Pendulul lui Foucault

Pendula Foucault din Pantheonul din Paris

Pendula lui Foucault la polul nord al pământului care se rotește

Un pendul Foucault este un pendul lung, sferic , cu o masă mare a pendulului, cu ajutorul căruia rotația Pământului poate fi detectată fără referire la observațiile de pe cer .

Încercări și descriere

La 3 ianuarie 1851, fizicianul francez Léon Foucault a efectuat un experiment în subsolul casei sale în care a făcut un pendul lung de doi metri, care se legăna aproape de pământ și i-a marcat cu exactitate calea. El a observat că planul de oscilație al pendulului se rotea încet. Forța gravitațională, care acționează doar vertical, nu a putut provoca această rotație și nici o altă forță externă nu a acționat asupra pendulului. Deci nu pendulul, ci pământul ( pământul ) au schimbat direcția. Strict vorbind, pendulul descrie o orbită îngustă a rozetei (vezi figura alăturată), cu care planul de oscilație al pendulului se rotește încet față de sol.

La 3 februarie 1851, Foucault a efectuat experimentul în observatorul din Paris cu un pendul lung de 12 metri. La 26 martie 1851, el l-a prezentat publicului în Pantheon cu un pendul lung de 67 de metri și un corp cu pendul de 28 de kilograme. La capătul inferior al corpului pendulului era un punct care marca o pistă într-un pat de nisip pe podea cu fiecare oscilație. Aceasta a fost o dovadă senzațională a rotației pământului, care era potrivită pentru laici. Fizicianul italian Vincenzo Viviani a făcut observații similare încă din 1661 , dar nu le-a asociat încă cu rotația pământului.

Experimentele au fost repetate de Caspar Garthe în Catedrala din Köln și Friedrich Magnus Schwerd în Catedrala Speyer , dar cu rezultate care nu au fost satisfăcătoare cantitativ. Heike Kamerlingh Onnes a efectuat măsurători mai precise ca parte a disertației sale din 1879 și a subliniat sursele de eroare care au deranjat Köln și Speyer. Pendulele Foucault sunt încă agățate în diverse muzee de științe naturale astăzi . Mingea de fier a pendulului original a fost păstrată în Conservatoire National des Arts et Métiers până în 1946 și apoi a revenit la Pantheon.

Suspensia pendulului poate fi elastică, cardanică sau rigidă. Nu trebuie să transmită niciun cuplu pendulului în medie cu o oscilație pentru a nu ascunde efectul.

Explicaţie

Explicația fizică este că efectul principal al rotației pământului este acela că pământul se rotește sub planul de oscilație al pendulului, în timp ce planul de oscilație în sine rămâne neschimbat. Acest lucru este cel mai ușor de văzut la polul nord sau sud , deoarece punctul de suspendare al pendulului rămâne în repaus acolo, în ciuda rotației pământului. Prin urmare, pământul s-ar întoarce sub pendul exact o dată într-o zi siderală . (Diferența de patru minute față de ziua însorită exact 24 de ore rezultă din faptul că soarele se mișcă în cerul înstelat.) Rotația observată pe pendul este contrară direcției de rotație a Pământului, adică în sensul acelor de ceasornic la polul nord. și a plecat la polul sudic. La ecuator, pe de altă parte, planul de oscilație al pendulului nu se rotește deloc în raport cu solul. Cu cât te apropii de poli, cu atât rotația este mai puternică.

Din punctul de vedere al unui observator care consideră că pământul este în repaus, planul pendulului se rotește în modul descris. În sistemul său de referință, acest lucru se datorează unei forțe inerțiale care acționează în plus față de gravitație . Aceasta este forța Coriolis , care în raport cu sistemul de referință fixat de pământ acționează întotdeauna asupra ei transversal față de direcția de mișcare a corpului pendulului și o deviază spre dreapta în emisfera nordică și spre stânga în emisfera sudică . Ca urmare, planul de vibrație se rotește în jurul verticalului prin punctul de suspensie.

Viteza unghiulară a acestei rotație este constantă. Se ridică la

${\ displaystyle \ omega _ {\ text {Coriolis}} = \ Omega \, \ sin (\ varphi)}$,

unde este viteza unghiulară a Pământului și latitudinea punctului de suspensie. În Germania, o rotație completă durează între 29,3 ore (în Flensburg) și 32,2 ore (în München). La ecuator ( ) planul oscilației nu se rotește deloc. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi = 0}$

Derivarea mișcării de rotație a planului pendulului

Sistem de coordonate utilizat pentru calcul

Curba de cale a unui pendul Foucault cu rotația pământului de 1000 de ori mai rapidă

Luați în considerare un pendul matematic într-o locație din emisfera nordică cu latitudinea geografică . Un sistem de coordonate fix-pământ este aliniat în așa fel încât la baza pendulului să indice spre est, spre nord și spre zenit. Lungimea acestui pendul ar trebui să fie mult mai mare decât amplitudinea sa , astfel încât, ca o bună aproximare, să se aplice corpului pendulului . Corpul pendulului rămâne astfel în planul xy și experimentează forța de restaurare într-o aproximare armonică (datorită accelerației gravitației ) ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x, \, y, \, z}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {y}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {z}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {r} = - m \, {\ frac {g} {l}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 0 \ end {pmatrix}}}$.

Dacă planul xy ar reprezenta un sistem inerțial, atunci pendulul ar executa în el cu o frecvență a oscilațiilor armonice plane (vezi secțiunea relevantă din pendulul sferic ). În funcție de starea inițială, aceasta ar fi o oscilație liniară prin punctul de bază sau o elipsă sau un cerc în jurul punctului de bază, prin care traiectoria nu se schimbă pe planul xy. ${\ displaystyle \ textstyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {g / l}}}$

Sistemul de coordonate xyz fixat de pământ nu este un sistem inerțial; pământul se rotește cu viteza unghiulară . (Efectele datorate atracției lunii și a soarelui pot fi complet neglijate.) Axa de rotație trece prin poli ( la ambii poli), care este magnitudinea vitezei unghiulare . Pentru a calcula mișcarea în sistemul de referință co-rotativ xyz, prin urmare, forța centrifugă trebuie adăugată la forța de restaurare liniară${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ varphi = + 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ Omega = 360 ^ {\ circ} / {\ text {Sidereal day}} = 2 \ pi / {(86164 \, \ mathrm {s}) \ approx 7 {,} 3 \ cdot 10 ^ {- 5} \, \ mathrm {s} ^ {- 1}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Zf}} = - m \, {\ vec {\ Omega}} \ times ({\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {R} })}$

și forța Coriolis

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Cor}} = - 2m \, {\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {v}}}$

adăuga. ( este vectorul de poziție al punctului (x, y, z), dacă originea este în centrul pământului, viteza acestuia este în sistemul de referință fixat pământ xyz). ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

Singura modificare practic observabilă rezultă din faptul că întreaga curbă de traiectorie se rotește în jurul axei Z verticale cu viteza unghiulară în planul oscilației. Într-un sistem de referință care se rotește cu aceeași viteză unghiulară comparativ cu sistemul fixat la pământ, pendulul menține orientarea traiectoriei sale, i. adică se comportă ca într-un cadru inerțial. Acest lucru este cel mai ușor de observat pentru un pendul a cărui poziție de repaus este Polul Nord. Acolo pământul se rotește pur și simplu (în sens invers acelor de ceasornic) departe de sub pendul, ceea ce nu are niciun efect asupra mișcării pendulului. (Același lucru este valabil și pentru polul sud, dar aici cu o rotație în sensul acelor de ceasornic, deoarece trebuie să utilizați latitudinea geografică ca variabilă pentru emisfera sudică în toate formulele .) ${\ displaystyle - \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - \ varphi}$

Pentru a face acest lucru de înțeles, rețineți că viteza unghiulară este un vector și, prin urmare, poate fi împărțită în componente (a se vedea figura):

${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega _ {z} \, {\ hat {e}} _ {z} + \ Omega _ {y} \, {\ hat {e}} _ {y } = {\ begin {pmatrix} 0 \\\ Omega _ {y} \\\ Omega _ {z} \ end {pmatrix}}}$

cu și . ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

Pentru forța Coriolis, care este liniară , efectele ambelor componente pot fi considerate separat. Forța Coriolis datorată acțiunilor perpendiculare pe axa z, adică perpendiculară pe planul oscilației. Doar provoacă rotația observată a orientării traiectoriei. Forța Coriolis datorată are doar un efect neglijabil, deoarece este verticală față de planul xy de care este legat corpul, iar magnitudinea sa este cu cel puțin un factor mai mică decât forța verticală de greutate. (Ordinea mărimii rezultă din viteza maximă pentru condițiile din pendulele Foucault existente.) ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle \ Omega _ {y}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega / \ omega _ {0} \ cdot A / l \ approx 10 ^ {- 6}}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {max}} = A \ omega _ {0}}$

Forța centrifugă, pe de altă parte, depinde de pătratul lui . Efectul static al forței centrifuge conduce la o abatere a pământului de la forma sferică ( aplatizarea pământului la 21 km) și la o schimbare a direcției și a forței accelerației cauzată de gravitație; aceste influențe au fost deja luate în considerare în mare măsură sub forma valorilor măsurate pentru parametri . O altă influență asupra perioadei de oscilație și asupra traiectoriei pendulului este neglijabilă, deoarece datorită dependenței pătratice, forța centrifugă este cel puțin un factor mai slab decât forța de refacere . După ce acest lucru a fost confirmat de calcule exacte din secolul al XIX-lea, forța centrifugă și alți termeni de ordinul mărimii sunt în mod constant neglijați în acest context.${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2} \ approx 10 ^ {- 8}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$

Calculul ecuațiilor căii

Cu neglijarea justificată de mai sus a forței centrifuge și a componentei forței Coriolis cauzată de aceasta , ecuația de mișcare a masei pendulului în planul xy spune: ${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$

Acestea sunt două ecuații diferențiale ordinare cuplate de ordinul doi. Devin o singură ecuație diferențială a variabilei complexe pentru o soluție ușoară

${\ displaystyle u (t) = x (t) + \ mathrm {i} \, y (t)}$

rezumat:

${\ displaystyle {\ ddot {u}} = - 2 \ mathrm {i} \ Omega _ {z} {\ dot {u}} - \ omega _ {0} ^ {2} u}$

Aceasta are forma unei ecuații de oscilație armonică cu un atenuator imaginar și poate fi rezolvată direct cu metodele cunoscute de acolo. Totuși, aici este instructiv, pe baza considerațiilor prezentate mai sus, să exprimăm mișcarea într-un sistem de coordonate care se rotește cu viteza unghiulară în raport cu sistemul xy . Acest lucru se face printr-o transformare variabilă ${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$

${\ displaystyle u (t) = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t} U (t)}$,

deoarece părțile reale și imaginare ale unui sistem de coordonate XY, care se rotește în raport cu sistemul de coordonate xy, cu viteza unghiulară în planul oscilației. Înlocuirea cu de fapt dă ecuația diferențială mai simplă ${\ displaystyle U (t) = X (t) + \ mathrm {i} \, Y (t)}$${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle U (t)}$

${\ displaystyle {\ ddot {U}} = - (\ omega _ {0} ^ {2} + \ Omega _ {z} ^ {2}) U}$.

Aceasta este ecuația unei oscilații armonice staționare neamortizate, dar cu frecvența

${\ displaystyle \ omega '= \ omega _ {0} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}}}} \ aproximativ \ omega _ {0}}$.

În consecință, coordonatele descriu mișcarea pe care o va executa un pendul sferic în sistemul inerțial (vezi oscilatorul armonic # oscilatorul bidimensional ). Termenul de ordine de mărime este în mod constant neglijat atât în ​​tratamentul forței Coriolis, cât și în tratamentul forței centrifuge. De fapt, ambele contribuții se anulează reciproc, deoarece vin cu semnul opus. Oscilația netulburată a pendulului cu frecvența netulburată este modulată în notație complexă, deci o funcție suplimentară , ceea ce înseamnă o rotație uniformă în jurul axei z. ${\ displaystyle X (t), \, Y (t)}$${\ displaystyle \ Omega _ {z} ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle e ^ {\ pm \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t}}$

Pentru o altă soluție scurtă în coordonate polare vezi de ex. B. Nobil.

În practică, condiția inițială în sistemul fix xy este adesea setată în așa fel încât pendulul să fie eliberat într-o poziție de pornire cu o viteză inițială de zero . Apoi soluțiile pentru mișcare sunt, din nou exprimate în coordonatele xy fixate pe pământ: ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x (t) & = x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + x_ {0} {\ frac { \ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ { 0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) -y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t ) \ cos (\ Omega _ {z} t) \\ y (t) & = - x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + x_ { 0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) \ end {align}}}$

În loc de ecuația de mișcare dată mai sus, traiectoria îndeplinește o ecuație similară în care coeficientul de deviere este înlocuit cu . Deoarece acești coeficienți diferă numai după ordinea de mărime , discrepanța este irelevantă pentru valorile de mărime care trebuie măsurate. ${\ displaystyle - \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle - (\ omega _ {0} ^ {2} - \ Omega _ {z} ^ {2})}$${\ displaystyle 10 ^ {- 8}}$

Exact aceeași traiectorie se obține dacă se folosește un sistem de coordonate care se rotește în jurul axei sale cu viteza unghiulară comparativ cu sistemul fixat la pământ (vezi graficul de mai sus), ca sistem inerțial, de dragul aproximării. Se aplică aici ecuația diferențială simplă fără inerție a unui oscilator armonic. Traiectoriile sale de soluționare sunt elipse cu cazurile limitative ale unui cerc sau ale unei linii drepte. Rotația pământului nu se observă în sistem. Transformată prin rotație în sistemul fixat la pământ , curba soluției este transformată în traiectoria pendulului Foucault prezentată mai sus. Cadrul de referință rotativ nu este un cadru inerțial. Nu este fixat de stele, dar este suficient pentru calculul pendulului Foucault ca aproximare pentru un sistem inerțial. ${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle - \ Omega \ sin \ Phi}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle xyz}$

Pentru a reprezenta această mișcare a corpului pendulului, se recomandă notația în coordonatele polare plane . Se aplică apoi distanței față de poziția de repaus ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} (t) = x ^ {2} (t) + y ^ {2} (t) = \ rho _ {0} ^ {2} \ left (\ cos ^ {2} (\ omega _ {0} t) + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}} \ sin ^ {2} (\ omega _ {0 } t) \ dreapta)}$.

Două proprietăți devin clare în acest sens: Pentru rezultate în oscilația armonică originală în sistemul inerțial. Acest lucru este adevărat la ecuator. În al doilea rând, se dovedește că pendulul Foucault, eliberat dintr-un punct de plecare la distanță, urmează o orbită rozetă. Calea nu conduce exact prin origine, ci o abordează până la o fracțiune . Faptul că, în acest caz, pendulul nu trece exact prin poziția de repaus conduce, datorită anarmonicității pendulului sferic, la o corupție a rotației planului de oscilație cu o fracție , motiv pentru care trebuie evitate amplitudinile excesive de oscilație .${\ displaystyle \ Omega _ {z} = 0}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho _ {\ text {min}}} {\ rho _ {0}}} = {\ tfrac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta \ Omega} {\ Omega _ {z}}} = - {\ tfrac {3} {8}} {\ tfrac {\ rho _ {0} ^ {2}} {l ^ {2}}}}$

Șase pendule Foucault identice timp de 6 ore

Rotația liniei absidale a orbitei pe oscilație poate trece

${\ displaystyle \ Delta \ phi = \ arctan \ left ({\ frac {y \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ right)} {x \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ right)}} \ right) - \ arctan \ left ({\ frac {y_ {0}} {x_ {0}}} \ right) = - 2 \ pi {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$

fi calculat. În emisfera nordică, pendulul Focault (de fapt planul său aproximativ de oscilație; privit de sus) se rotește astfel în sensul acelor de ceasornic, în emisfera sudică în sens invers acelor de ceasornic (vezi animația din dreapta). O rotație completă a pendulului Foucault necesită timp

${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ Omega \, \ sin \ varphi}}}$.

În Germania, nivelul vibrațiilor se rotește cu aproximativ pe oră . ${\ displaystyle 11 {,} 5 ^ {\ circ}}$

Galerie

• 

  Pendul în portocalul din Kassel

• 

  Pendul la Universitatea din Koblenz

• 

  Pendul în Deutsches Museum, München

literatură

• Experimentul pendulului Foucault. În: Ágoston Budó: Mecanică teoretică. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, pp. 122–126.
• Reiner M. Dreizler, Cora S. Lüdde: Fizică teoretică. Volumul 1: Mecanica teoretică. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-70558-1 , p. 311 și urm.
• William Duncan MacMillan: Pe pendulul lui Foucault . În: American Journal of Mathematics . bandă 37 , nr. 1 , 1915, p. 95-106 , doi : 10.2307 / 2370259 , JSTOR : 2370259 . 
• Michael Hagner : Pendulul lui Foucault și noi. Cu ocazia unei instalații a lui Gerhard Richter. König, Köln 2021, ISBN 978-3-96098-349-1 .

Link-uri web

• Descrierea tehnică a pendulului pe site-ul web al Universității din München (cu webcam)
• Pendulul Foucault (1985) - film din colecția Institutului Federal pentru Film Științific (ÖWF) din arhiva online a Mediatecii austriece

completări

1. ↑ În animație, pământul se rotește de aproximativ 5000 de ori mai repede decât în ​​realitate. Stare inițială: pendulul începe la devierea maximă fără o viteză inițială relativă la pământ. Orbita rozetei, de altfel prezentată adesea, apare atunci când pendulul în repaus este împins afară din poziția sa de repaus.
2. ↑ Lungimea pendulului: 50 m, locația: latitudine nordică, rotația Pământului de 1000 de ori mai rapidă decât cea reală. Cu valoarea reală, curba ar apărea ca o zonă circulară umplută, deoarece liniile de oscilație se suprapuneau. Erupție timpurie:, viteza inițială . Această valoare permite pendulului să treacă de origine. : Magnitudinea vitezei unghiulare a rotației Pământului : coordonată normală a vectorului vitezei unghiulare a rotației Pământului pe timpul de prezentare Pendelort : Trimestrul Perioada de rotație a planului de oscilare Curba este soluția ecuațiilor diferențiale din. : frecvența unghiulară pătrată a pendulului : cantitatea de accelerație datorată gravitației${\ displaystyle \ varphi = 50 ^ {\ circ}}$
   ${\ displaystyle y_ {0} = 1 {\ text {m}}}$${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {0} = \ Omega _ {z} y_ {0}}$
   ${\ displaystyle \ Omega}$
   ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$
   
   
   ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$
   ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = g / L}$
   ${\ displaystyle g}$
3. ↑ Configurare la 90 ° N, 50 ° N, 30 ° N, 15 ° N, 0 ° și 15 ° S. Reprezentarea rotației pământului în sistemul fixat în stea. Raportul dintre perioada de oscilație a pendulului și durata orbitei terestre (ziua siderală) este în realitate mult mai mic. Stare inițială: Toate pendulele pornesc simultan de la o deviere paralelă maximă spre est fără viteză inițială.

Dovezi individuale

1. ↑ Heike Kamerlingh Onnes: Nieuwe Bewijzen voor de aswenteling the aarde . Wolters, Groningen 1879, p. 1–312 (olandeză, gdz.sub.uni-goettingen.de [accesat la 16 martie 2018] Titlu în limba germană: „Noi dovezi pentru rotația axei pământului”). 
2. ^ Istoria Panteonului Paris. În: pantheonparis.com. Adus la 17 octombrie 2018 . 
3. ↑ ^{a b} A. Budo: Mecanica teoretică . Ediția a IV-a. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 24 Mișcări pe pământul rotativ, p. 119 . 
4. ↑ P. Furtwängler: Mecanica aparatului fizic. În: F. Klein, C. Müller (Ed.): Enciclopedia științelor matematice. Vol. IV.2, Teubner, Leipzig 1904.
5. ^ William J. Noble: Un tratament direct al pendulului Foucault . În: American Journal of Physics . Nu. 20 , 1952, pp. 334–336 (engleză, edu.tw [PDF]). 
6. ↑ TJ I'A. Bromwich: Despre teoria pendulului lui Foucault și a pendulului girostatic . În: Proceedings of the London Mathematical Society . s2-13, nr. 1 , 1914, p. 222-235 (engleză, wiley.com ). 
7. ↑ WS Kimball: Calea stelei pendulului Foucault și trandafirul n- lăsat . În: American Journal of Physics . bandă 13 , nr. 5 , 1945, p. 271-277 , doi : 10.1119 / 1.1990726 (engleză). 
8. ↑ Roland Szostak: Un pendul Foucault care se leagă permanent pentru școli . În: PLUS LUCIS 2 / 2002-1 / 2003 . Lecții de matematică și știință. S. 11-15 ( online [PDF; 160 kB ]).