Zonă

Nume de familie

Suprafață
arie
aria secțiunii transversale

${\ displaystyle A}$ (zonă)

Derivat de la

Dimensiune și sistem de unitate	unitate	dimensiune
SI	m ²	L ²
cgs	cm ²	L ²
Planck	Suprafața Planck	ħ · G · c ⁻³

Zona este o măsură a dimensiunii unui domeniu . Prin suprafață se înțelege structurile bidimensionale , adică cele în care se poate mișca în două direcții independente. Aceasta include figurile obișnuite de geometrie plană, cum ar fi dreptunghiurile , poligoanele , cercurile , dar și suprafețele limită ale corpurilor tridimensionale, cum ar fi cuboizii , sferele , cilindrii etc. Aceste suprafețe sunt suficiente pentru multe aplicații; suprafețele mai complexe pot fi adesea compuse dintre ele sau aproximate de ele .

Suprafața joacă un rol important în matematică, în definirea multor mărimi fizice, dar și în viața de zi cu zi. De exemplu, presiunea este definită ca forța pe suprafață sau momentul magnetic al unei bucle de conductor, pe măsură ce curentul depășește aria din jurul ei . Proprietatea și dimensiunile apartamentelor pot fi comparate prin specificarea suprafeței acestora. Consumul de materiale, de exemplu semințe pentru câmp sau vopsea pentru vopsirea unei zone, poate fi estimat cu ajutorul zonei.

Aria este normalizată în sensul că unitatea pătrat , adică pătratul cu lungimea laturii 1, are aria 1; Exprimat în unități de măsură , un pătrat cu o lungime laterală de 1 m are o suprafață de 1 m ² . Pentru a face suprafețele comparabile după suprafața lor, trebuie să se solicite ca suprafețele congruente să aibă aceeași suprafață și ca suprafața suprafețelor combinate să fie suma conținutului suprafețelor parțiale.

Măsurarea în afara suprafețelor nu se întâmplă chiar în regulă. În schimb, se măsoară anumite lungimi, din care se calculează apoi aria. Pentru a măsura aria unui dreptunghi sau a unei suprafețe sferice, se măsoară de obicei lungimea laturilor dreptunghiului sau diametrul sferei și se obține aria dorită prin intermediul formulelor geometrice enumerate mai jos.

Aria unor figuri geometrice

Trei figuri bine cunoscute din geometria plană pe un fundal în carouri

Tabelul următor listează câteva figuri bine cunoscute din geometria plană împreună cu formule pentru calcularea ariei lor.

Figura / obiectul	Denumiri	Zonă ${\ displaystyle A}$
pătrat	Lungime laterală ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = a ^ {2}}$
dreptunghi	Lungimi laterale ${\ displaystyle a, \, b}$	${\ displaystyle A = a \ cdot b}$
Triunghi (vezi și: suprafață triunghiulară )	Partea de bază , înălțimea , în unghi drept cu ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle g}$	${\ displaystyle A = {\ frac {g \ cdot h} {2}}}$
Trapez	laturile paralele între ele , înălțimea , perpendiculară pe și ${\ displaystyle a, \, c}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle A = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot h}$
Romb	Diagonale și ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$	${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} \ cdot d_ {2}} {2}}}$
paralelogram	Lungime laterală , înălțime , perpendiculară pe ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle h_ {a}}$ ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = a \ cdot h_ {a}}$
cerc	Raza , diametrul , numărul de cercuri ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle {\ pi}}$	${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$
elipsă	Semi-axe mari sau mici sau , numărul cercului ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle {\ pi}}$	${\ displaystyle A = \ pi din}$
hexagon regulat	Lungime laterală ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}}$

Pentru a determina aria unui poligon , îl puteți triangula, adică îl puteți împărți în triunghiuri trasând diagonale, apoi determinați aria triunghiurilor și în final adăugați aceste zone parțiale. Sunt coordonatele , cu vârfurile poligonului într - un sistem de coordonate cartezian este cunoscut, zona, cu regula trapezului Gaussian sunt calculate: ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ ${\ displaystyle i = 1 \ dotsc n}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} -x_ {i + 1})}

Următoarele se aplică indicii: cu este și se înțelege. Suma este pozitivă dacă punctele de colț sunt parcurse în funcție de direcția de rotație a sistemului de coordonate . Dacă rezultatele sunt negative, este posibil să fie selectată suma . Teorema Pick poate fi utilizată în special pentru suprafețele poligonale cu puncte de grilă ca colțuri . Alte zone pot fi de obicei aproximate cu ușurință folosind poligoane , astfel încât să se poată obține cu ușurință o valoare aproximativă . ${\ displaystyle x_ {n + j}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {n + j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$

Calculul unor suprafețe

Tetraedru

Con drept cu suprafață laterală dezvoltată

Iată câteva formule tipice pentru calcularea suprafețelor:

Figura / obiectul	Denumiri	suprafaţă ${\ displaystyle A}$
cub	Lungime laterală ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = 6a ^ {2}}$
Cuboid	Lungimi laterale ${\ displaystyle a, \, b, \, c}$	${\ displaystyle A = 2 (ab + ac + bc)}$
Tetraedru	Lungime laterală ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} \, a ^ {2}}$
Sferă (vezi și: suprafață sferică )	Raza , diametrul ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle d}$	${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$
cilindru	Raza bazei , înălțimea ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle A = 2 \ pi r (r + h)}$
con	Raza bazei , înălțimea ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$
Torus	Raza inelului , raza secțiunii transversale ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle r}$	${\ displaystyle A = 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$

O procedură tipică pentru determinarea unor astfel de suprafețe este așa-numita „rulare” sau „derulare” în plan, adică se încearcă cartografierea suprafeței în plan astfel încât suprafața să fie reținută și apoi se determină aria planurilor rezultate Figura. Cu toate acestea, acest lucru nu funcționează cu toate suprafețele, așa cum arată exemplul sferei. Pentru a determina astfel de suprafețe, metodele de analiză utilizate în exemplul de bilă pot fi legate de utilizarea suprafețelor de rotație . Adesea , prima regulă a lui Guldin duce, de asemenea , la succes rapid, de exemplu cu torul.

Calcul integral

Aria de sub curba de la a la b este aproximată prin dreptunghiuri

Calculul integral a fost dezvoltat, printre altele, pentru a determina ariile sub curbe, adică sub graficele funcționale . Ideea este de a aproxima aria dintre curbă și axă printr-o serie de dreptunghiuri înguste și apoi lăsați lățimea acestor dreptunghiuri să se apropie de 0 într-un proces de graniță. Convergența acestei limite depinde de curba utilizată. Dacă privim o zonă restricționată, de exemplu curba pe un interval restricționat ca în desenul adiacent, teoremele de analiză arată că continuitatea curbei este suficientă pentru a asigura convergența procesului limită. Fenomenul apare că zonele de sub axa devin negative, ceea ce poate fi nedorit atunci când se determină zonele. Dacă doriți să evitați acest lucru, trebuie să treceți la valoarea funcției. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ displaystyle x}$

Curba clopotului Gaussian

Dacă doriți să limitele intervalului și permisul, am stabilit mai întâi domeniile de limitele finite și așa cum tocmai a fost descris și apoi frunzele într - un proces de delimitare mai departe , sau să caute ambele. Aici se poate întâmpla ca acest proces limită să nu convergă, de exemplu în cazul funcțiilor oscilante, cum ar fi funcția sinusoidală . Dacă vă limitați la funcții care au graficele lor funcționale în semiplanul superior, aceste efecte de oscilație nu mai pot apărea, dar se întâmplă ca aria dintre curbă și axă să devină infinită. Deoarece suprafața totală are o întindere infinită, acesta este chiar un rezultat plauzibil și, în cele din urmă, așteptat. Dacă, totuși, curba se apropie de -axa suficient de repede pentru puncte departe de 0 , se poate produce fenomenul că o zonă infinit extinsă are și o zonă finită. Un exemplu binecunoscut care este important pentru teoria probabilității este zona dintre curba clopotului Gaussian ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle b \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} }

și axa. Deși aria este de la până la , aria este egală cu 1. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$

Când se încearcă calcularea unor suprafețe suplimentare, de exemplu și sub curbe discontinue, se pune în cele din urmă întrebarea care dintre cantitățile din plan ar trebui să fie alocată o zonă semnificativă. Această întrebare se dovedește dificilă, așa cum este subliniat în articolul despre problema dimensiunii . Se pare că conceptul intuitiv de zonă utilizat aici nu poate fi extins în mod semnificativ la toate subseturile planului.

Geometria diferențială

În geometria diferențială , aria unei suprafețe plane sau curbate este calculată folosind coordonatele ca o integrală de zonă : ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle (u, v)}$

{\ displaystyle \ iint _ {F} \ mathrm {d} \ sigma}

Elementul de zonă corespunde lățimii intervalului din calculul integral unidimensional . Există aria tangențelor la liniile de coordonate parcurse paralelogram cu laturile și pe. Elementul de suprafață depinde de sistemul de coordonate și de curbura gaussiană a suprafeței. ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} u}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} v}$

Elementul de zonă este în coordonate carteziene . Pe suprafața sferică se aplică raza , lungimea și lățimea ca parametri de coordonată . Pentru suprafața unei sfere ( ) se obține aria: ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L}$ ${\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq B \ leq \ pi / 2, - \ pi \ leq L \ leq \ pi}$

{\ displaystyle A = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left [\ sin B \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm {d} L = 2r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {d} L = 4 \ pi r ^ {2}}

Pentru a calcula elementul de zonă, nu este absolut necesar să cunoaștem poziția unei zone spațiale în spațiu. Elementul de suprafață poate fi derivat numai din astfel de dimensiuni care pot fi măsurate în interiorul suprafeței și, astfel, se calculează până la geometria interioară a suprafeței. Acesta este și motivul pentru care suprafața unei suprafețe (dezvoltabile) nu se modifică atunci când este dezvoltată și, prin urmare, poate fi determinată prin dezvoltarea într-un plan.

Suprafețe în fizică

Bineînțeles, suprafețele apar și ca o cantitate care trebuie măsurată în fizică. Zonele sunt de obicei măsurate indirect folosind formulele de mai sus. Dimensiunile tipice la care apar suprafețele sunt:

Presiune = forță pe zonă
Intensitate = energie pe timp și zonă
Momentul magnetic al unei bucle de conductor = curent de ori aria acoperită
Tensiunea superficială = lucrarea efectuată pentru mărirea suprafeței pe suprafață suplimentară
Densitatea sarcinii de suprafață = sarcina pe suprafață
Densitatea curentului = curentul pe zonă de curgere

Zona ca vector

Adesea, suprafeței i se atribuie și o direcție perpendiculară pe suprafață, ceea ce face din suprafață un vector și îi oferă o orientare datorită celor două alegeri posibile ale direcției perpendiculare . Lungimea vectorului este o măsură a ariei. În cazul unui paralelogram mărginit de vectori și , acesta este produsul vector ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}

.

Dacă există suprafețe, câmpul vector normal este de obicei utilizat pentru a le putea atribui o direcție locală în fiecare punct. Acest lucru duce la cantități de flux care sunt definite ca produs scalar al câmpului vectorial și al zonei (ca vector). Curentul este calculat din densitatea curentului conform ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

{\ displaystyle I = \ int \ limits _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

,

unde în integral produsul scalar

{\ displaystyle {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

este format. Pentru evaluarea acestor integrale, sunt utile formulele pentru calcularea suprafețelor.

În fizică, există, de asemenea, dimensiuni de suprafață care sunt de fapt determinate experimental, cum ar fi împrăștierea secțiunilor transversale . Presupunerea este că un flux de particule lovește un obiect țintă solid, așa-numita țintă, iar particulele fluxului de particule lovesc particulele țintei cu o anumită probabilitate. Comportamentul de împrăștiere măsurat macroscopic permite apoi să se tragă concluzii despre secțiunile transversale pe care particulele țintă le dețin împotriva particulelor de curgere. Dimensiunea astfel determinată are dimensiunea unei zone. Deoarece comportamentul de împrăștiere depinde nu numai de parametrii geometrici, ci și de alte interacțiuni între partenerii de împrăștiere, aria măsurată nu poate fi întotdeauna echivalată direct cu secțiunea transversală geometrică a partenerilor de împrăștiere. Se vorbește mai general despre secțiunea transversală , care are și dimensiunea unei zone.

Calculul suprafeței în topografie

De regulă, suprafața terenului, părțile de teren, țările sau alte zone nu pot fi determinate folosind formulele pentru figuri geometrice simple. Astfel de suprafețe pot fi calculate grafic, semi-grafic, din dimensiunile câmpului sau din coordonate.

O mapare a zonei trebuie să fie disponibilă pentru procesul grafic. Zonele, ale căror limite sunt formate dintr-un poligon, pot fi împărțite în triunghiuri sau trapezoide, ale căror linii de bază și înălțimi sunt măsurate. Aria suprafețelor parțiale și, în cele din urmă, aria suprafeței totale sunt apoi calculate din aceste măsurători. Calculul suprafeței semi-grafice este utilizat atunci când zona poate fi împărțită în triunghiuri înguste, a căror latură de bază scurtă a fost măsurată cu precizie în câmp. Deoarece eroarea relativă a zonei este determinată în principal de eroarea relativă a laturii de bază scurte, măsurarea laturii de bază în câmp în loc de pe hartă crește precizia zonei în comparație cu metoda pur grafică.

Suprafețele neregulate pot fi înregistrate cu ajutorul unui panou de sticlă pătrat. Pe partea inferioară, aceasta are o rețea de pătrate a căror lungime laterală este cunoscută (de exemplu, 1 milimetru). Tabla este așezată pe zona cartografiată și aria este determinată prin numărarea pătratelor care se află în zonă.

O harpă planimetrică poate fi utilizată pentru suprafețe alungite. Aceasta constă dintr-o foaie de hârtie cu linii paralele a căror distanță uniformă este cunoscută. Harpa planimetrică este așezată pe suprafață astfel încât liniile să fie aproximativ perpendiculare pe direcția longitudinală a suprafeței. Aceasta împarte aria în trapezoide, ale căror linii centrale sunt adăugate cu o pereche de separatoare. Suprafața poate fi calculată din suma lungimilor liniilor centrale și a distanței dintre linii.

Planimetru polar, în dreapta stiloul de acționare cu lupă, în stânga rolă cu contor, deasupra stâlpului fixat în timpul măsurării

Planimetrul , un instrument de integrare mecanică, este deosebit de potrivit pentru determinarea suprafeței zonelor cu o delimitare curbiliniară . Limita trebuie parcursă cu stiloul de acțiune al planimetrului. Când conduceți în jurul zonei, o rolă se rotește, iar rotația rolei și dimensiunea zonei pot fi citite pe un contor mecanic sau electronic. Precizia depinde de cât de precis operatorul parcurge marginea zonei cu stiloul de conducere. Rezultatul este mai precis cu cât circumferința este mai mică în raport cu zona.

Calculul suprafeței din dimensiunile câmpului poate fi utilizat dacă zona poate fi împărțită în triunghiuri și trapezoide și distanțele necesare pentru calculul suprafeței sunt măsurate în câmp. Dacă punctele de colț ale suprafeței au fost înclinate pe o linie de măsurare folosind metoda ortogonală , suprafața poate fi calculată și folosind formula trapezoidală Gaussiană .

Astăzi, zonele sunt adesea calculate din coordonate. Aceasta poate fi, de exemplu, coordonatele punctelor limită din cadastrul imobiliar sau punctele de colț ale unei zone dintr-un sistem de informații geografice . Adesea punctele de colț sunt conectate prin linii drepte, ocazional și prin arcuri. Prin urmare, aria poate fi calculată utilizând formula trapezoidală Gaussiană. În cazul arcurilor circulare, trebuie luate în considerare segmentele circulare dintre partea poligonului și arcul circular. Dacă conținutul unei zone mai neregulate trebuie determinat într-un sistem de informații geografice, zona poate fi aproximată printr-un poligon cu lungimi laterale scurte.

Vezi si

Ordinea de mărime (zonă)

Dovezi individuale

↑ Heribert Kahmen: geodezie I . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

Link-uri web

Wikționar: zonă - explicații ale semnificațiilor, originea cuvintelor, sinonime, traduceri

[1] Heribert Kahmen: geodezie I . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

Languages