Densitatea electronilor

Densitatea de electroni sau , în fizică, este o densitate purtător de sarcină , care indică dependentă de locația numărul de electroni per volum ( funcție de densitate ). Din punct de vedere matematic, este un câmp scalar al spațiului spațial tridimensional . ${\ displaystyle n ({\ vec {r}})}$${\ displaystyle n_ {e} ({\ vec {r}})}$

Este o variabilă măsurată ( unitate ) care este adesea utilizată în descrierea moleculelor și solidelor ( teoria funcțională a densității ) pentru a evita funcțiile de undă complicate, de înaltă dimensiune sau vectorii de stare mecanică cuantică . Este , de asemenea , utilizat în fizica plasma , in raze X analiza structurii (ca o transformare Fourier a factorului structură ) și în fizică semiconductoare . ${\ displaystyle m ^ {- 3}}$

Prin definiție, integralul densității electronilor, care se extinde pe întregul spațiu , trebuie să fie egal cu numărul de electroni: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N_ {e} = \ int _ {V} n_ {e} ({\ vec {r}}) dV.}$

Densitatea tipica de electroni pentru electronilor de conducție este metalice solide , în F-strat al ionosferei numai . ${\ displaystyle n _ {\ mathrm {e}}}$${\ displaystyle 10 ^ {28} \, \ mathrm {m} ^ {- 3}}$${\ displaystyle 10 ^ {12} \, \ mathrm {m} ^ {- 3}}$

Valoarea așteptată a operatorului de densitate a electronilor

În general, în mecanica cuantică, mărimile măsurate sunt identificate cu operatori hermitieni ai căror vectori proprii reprezintă stările în care sistemul își asumă o valoare măsurată ascuțită în ceea ce privește cantitatea măsurată și ale căror valori proprii corespund valorilor măsurate asociate.

Densitatea electronilor este identificată ca valoarea așteptată a operatorului de densitate electronică:

${\ displaystyle n ({\ vec {r}}): = \ langle \ Psi | {\ hat {n}} ({\ vec {r}}) | \ Psi \ rangle.}$

Acest operator trebuie să îndeplinească următoarele proprietăți:

• Integrabilitatea valorii așteptate (mai strict: integralul pe întregul volum trebuie să corespundă numărului de particule)
• Semifinitate pozitivă : valoarea așteptărilor trebuie să fie mai mare sau egală cu 0 peste tot.

Prin identificarea densității electronilor ca distribuție marginală a densității probabilității ( pătratul absolut al funcției de undă):

${\ displaystyle n ({\ vec {r}}) = N \ sum _ {s_ {1}} \ dots \ sum _ {s_ {N}} \ int d {\ vec {r_ {2}}} \ dots \ int d {\ vec {r_ {N}}} | \ Psi (\ mathbf {r}, s_ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, s_ {2}, \ dots, \ mathbf {r } _ {N}, s_ {N}) | ^ {2}}$

Cu cuvinte: unul ține orice electron la locul său și adună probabilitățile tuturor aranjamentelor posibile ale celorlalți electroni. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

După prezentarea valorii așteptate în forma obișnuită:

${\ displaystyle {\ begin {align} n ({\ vec {r}}) & = \ langle \ psi | {\ hat {n}} ({\ vec {r}}) | \ psi \ rangle \\ & = \ sum _ {s_ {1}} \ dots \ sum _ {s_ {N}} \ int d {\ vec {r_ {1}}} \ dots \ int d {\ vec {r_ {N}}} \ Psi (\ mathbf {r} _ {1}, s_ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, s_ {2}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}, s_ {N}) ^ {*} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta ({\ vec {r_ {i}}} - {\ vec {r}}) \ right) \ Psi (\ mathbf { r} _ {1}, s_ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, s_ {2}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}, s_ {N}) \ end {align} }}$

operatorul asociat poate fi identificat ca: ${\ displaystyle {\ hat {n}} ({\ vec {r}} _ {1}, \ dots, {\ vec {r}} _ {N}, {\ vec {r}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta ({\ vec {r_ {i}}} - {\ vec {r}})}$

și se recunoaște că nu este un operator în sens strict, deoarece nu convertește o funcție pătrat integrabilă într-o funcție pătrat integrabilă și, prin urmare, nu satisface definiția unui operator în spațiul funcțiilor pătrate integrabile .

Prin urmare, nu există un operator de densitate a particulelor, dar există o funcție liniară ( distribuție ) al cărei nucleu integral este denumit în mod obișnuit operatorul de densitate a particulelor.

În sensul topologiei induse de norma 2, este o funcționalitate liniară necontinuă pe funcțiile integrabile local absolut absolut Lebesgue.

Aici, în special, funcțiile integrale Lebesgue absolute ale formei sunt valabile pentru și cu extensia unei teorii de distribuție cunoscute distribuții Delta folosind consecințe Delta pentru a reprezenta. ${\ displaystyle \ phi = {\ overline {\ psi _ {1}}} \ psi _ {2}}$${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ în L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ delta ({\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}})}$${\ displaystyle L_ {loc} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C})}$

În cadrul aproximării Hartree-Fock , densitatea electronilor se obține din suma densităților orbitale:

${\ displaystyle {\ hat {n}} ({\ vec {r}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ phi _ {i} ({\ vec {r}}) {\ overline {\ phi}} _ {i} ({\ vec {r}}).}$

Link-uri web

• Ilustrație 3D a densității electronilor în atomi