare și are suma . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F \ cdot a}$

dinamica

În dinamica se ocupă cu statele care nu sunt în echilibru. Conform celei de- a doua legi a lui Newton , o forță externă rezultată asupra unui corp duce la o schimbare a vitezei ( accelerație ). În mod similar, un cuplu extern rezultat înseamnă o modificare a vitezei unghiulare ( accelerația unghiulară ). Cuplurile din interiorul corpului (moment de îndoire sau de torsiune) nu joacă un rol în schimbarea mișcării. Comportamentul de inerție în ceea ce privește rotația depinde nu numai de masa unui corp, ci și de distribuția sa spațială. Acest lucru este exprimat în termenii momentului de inerție . Când se rotește în jurul unei axe fixe, următoarele se aplică cuplului în direcția acestei axe: ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ dot {\ vec {\ omega}}}}$ ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alpha}$

Trebuie remarcat faptul că momentul de inerție nu depinde doar de poziția axei de rotație (vezi teorema lui Steiner ), ci și de direcția sa. Dacă doriți să formulați ecuația de mai sus mai general pentru orice direcție spațială, trebuie să utilizați în schimb tensorul de inerție : ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$

Relația dintre cuplu și viteza de schimbare a impulsului unghiular ( , răsucire, impuls ) poate fi exprimată ca: ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Această ecuație se află în mecanica inginerească ca moment unghiular, moment unghiular, viteza de cuplu sau rata de moment unghiular , respectiv. ( Momentul unghiular reprezintă, de asemenea , rata de conservare a momentului unghiular , setată în prezent este disponibilă și pentru momentul stabilit din statică .)

În cazul special bidimensional , un cuplu doar accelerează sau decelerează o mișcare de rotație. Cu toate acestea, în cazul general tridimensional, acesta poate schimba și direcția axei de rotație (vezi de exemplu precesiunea ).

Corespondențe între mișcare liniară și mișcare rotativă

Cuplul crește în mecanica clasică pentru mișcarea rotativă un rol similar cu forța pentru mișcarea liniară: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

	Mișcare în linie dreaptă	Mișcare rotativă
loc de munca	Forța de timp distanță ${\ displaystyle W = F \ cdot \ Delta s}$	Momentul momentului de rotație al cuplului ( radiani ) ${\ displaystyle W = M \, \ Delta \ varphi}$
	în general: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {F}} ({\ vec {s}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}}}$	în general: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {M}} ({\ vec {\ varphi}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}}}$
putere	Forța ori viteza ${\ displaystyle P = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Cuplul de ori viteza unghiulară ${\ displaystyle P = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Echilibrul static	Echilibrul forțelor ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {0}}}$	Echilibrul cuplului ${\ displaystyle \ sum {\ vec {M}} _ {i} = {\ vec {0}}}$
Mișcare accelerată	Masa ori accelerare ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Tensor de inerție ori accelerație unghiulară ${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$
	Rata de schimbare a impulsului ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}$	Rata de schimbare a impulsului unghiular ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

1. ↑ ^{a b} Aceste formule simplificate se aplică unei forțe constante de -a lungul unei căi în direcția forței sau unui cuplu constant în jurul unei axe în direcția de rotație. În cazul forțelor și cuplurilor variabile sau în cazul aranjamentelor unghiulare oblice, trebuie folosite formulele generale din linia de mai jos.

Măsurarea cuplului

Corp de odihnă

Corpul rotativ este menținut în repaus printr-un contra-cuplu static . Cuplul care trebuie măsurat și care acționează asupra corpului de repaus este același cu contra-cuplul care este generat, de exemplu, cu o pârghie și a cărui valoare este produsul lungimii brațului pârghiei și a contra forței la sfârșitul pârghia.

Corp rotativ

Cuplul care acționează asupra unui arbore rotativ la o anumită viteză se măsoară cu un dinamometru de frână, de exemplu o frână Prony sau o frână cu vortex de apă . Acest dispozitiv de frânare conectat la arbore absoarbe întreaga putere transmisă și măsoară cuplul în același timp.

De exemplu, un motor principal , pe al cărui arbore trebuie cuplat cuplul, sau dispozitivul de frânare sunt montate rotativ în jurul axei de rotație a arborelui, iar forța circumferențială contracarantă este măsurată la capătul liber al unui braț de pârghie atașat la mașină sau dispozitivul de frânare.

Măsurarea se repetă de mai multe ori și se generează o caracteristică de cuplu / viteză.

Cuplul care modifică viteza de rotație poate fi determinat prin măsurarea accelerației unghiulare  dacă se cunoaște momentul de inerție . Evaluarea se efectuează cu formula ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alpha}$.

Cupluri pe mașini selectate

Motoare electrice

Motorul asincron sub forma unui rotor cu colivie de veveriță este un motor electric utilizat frecvent. Imaginea arată cuplul tipic generat în timpul funcționării pe rețeaua electrică (frecvență și tensiune constantă) în funcție de viteză. Motorul poate fi acționat doar pentru o lungă perioadă de timp în intervalul redus de viteză din dreapta punctelor de basculare K1 sau K2 pe curba înclinată abrupt. În stânga punctelor de basculare se află zona de apropiere, care trebuie să fie întotdeauna traversată cât mai repede posibil. La pornire, motorul asincron are o eficiență slabă, un curent mare de pornire și un cuplu redus. Pentru a evita aceste dezavantaje, sunt utilizate diferite măsuri, de exemplu circuitul de pornire stea-deltă sau funcționarea pe un convertor de frecvență . Cu acesta din urmă, pornirea reușește cu mai mult decât cuplul nominal, astfel încât motorul să poată fi folosit și în acționările vehiculului.

Un motor frecvent utilizat este și motorul cu curent continuu înfășurat în serie , care are un cuplu de pornire deosebit de ridicat. Prin urmare, este utilizat pentru dispozitive portabile, mașini de spălat sau transmisii pe șine.

Motoare de combustie internă

În broșurile auto, este obișnuit ca motoarele cu ardere internă să specifice doar valoarea maximă a acestora împreună cu turația corespunzătoare în locul caracteristicii cuplului / turației înregistrate în timpul funcționării la sarcină maximă (a se vedea figura „Curbele caracteristice a două motoare cu ardere internă”).

Deoarece viteza este din nou inclusă în ecuația puterii ca factor liniar, puterea maximă este la o viteză mai mare decât cuplul maxim (a se vedea figura).

Următoarea formulă se aplică cuplului motoarelor în doi timpi: ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {2 \ pi}}}$

Aici este volumul de accident vascular cerebral și presiunea medie a combustibilului ars, adică activitatea realizată în cadrul ciclului ca „ori forta distanta“. ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle V_ {h} p_ {e}}$

Următoarele se aplică cuplului motoarelor în patru timpi:

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {4 \ pi}}}$

Deoarece cu două rotații pe ciclu de lucru, lucrarea pe rotație este redusă la jumătate în comparație cu motorul în doi timpi.

Exemplu numeric

Cuplul și puterea unui motor în patru timpi

Un vehicul de serie cu cilindree de 2000 cm³ (= 0,002 m³), ​​al cărui motor în patru timpi atinge o presiune medie de 9 bari (= 900,000 Pa ; 1 Pa = 1 N / m²) la o viteză de 2000 / min,  calculată în unități SI :

${\ displaystyle M = {\ frac {0 {,} 002 \, \ mathrm {m} ^ {3} \ cdot 900,000 \, {\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {m} ^ {2} }}} {4 \ pi}} = 143 \, \ mathrm {Nm}}$

Ecuația puterii în timpul unei mișcări rotative este (a se vedea mai sus ; ... viteza, numărul de rotații pe perioadă) ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ n \ M \}$

și în funcție de viteză

${\ displaystyle P (n) = 2 \ pi \ n \ M (n)}$.

${\ displaystyle M (n)}$este caracteristica cuplului dependent de turație pentru un motor specific. Se obține prin măsurare.

Un motor cu ardere internă care oferă un cuplu de 143 Nm la o viteză de 2000 rotații pe minut are  următoarea putere în această stare de funcționare:

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ cdot {\ frac {2000} {60 \ \ mathrm {s}}} \ cdot 143 \ \ mathrm {Nm} \ \ approx 30 \ \ mathrm {kW}}$ .

Motoare hidraulice

Puterea hidraulică a unui motor hidraulic este calculată din presiuni și la intrarea sau ieșirea motorului și volumul de ulei înghițit ( este volumul pe rotație): ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle Q = q \ cdot n}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle P = (p_ {1} -p_ {2}) \, qn}$

Din ecuația puterii în timpul unei mișcări rotative (vezi mai sus )

${\ displaystyle P = 2 \ pi Mn}$

cuplul urmează:

${\ displaystyle M = {\ frac {(p_ {1} -p_ {2}) \, q} {2 \ pi}}}$

literatură

• Wolfgang Nolting : Mecanică clasică. În: Curs de bază în fizică teoretică. Vol. 1, ediția a VIII-a. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
• Herbert Goldstein , Charles P. Poole și John L. Safko: Mecanica clasică (traducere: Michael Baer). 3, complet revizuit și exp. Ediție. Wiley-VCH, Weinheim 2006. (Fizică manuală ), ISBN 3-527-40589-5 .
• Richard P. Feynman : Feynman prelege despre fizică. Oldenbourg, München / Viena 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 .
• Paul A. Tipler : Fizică. A treia reeditare corectată a primei ediții. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer: Mecanică - Acustică - Căldură. În: Manual de fizică experimentală. Vol. 1, ediția a XII-a. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Istvan Szabó : Introducere în mecanica inginerească. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-44248-0 .
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mecanică. Vieweg, Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-28904-X .

Link-uri web

• Cuplați pe maneta cu un singur braț. Afișat folosind exemplul unei chei. La: zum.de.
• Wilfried Krimmel: Dezvoltarea și viitorul tehnologiei de măsurare a cuplului. La: lorenz-messtechnik.de.

Dovezi individuale

1. ↑ Dicționarul online. În: de.pons.com. PONS GmbH , accesat la 23 aprilie 2017 . 
2. ↑ Palle ET Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: sisteme funcționale iterate, momente și transformări ale matricilor infinite . În: Memoriile Societății Americane de Matematică . American Mathematical Society, 2011, ISBN 0-8218-8248-1 , pp. 2 ( previzualizare limitată în căutarea Google Book). 
3. ↑ Căutare electronică de cuvinte cheie în:
   • Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (eds.): Fizică teoretică. Springer, 2015.
   • Achim Feldmeier: Mecanica teoretică - Analiza mișcării. 2013.
   • Honerkamp, ​​Römer: Fizică teoretică clasică. Springer, ediția a IV-a, 2012.
   • Wolfgang Nolting: Curs de bază Mecanică teoretică 1 - Mecanică clasică. Springer, ediția a 10-a, 2013.
   • Norbert Straumann: Mecanica teoretică. Springer, ediția a II-a, 2015.
4. ↑ Böge, Böge: Mecanică tehnică. Springer, ediția a 31-a, 2015, p. 4.
5. ↑ Spura: Mecanica tehnică 1 - Stereostatice. Springer, 2016, p. 43.
6. ↑ Böge: Manual de inginerie mecanică. Springer, ediția a 21-a, 2013, p. C2.
7. ↑ Mahnken: Manual de mecanică tehnică - statică. Springer, 2012, p. 98.
8. ↑ Căutare electronică de cuvinte cheie în:
   • Dankert, Dankert: Mecanică tehnică. Springer, ediția a VII-a, 2013.
   • Wittenburg și colab. (Hrsg.): Cunoștințe inginerești - mecanică tehnică. Springer, 2014.
   • Gross, Hauger, Schröder, Wall: Mecanica tehnică 1 - Statică. Springer, ediția a XI-a, 2011.
   • Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingineria mecanică 1 - Noțiuni de bază și statică. Springer, ediția a III-a, 2015.
   • Spura: Mecanica tehnică 1 - Stereostatice. Springer, 2016.
   • Richard, Sander: Mecanică tehnică - statică. Springer, ediția a V-a, 2016.
   • Dreyer: Mecanică tehnică - cinetică, cinematică. Springer, ediția a XI-a, 2012.
9. ↑ Böge, Böge: Mecanică tehnică. Springer, ediția a 31-a, 2015, p. 4.
   Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, ediția a 7-a, 2013, pp. 20, 23.
10. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, ediția a XI-a, 2011, p. 51, 54.
    Mahnken: Manual de mecanică tehnică - statică. Springer, 2012, p. 98, 103.
    Spura: Technical Mechanics 1 - Stereostatics. Springer, 2016, pp. 43, 46.
11. ↑ Dieter Meschede (Ed.): Gerthsen Physik. Springer, ediția a 25-a, 2015, p.
    72. Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (eds.): Theoretical Physics. Springer, 2015, p. 28.
    Achim Feldmeier: Mecanica teoretică - Analiza mișcării. 2013, p. 83.
    Torsten Fließbach: Mecanică - Manual de fizică teoretică I. Springer, ediția a VII-a, 2015, p. 18.
12. ^ Wittenburg și colab. (Ed.): Cunoștințele de inginerie - mecanica tehnică. Springer, 2014, p. 13.
13. ↑ Mahnken: Manual de mecanică tehnică - statică. Springer, 2012, p. 145.
14. ↑ Sayir, dual, om de afaceri, Mazza: Engineering Mechanics 1 - Fundamentals and statics. Springer, ediția a III-a, 2015.
15. ↑ Böge (Ed.): Manual de inginerie mecanică. Springer, ediția a 21-a, 2013, p. C2.
16. ↑ Dieter Meschede (Ed.): Gerthsen Physik. Springer, ediția a 25-a, 2015, p. 73 f.
17. ↑ Achim Feldmeier: Mecanica teoretică - Analiza mișcării. 2013, pp. 238-240.
18. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, ediția a XI-a, 2011, p. 73.
19. ↑ cuplu. În: Lexicon of Physics. Adus pe 28 octombrie 2016 . 
20. ↑ ^{a b} „Chiar dacă cuplul are aceeași dimensiune ca energia (unitatea de joule SI), joulul nu este niciodată folosit pentru exprimarea cuplului.” The International System of Units (SI) ediția a IX-a, 2019, cap. 2.3.4, pagina 140
21. ↑ Sistemul internațional de unități (SI) . Traducere în limba germană a broșurii BIPM "Le Système international d'unités / The International System of Units (8e édition, 2006)". În: PTB-Mitteilungen . bandă 117 , nr. 2 , 2007, p. 21 ( Online [PDF; 1.4 MB ]). 
22. ↑ Böge: Mecanică tehnică. Springer, ediția a 31-a, p. 46.
23. ↑ Dankert, Dankert: Mecanica tehnică. Springer, ediția a 7-a, 2013, p. 24.
24. ↑ Mahnken, p. 24.
25. ↑ Böge (Ed.): Manual de inginerie mecanică. Springer, ediția a 21-a, 2013, p. C3.
26. ↑ Dankert, Dankert: Mecanica tehnică. Springer, ediția a VII-a, 2013, p. 571.
27. ↑ ^{a b} Gross et al: Mecanica tehnică 3. Cinetica. Springer, ediția a 13-a, 2014, p. 61.
28. ^ Conrad Eller: Holzmann / Meyer / Schumpich. Mecanica tehnică. Cinematică și cinetică. Springer, ediția a 12-a, 2016, p. 127.
29. ↑ Valorile măsurate sunt valori medii temporale pe un ciclu complet de lucru, adică peste o rotație a arborelui cotit într-un motor în doi timpi , peste două rotații într-un motor în patru timpi .