Ecuațiile Navier-Stokes

De Navier-Stokes ecuațiile [ navjeː stəʊks ] (după Claude Louis Marie Henri Navier si George Gabriel Stokes ) sunt un model matematic al fluxului de lineare viscos lichide și gaze Newtoniene ( fluide ). Ecuațiile sunt o extensie a ecuațiilor Euler în mecanica fluidelor pentru a include termeni care descriu vâscozitatea .

Într-un sens mai restrâns, în special în fizică, ecuația Navier-Stokes este ecuația impulsului pentru fluxuri. Într-un sens mai larg, în special în mecanica numerică a fluidelor , această ecuație de impuls este extinsă prin ecuația continuității și ecuația energiei și apoi formează un sistem de ecuații parțiale neliniare de ordinul doi. Acesta este modelul matematic de bază al mecanicii fluidelor. În special, ecuațiile ilustrează straturi de turbulență și limite . O de-dimensionalizare a ecuațiilor Navier-Stokes oferă diverse cifre cheie adimensionale, cum ar fi numărul Reynolds sau numărul Prandtl .

Ecuațiile Navier-Stokes descriu comportamentul apei, aerului și uleiurilor și, prin urmare, sunt utilizate într-o formă discretizată în dezvoltarea vehiculelor, cum ar fi mașinile și avioanele . Acest lucru se face ca o aproximare, deoarece nu sunt cunoscute soluții analitice exacte pentru aceste aplicații complicate. În plus, existența și unicitatea unei soluții la ecuații nu a fost încă dovedită în cazul general, care este una dintre cele mai importante probleme matematice nerezolvate, Problemele Mileniului .

istorie

Isaac Newton și-a publicat Principia în trei volume cu legile mișcării în 1686 și a definit și viscozitatea unui lichid liniar vâscos (azi: newtonian ) în cea de-a doua carte . În 1755 Leonhard Euler a derivat ecuațiile Euler din legile mișcării , cu care poate fi calculat comportamentul fluidelor fără vâscozitate (lichide și gaze). Condiția prealabilă pentru aceasta a fost definirea presiunii sale într-un fluid, care este valabilă și astăzi. Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717–1783) a introdus abordarea lui Euler , a derivat echilibrul local de masă și a formulat paradoxul d'Alembert , conform căruia fluxul de lichide fără vâscozitate nu exercită nicio forță în direcția curge pe un corp (ceea ce Euler dovedise deja). Din cauza acestui și a altor paradoxuri ale fluxurilor fără vâscozitate, era clar că ecuațiile de mișcare ale lui Euler trebuiau completate.

Claude Louis Marie Henri Navier, Siméon Denis Poisson , Barré de Saint-Venant și George Gabriel Stokes au formulat legea impulsului pentru fluidele newtoniene sub formă diferențială, independent unul de celălalt, în prima jumătate a secolului al XIX-lea. Navier (1827) și Poisson (1831) stabilesc ecuațiile de impuls după luarea în considerare a efectelor forțelor intermoleculare. În 1843, Barré de Saint-Venant a publicat o derivare a ecuațiilor de impuls din abordarea vâscozității liniare a lui Newton, cu doi ani înainte ca Stokes să facă acest lucru (1845). Cu toate acestea, denumirea de ecuații Navier-Stokes pentru ecuațiile impulsului a prevalat.

Ludwig Prandtl a făcut un avans semnificativ în înțelegerea teoretică și practică a fluidelor vâscoase în 1904, prin teoria straturilor sale limită . De la mijlocul secolului al XX-lea, mecanica numerică a fluidelor s-a dezvoltat într- o asemenea măsură încât, cu ajutorul său pentru probleme practice, pot fi găsite soluții ale ecuațiilor Navier-Stokes, care - după cum se dovedește - sunt de acord cu procesele reale de flux.

formulare

Ecuația impulsului

Ecuația Navier-Stokes în sens mai restrâns este teorema impulsului ca aplicație a axiomelor lui Newton la un continuum . O formă utilizată pentru fluidele compresibile este:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {v}}} {Dt}} = \ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + ( {\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla ( \ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

Aici este densitatea , (statică) presiunea , viteza unei particule în debitului, atunci Superpoint precum derivata substanțial mai jos , parțial derivat în funcție de timp cu elementul fluid fix, „ “ , a (formal) scalar produs cu operatorul nabla și operatorul Laplace . În stânga semnului egal este accelerarea substanțială a elementelor fluide și termenul format cu operatorul Nabla reprezintă partea convectivă a acestora. Vectorul reprezintă o densitate a forței volumului, cum ar fi gravitația sau forța Coriolis , fiecare legată de volumul unitar , și are unitatea SI Newtoni / metru cub . Parametrii și sunt vâscozitatea dinamică și prima constantă Lamé . În literatură, acestea sunt, de asemenea, menționate ca constante de vâscozitate lamă. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}}}$${\ displaystyle \ partial / \ partial t}$${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle {\ vec {f}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda}$

O altă notație pentru forma utilizată în literatură este:

${\ displaystyle \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = \ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v} } \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + \ left (\ zeta + {\ frac {\ mu} {3} } \ right) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

În aceasta se află vâscozitatea în vrac . Cu ecuația de continuitate și aplicarea ipotezei lui Stokes , ecuația pentru densitatea impulsului devine : ${\ displaystyle \ zeta}$ ${\ displaystyle \ zeta = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {m}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + {\ frac {\ mu} {3}} \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

Simbolul aritmetic formează produsul diadic . Pentru a completa ecuațiile, trebuie adăugate echilibrul masei sau ecuația continuității (legea conservării masei ) și, în cazul gazelor, echilibrul energetic (legea conservării energiei ). În funcție de ipotezele suplimentare care se fac despre fluid, sistemul complet are ca rezultat diferite forme. Cea mai frecvent utilizată formă este ecuațiile Navier-Stokes pentru fluidele incompresibile, deoarece acestea sunt potrivite pentru fluxurile subsonice și calculul lor este mai ușor decât cele ale fluidelor compresibile. ${\ displaystyle \ otimes}$

Ecuația impulsului în componente

Forma vectorială a ecuațiilor se aplică în fiecare sistem de coordonate . Aici ecuațiile componente ale ecuației impulsului trebuie date în mod special pentru coordonatele carteziene .

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x})} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x} ^ {2}) } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x} v_ {y})} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x} v_ {z })} {\ partial z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [\ mu \ left (2 {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \ dreapta) \ dreapta] + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} \ right) \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {x} } {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial x}} \ right) \ right] + f_ {x} \\ & {\ frac {\ partial (\ rho v_ { y})} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x} v_ {y})} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {y} ^ {2})} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {y} v_ {z})} {\ partial z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} \ right) \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial y }} \ left [\ mu \ left (2 {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v} }) \ right) \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} \ right) \ right] + f_ {y} \\ & {\ frac {\ partial (\ rho v_ {z})} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {x} v_ {z})} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {y} v_ {z})} {\ partial y }} + {\ frac {\ partial (\ rho v_ {z} ^ {2})} {\ partial z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial z}} \ right) \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left [\ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial z}} \ right) \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [\ mu \ left (2 {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ ve c {v}}) \ right) \ right] + f_ {z} \ end {align}}}$

În ea sunt și componentele vectoriale în direcțiile spațiale -, - și - . În această formă, poate fi luată în considerare o posibilă dependență de localizare a vâscozității de forfecare datorită dependenței sale de temperatură și a fluctuațiilor de temperatură din fluid. ${\ displaystyle v_ {x, y, z}}$${\ displaystyle f_ {x, y, z}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

Des-dimensionalizare

Ecuațiile Navier-Stokes pot fi de-dimensionalizate cu măsuri caracteristice ale întregii zone de curgere pentru lungime , viteză și densitate . Acest lucru creează cantități adimensionale ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle v _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ infty}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {x}} ^ {\ ast}: = {\ frac {\ vec {x}} {L}}, \ quad \ nabla ^ {\ ast}: = L \ nabla, \ quad \ Delta ^ {\ ast}: = L ^ {2} \ Delta, \ quad {\ vec {v}} ^ {\ ast}: = {\ frac {\ vec {v}} {v_ {\ infty}}}, \ quad \\ t ^ {\ ast}: = {\ frac {v _ {\ infty} t} {L}}, \ quad \ rho ^ {\ ast}: = {\ frac {\ rho} {\ rho _ {\ infty}}}, \ quad p ^ {\ ast}: = {\ frac {p} {\ rho _ {\ infty} v _ {\ infty} ^ {2}} }, \ quad {\ vec {f}} ^ {\ ast}: = {\ frac {L {\ vec {f}}} {\ rho _ {\ infty} v _ {\ infty} ^ {2}} }, \ end {align}}}$

care duc la ecuația impulsului adimensional:

${\ displaystyle \ rho ^ {\ ast} \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {v}} ^ {\ ast}} {\ partial t ^ {\ ast}}} + ({\ vec {v }} ^ {\ ast} \ cdot \ nabla ^ {\ ast}) {\ vec {v}} ^ {\ ast} \ right) = - \ nabla ^ {\ ast} p ^ {\ ast} + {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ Delta ^ {\ ast} {\ vec {v}} ^ {\ ast} + {\ frac {1} {3 \ mathrm {Re}}} \ nabla ^ {\ ast} (\ nabla ^ {\ ast} \ cdot {\ vec {v}} ^ {\ ast}) + {\ vec {f}} ^ {\ ast}}$

Aceasta caracterizează numărul Reynolds fără dimensiuni

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {L \ rho _ {\ infty} v _ {\ infty}} {\ mu}}}$

debitul din punct de vedere al raportului de inerție la forțele de forfecare.

În cazul fluxurilor cu o suprafață liberă, densitatea forței adimensional conține numărul Froude , care caracterizează raportul dintre inerție forțelor gravitaționale. ${\ displaystyle {\ vec {f}} ^ {\ ast}}$

Derivarea ecuației impulsului

Expansiunea Chapman-Enskog a celor ecuațiile Boltzmann ale celor cinetice teoria gaz conduce la ecuațiile Navier-Stokes cu vâscozitate dispărând în vrac, adică pentru . Această dezvoltare se bazează pe o funcție de distribuție care depinde doar de viteza particulelor, adică neglijează impulsul lor unghiular de rotație. Aceasta este o presupunere bună în cazul gazelor monatomice la presiune scăzută până la medie, dar nu se mai aplică gazelor poliatomice. Dezvoltarea Chapman-Enskog este atât de exigentă matematic, încât nu poate fi prezentată aici.${\ displaystyle \ zeta = 0}$

În abordarea mecanică fenomenologică a continuumului, ecuațiile Navier-Stokes cu vâscozitatea volumului rezultă după cum urmează din presupunerea lui Newton de vâscozitate liniară. Vâscozitatea se bazează pe experiment, conform căruia este necesară o forță pentru a menține un flux de forfecare , care, pe baza ariei sale efective, corespunde unei solicitări de forfecare . Presiunea, care reprezintă o tensiune normală uniformă în toate direcțiile spațiale, acționează și în fluid . Tensorul de stres al lui Cauchy rezumă starea stresului dintr-un element fluid într-un obiect matematic și întruchipează divergența acestuia în consecință ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ int _ {A} {\ vec {s}} \, \ mathrm {d} A = \ int _ {V} \ operatorname {div} {\ varvec {\ sigma }} \, \ mathrm {d} V}$

fluxul de forțe din fluid. Forța care acționează cu forțe distribuite pe suprafața volumului este volumul integral peste divergența tensorului de solicitare. Prin urmare, acest lucru contribuie la accelerarea substanțială ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {v}}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + {\ vec {v}} \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}} ) = {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \ cdot {\ vec {v}} = {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + \ operatorname {grad} ({\ vec {v}}) \ cdot {\ vec {v}}}$

a elementelor fluide. În plus față de divergența tensorului de tensiune, o forță distribuită în volum, cum ar fi gravitația, poate acționa asupra unui element fluid, astfel încât prima lege a mișcării Cauchy-Euler rezultă cu densitatea : ${\ displaystyle {\ vec {f}}}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ vec {f}}}$

Un fluid newtonian este capabil să transfere forțe prin presiunea din fluid și prin tensiuni, care depind de schimbarea spațială a vitezei de curgere și sunt vizibile macroscopic ca vâscozitate . Schimbarea spațială a vitezei de curgere este rezumată în gradientul de viteză . Cu toate acestea, nu există solicitări într-o rotație rigidă, care este măsurată de partea asimetrică a gradientului de viteză, a se vedea cinematica în mecanica fluidelor . În consecință, numai partea simetrică a gradientului de viteză , tensorul distorsiunii vitezei , poartă${\ displaystyle \ operatorname {grad} {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ mathbf {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {d}: = {\ frac {1} {2}} [\ nabla \ otimes {\ vec {v}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top }] = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 2 {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial v_ {x}} { \ partial y}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ { z}} {\ partial x}} \\ & 2 {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial z}} + { \ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} \\ {\ text {sym.}} && 2 {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix} }}$

contribuie la vâscozitate. Într-un model material de vâscozitate liniară care este invariant în sistemul de referință , tensorul de solicitare poate depinde doar de și principalul său invariant liniar . Modelul material al teoriei materialului clasic pentru fluidul izotrop liniar vâscos este în consecință: ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d})}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) \ mathbf {1} +2 \ mu \ mathbf {d} = - p \ mathbf {1} + \ zeta \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) \ mathbf {1} +2 \ mu \ mathbf {d} ^ {\ rm {D}}}$

Denotă presiunea (statică), unitatea de tensorul , trace , SuperScript deviator , vâscozitatea la forfecare , prima constanta matematicienilor Lamé și vâscozitatea volumului . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle \ operatorname {Sp}}$${\ displaystyle {\ rm {D}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ zeta = \ lambda +2 \ mu / 3}$

Introducerea divergenței tensorului de solicitare în prima lege a mișcării Cauchy-Euler conduce la ecuațiile Navier-Stokes.

dovada

Pentru legea mișcării lui Cauchy-Euler, divergența tensorului de tensiune este calculată folosind ${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ mathbf {d} = & \ nabla \ otimes {\ vec {v}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \\\ operatorname {Sp} \ mathbf {d} = & \ nabla \ cdot {\ vec {v}} \ end {align}}}$ și regulile de derivare ${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot (f \ mathbf {1}) = & \ nabla f \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {f}}) = & (\ nabla \ cdot \ nabla) {\ vec {f}} = \ Delta {\ vec {f}} \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {f}}) ^ {\ top} = & \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {f}}) \ end {align}}}$ vezi colecția de formule Tensoranalysis , cu condiția: ${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = & \ nabla \ cdot \ left [-p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d }) \ mathbf {1} +2 \ mu \ mathbf {d} \ right] \\ = & - \ nabla p + \ lambda \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + \ mu \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) + \ mu \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \\ = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \ end {align}}}$ În aceasta este operatorul Laplace . Parametrii de vâscozitate sunt dependenți de temperatură, iar temperatura este local variabilă, în special în gaze, care ar trebui luată în considerare la formarea divergenței. Asta a fost neglijat aici (ca de obicei). Astfel apar ecuațiile Navier-Stokes ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}} \\\ rho {\ dot {\ vec {v}}} = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + {\ vec {f}}, \ end {align}}}$ unde ecuația de mai jos presupune incompresibilitate . Regula produsului este utilizată pentru a calcula densitatea impulsului : ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {v}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ vec {m}}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial (\ rho {\ vec {v}})} {\ partial t}} = & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} {\ vec {v}} + \ rho {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t} } \\\ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = & \ nabla \ cdot ({\ vec {m}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {m}}) {\ vec {v}} + ({\ vec {m}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial {\ vec {m}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = & {\ underline {{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} {\ vec {v}}}} + \ rho {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + {\ underline {(\ nabla \ cdot {\ vec {m}}) {\ vec {v}}}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \ cdot {\ vec {v}} = \ rho {\ dot { \ vec {v}}} \ end {align}}}$ Termenii subliniați sunt omiși din cauza ecuației de continuitate și se creează ecuația pentru densitatea impulsului: ${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ vec {v}}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {m}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}}$

Presiunea, densitatea și tensorul vitezei de distorsiune sunt obiective, vezi transformarea euclidiană , deci sunt percepute în același mod de diferiți observatori. Prin urmare, ecuațiile Navier-Stokes sunt invariante pentru o transformare Galilei . ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$

Ecuațiile Navier-Stokes pentru fluidele incompresibile

Dacă densitatea nu se modifică de-a lungul traiectoriei particulelor, se spune că fluxul este incompresibil . Aceasta este, de exemplu, o presupunere rezonabilă pentru apă sau gaze cu mult sub viteza sunetului ( număr Mach <0,3). Ecuația de continuitate este simplificată pentru a se asigura că câmpul vitezei este liber de divergență :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {v}} = 0}$

Ecuația impulsului se simplifică în:

${\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + \ left ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla \ right) {\ vec { v}} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + {\ vec {f}}}$

Aici reprezintă presiunea fizică, este o forță de volum bazată pe volumul unității și este vâscozitatea dinamică. Un debit incompresibil este complet descris de un sistem de ecuații diferențiale parțiale cu două ecuații pentru cele două cantități viteză și presiune în funcție de locație și timp. Conservarea energiei nu este necesară pentru închiderea sistemului. Acest set de ecuații este, de asemenea, cunoscut sub numele de incompresibile ecuații de densitate variabilă Navier-Stokes . Exemple de aplicații pentru această ecuație sunt probleme în oceanografie, când apa cu salinitate diferită este incompresibilă, dar nu are o densitate constantă. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {f}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle p}$

În multe probleme practice, fluxul nu este doar incompresibil, dar are chiar și o densitate constantă. Aici puteți împărți la densitate și o puteți include în operatorii diferențiali:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = - \ nabla {\ overline {p}} + \ nu \ Delta {\ vec {v}} + {\ overline {\ vec {f}}}}$

În această ecuație reprezintă coeficientul de presiune fizică și densitate și este o accelerație datorată gravitației . Aceste variabile reprezintă astfel presiunea sau forța de volum legată de masa unitară. Variabila este vâscozitatea cinematică și măsoară transportul impulsului difuziv. ${\ displaystyle {\ overline {p}} = p / \ rho}$${\ displaystyle {\ overline {\ vec {f}}} = {\ vec {f}} / \ rho}$${\ displaystyle \ nu = \ mu / \ rho}$

Acestea din urmă sunt ecuațiile de asemenea , menționate în literatura de specialitate ca incompresibile ecuațiile Navier-Stokes sau pur și simplu a ecuațiile Navier-Stokes , deoarece acestea sunt cele mai bune studiate și cel mai frecvent utilizate în practică. De asemenea, sunt mai ușor de rezolvat decât ecuațiile pentru fluidele compresibile. Ecuațiile pot fi utilizate pentru multe probleme importante de curgere, de exemplu cu curenți de aer mult sub viteza sunetului ( număr Mach <0,3), pentru curenții de apă și pentru metalele lichide. Cu toate acestea, de îndată ce densitățile fluidelor luate în considerare se modifică semnificativ, cum ar fi în fluxurile supersonice sau în meteorologie, ecuațiile Navier-Stokes pentru fluidele incompresibile nu mai reprezintă un model adecvat de realitate și trebuie înlocuite cu Navier-Stokes complet. ecuații pentru fluidele compresibile Fluidele sunt înlocuite.

Ecuația impulsului pentru incompresibilitate în componente

Forma vectorială a ecuațiilor se aplică în fiecare sistem de coordonate . Aici ecuațiile componente ale ecuației impulsului pentru incompresibilitate trebuie date în coordonate carteziene, cilindrice și sferice.

Într-un sistem cartezian , bilanțul impulsului este scris: ${\ displaystyle xyz}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho {\ frac {\ mathrm {D} v_ {x}} {\ mathrm {D} t}} = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial x} } + \ mu \ Delta v_ {x} + f_ {x} \\\ rho {\ frac {\ mathrm {D} v_ {y}} {\ mathrm {D} t}} = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} + \ mu \ Delta v_ {y} + f_ {y} \\\ rho {\ frac {\ mathrm {D} v_ {z}} {\ mathrm {D} t}} = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + \ mu \ Delta v_ {z} + f_ {z} \\ {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t }} = & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v_ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + v_ {y} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + v_ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {align}}}$

Operatorul reprezintă derivatul substanțial . ${\ displaystyle {\ tfrac {D} {\ mathrm {D} t}}}$

În coordonate cilindrice ( ) ecuațiile sunt: ${\ displaystyle R, \ varphi, z}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {D} v_ {R}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {v _ {\ varphi} ^ { 2}} {R}} \ right) = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial R}} + \ mu \ left (\ Delta v_ {R} - {\ frac {v_ {R}} { R ^ {2}}} - {\ frac {2} {R ^ {2}}} {\ frac {\ partial v _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) + f_ {R} \\ \ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {D} v _ {\ varphi}} {\ mathrm {D} t}} + {\ frac {v_ {R} v _ {\ varphi}} {R }} \ right) = & - {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ partial p} {\ partial \ varphi}} + \ mu \ left (\ Delta v _ {\ varphi} - {\ frac {v _ {\ varphi}} {R ^ {2}}} + {\ frac {2} {R ^ {2}}} {\ frac {\ partial v_ {R}} {\ partial \ varphi}} \ right) + f_ {\ varphi} \\\ rho {\ frac {\ mathrm {D} v_ {z}} {\ mathrm {D} t}} = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + \ mu \ Delta v_ {z} + f_ {z} \\ {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} = & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v_ {R} {\ frac {\ partial} {\ partial R}} + {\ frac {1} {R}} v _ {\ varphi} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi }} + v_ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {align}}}$

În coordonatele sferice ( ) ecuațiile sunt: ${\ displaystyle r, \ varphi, \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {D} v_ {r}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {v _ {\ varphi} ^ { 2} + v _ {\ theta} ^ {2}} {r}} \ right) = & - {\ frac {\ partial p} {\ partial r}} + \ mu \ left [\ Delta v_ {r} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} \ left (v_ {r} + {\ frac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial \ theta}} + v _ {\ theta} \ cot \ theta + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial v _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ right] + f_ {r} \ \\ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {D} v _ {\ varphi}} {\ mathrm {D} t}} + {\ frac {v_ {r} v _ {\ varphi} + v _ { \ varphi} v _ {\ theta} \ cot \ theta} {r}} \ right) = & - {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial p} {\ partial \ varphi}} + \ mu \ left [\ Delta v _ {\ varphi} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left (-v _ {\ varphi} +2 {\ frac {\ partial v_ {r}} {\ partial \ varphi}} + 2 {\ frac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial \ varphi}} \ cos \ theta \ right) \ dreapta] + f _ {\ varphi} \\\ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {D} v _ {\ theta}} {\ mathrm {D} t}} + {\ frac {v_ {r} v _ {\ theta} -v _ {\ varphi} ^ {2} \ cot \ theta} {r}} \ right) = & - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial p} {\ partial \ theta}} + \ mu \ left [\ Delta v _ {\ theta} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial v_ {r}} {\ partial \ theta}} - {\ frac {v _ {\ theta}} {\ sin ^ {2} \ theta}} - {\ frac {\ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial v _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ right] + f _ {\ theta} \\ {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t }} = & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v_ {r} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} + {\ frac {v _ {\ varphi}} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {v _ {\ theta}} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ sfârșit {aliniat}}}$

Ecuațiile Navier-Stokes pentru fluidele compresibile

Pentru gazele compresibile, ecuațiile de impuls de mai sus sunt extinse pentru a include echilibrul energetic și ecuația de stare a unui gaz ideal . Setul complet de ecuații constă astfel din ecuația continuității ( conservarea masei ), echilibrul impulsului ( conservarea impulsului ), echilibrul energetic ( conservarea energiei ) și o ecuație de stare. Legile date între paranteze se aplică în sistemele închise, dar fluxurile de intrare și ieșire trebuie să fie echilibrate pe o particulă de fluid, ceea ce duce la ecuații de echilibru care pot fi căutate în mecanica fluidelor . Presupunând că densitatea este constantă de-a lungul traiectoriei particulelor, ecuațiile pentru fluidele incompresibile apar din nou.

În cele ce urmează, derivata unei variabile înseamnă în funcție de timp și este operatorul Nabla , care formează derivata în funcție de locație, adică divergența sau gradientul, în funcție de legătură, și sunt cele trei coordonate de locație într-un sistem de coordonate cartezian. . Ecuațiile de echilibru specificate conduc la ecuații de conservare în sisteme închise. ${\ displaystyle \ partial _ {t}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle x_ {i} ~ (i = 1,2,3)}$

Conservarea masei

De Ecuația de continuitate corespunde conservării masei și este formulat aici cu densitatea de impuls : ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ vec {m}} = 0}$

Conservarea impulsului

Echilibrul impulsului corespunde conservării impulsului și este în notație index

${\ displaystyle \ rho {\ dot {v}} _ {i}: = \ partial _ {t} m_ {i} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ partial _ {x_ {j}} m_ {i} v_ {j} = - \ partial _ {x_ {i}} p + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ partial _ {x_ {j}} S_ {ij} + f_ {i } \ qquad (i = 1,2,3),}$

unde delta Kronecker și ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle S_ {ij} = \ mu (\ partial _ {x_ {j}} v_ {i} + \ partial _ {x_ {i}} v_ {j}) + \ lambda \ delta _ {ij} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ partial _ {x_ {k}} v_ {k} \ qquad (i, j = 1,2,3)}$

sunt tensorul de frecare sau tensorul de solicitare vâscoasă . Parametrul material este vâscozitatea dinamică, prima constantă Lamé și este a -a componentă a vectorului forței volumului. În mod alternativ, notația fără coordonate, echilibrul impulsului este ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = {\ frac {\ partial {\ vec {m}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = \ nabla \ cdot \ left (-p \ mathbf {1} + \ mathbf {S} \ right) + {\ vec {f}},}$

in care

${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mu \ left [(\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} + \ nabla \ otimes {\ vec {v}} \ right] + \ lambda (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \ mathbf {1} = 2 \ mu \ mathbf {d} + \ lambda \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) \ mathbf {1}}$

tensorul stres vâscoasă, tulpina vitezei tensorul, care este simetrică parte a gradientul vitezei și are urme , tensorul stres, 1 este unitatea tensorul și produsul diadica , vezi # derivarea ecuației impulsului de mai sus. ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$${\ displaystyle -p \ mathbf {1} + \ mathbf {S} = {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ otimes}$

Conservarea Energiei

Se citește echilibrul energetic al particulelor de fluid din câmpul gravitațional al Pământului

${\ displaystyle \ partial _ {t} \ rho E + \ nabla \ cdot (H {\ vec {m}}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {S} \ cdot {\ vec {v}} - {\ vec {W}}) + q- \ rho {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {g}},}$

unde accelerația gravitației și ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$

${\ displaystyle H = E + {\ frac {p} {\ rho}}}$

este entalpia pe unitate de masă. Semnul negativ din fața accelerației datorat gravitației rezultă din vectorul direcționat în jos , astfel încât energia potențială este câștigată într-un curent ascendent . Fluxul de căldură poate, prin intermediul coeficientului de conductivitate termică ca ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {W}}}$${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle {\ vec {W}} = - \ kappa \ nabla T}$

să fie scris. Termenul sursă poate fi folosit, de exemplu, pentru a descrie absorbția și emisia de căldură din gazele cu efect de seră ca urmare a radiațiilor . Energia totală pe unitate de masă este suma energiei interne ( ), cinetice și potențiale, deci poate fi scrisă (cu înălțimea ) ca ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle E = e + {\ frac {1} {2}} | {\ vec {v}} | ^ {2} + h | {\ vec {g}} |.}$

Ecuația de stare

Deci, acum există patru ecuații pentru cinci variabile și sistemul este completat de următoarea ecuație de stare :

${\ displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho \ left (E - {\ frac {1} {2}} | {\ textbf {v}} | ^ {2} -h | {\ vec {g} } | \ dreapta)}$

Densitatea, presiunea și temperatura mărimilor termodinamice sunt legate de legea ideală a gazului :

${\ displaystyle T = {\ frac {p} {\ rho R}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad e = \ int _ {T_ {0}} ^ {\ top} c_ {v} (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}$

Adesea, se presupune, de asemenea, un gaz perfect, cu o capacitate termică specifică constantă . Apoi integralul este simplificat și se aplică următoarele: ${\ displaystyle c_ {v}}$

${\ displaystyle e = c_ {v} T = {\ frac {RT} {\ gamma -1}} = {\ frac {p} {\ rho \ cdot (\ gamma -1)}}}$

În ambele cazuri, exponentul izentropic agățat și constanta gazului prin coeficientul specific de căldură pentru presiune constantă, respectiv volum constant prin și împreună. ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle c_ {p}}$${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {c_ {p}} {c_ {v}}}}$${\ displaystyle R = c_ {p} -c_ {v}}$

Condiții de frontieră

Un punct esențial în ecuațiile Navier-Stokes este condiția de alunecare ( condiția de alunecare ) foarte bine dovedită experimental , în care zero este specificat ca viteza relativă pe un perete atât în direcția normală , cât mai ales în direcția tangențială . Particulele fluide se lipesc de perete. Acest lucru duce la formarea unui strat limită , care este responsabil pentru fenomenele esențiale modelate numai de ecuațiile Navier-Stokes. Numai dacă calea liberă a moleculelor în mișcare este mare în raport cu lungimea caracteristică a geometriei (de exemplu, pentru gazele cu densități extrem de mici sau curge în goluri extrem de înguste), această condiție nu mai este utilă.

Datorită condițiilor limită dinamice (adică forței) pe o suprafață, suprafața este în general deformată și fluxul o urmează. Problema include apoi determinarea zonei. Rezultă din specificarea forței de suprafață sau a vectorului de tensiune pentru toate punctele de pe suprafață și faptul că suprafața este o suprafață materială, deoarece forțele de suprafață pot fi aplicate numai particulelor fluide. Următoarele se aplică la suprafață , unde este versorul normal al suprafeței și stresul tensorului se calculează din materialul ecuație. În special, în special în domeniul tehnic, cum ar fi B. la ieșirea unei țevi prin care există un debit, zona este cunoscută, ceea ce simplifică considerabil sarcina. ${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0} = {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {n}}}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) \ mathbf {1} +2 \ mu \ mathbf {d}}$

În cazul fluxurilor corespunzătoare la scară mică, trebuie luată în considerare tensiunea superficială , care, conform ecuației Young-Laplace, depinde de curbura suprafeței. Dacă curbura este slabă, ecuația apare pentru presiunea de pe suprafață

${\ displaystyle p (x, y, z = h) = p_ {0} - \ gamma \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} h (x, y)} {\ partial x ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} h (x, y)} {\ partial y ^ {2}}} \ right).}$

Iată presiunea specificată pe suprafață , care aici are parametrii suprafeței și , și este un parametru care scalează puterea tensiunii superficiale.${\ displaystyle p_ {0}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ gamma}$

În plus, dacă este necesar, trebuie specificată fie o temperatură, fie un flux de căldură la margine.

Solutii posibile

Soluție teoretică

Până în prezent nu a fost posibil să se demonstreze existența unor soluții globale. Matematicieni precum P.-L. Leii (a se vedea lista literaturii) iau în considerare în esență cazul special important al ecuațiilor incompresibile Navier-Stokes. În timp ce Olga Alexandrovna Ladyschenskaja , Roger Temam și Ciprian Foias, printre alții , au reușit deja să demonstreze afirmații extinse despre existență, unicitate și regularitate pentru cazul bidimensional, până în prezent nu există rezultate pentru cazul tridimensional general, există unele teoreme fundamentale de încorporare pentru așa-numitele spații Sobolev nu mai pot fi utilizate. Cu toate acestea, există  declarații de existență și unicitate pentru timpii finiți sau date speciale, în special mici, inițiale, de asemenea, în cazul tridimensional - în special pentru soluțiile slabe . Cazul soluțiilor slabe ale ecuațiilor Navier-Stokes, de asemenea, în trei dimensiuni a fost abordat de Jean Leray în 1934. El a arătat că soluțiile slabe pe care le-a introdus nu prezintă un comportament patologic în două dimensiuni (nu există divergențe (explodare) în timp finit) și astfel global există în timp. Cu toate acestea, cercetările efectuate de Tristan Buckmaster și Vlad Vicol au arătat că pentru un alt tip de soluție slabă (mai slabă decât definiția lui Leray), ecuațiile Navier-Stokes prezintă un comportament patologic (ambiguitate) în trei dimensiuni.

Potrivit Institutului de Matematică Clay , problema dovezii generale, incompresibile, a existenței în trei dimensiuni este una dintre cele mai importante probleme matematice nerezolvate de la începutul mileniului.

În practică, soluțiile analitice sunt obținute prin simplificarea modelelor fizice / condițiilor limită (cazuri speciale). Neliniaritatea accelerației convective prezintă aici o problemă particulară . Reprezentarea cu ajutorul vorticității este utilă aici : ${\ displaystyle ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ nabla \ times {\ vec {v}} = \ operatorname {red} \; {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ | {\ vec {v}} \ |) ^ {2} - {\ vec {v}} \ times {\ vec {\ omega}}}$

Soluțiile analitice închise există aproape numai pentru cazurile în care al doilea termen dispare. Aceasta se bazează pe presupunerea că în fluxurile tridimensionale vârtejurile se formează întotdeauna de-a lungul liniei aerodinamice (conform legii vortexului Helmholtz ), adică pentru caz. Cu toate acestea, această ipoteză nu se aplică tuturor curenților reali. O soluție analitică cu este în vortexul Hamel-Oseenschen . ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ | {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ bot {\ vec {v}}}$

Ecuațiile Navier-Stokes sunt un câmp important de aplicare în matematica numerică (teoria se ocupă de existența și unicitatea soluțiilor; totuși, în general, nu există formule de soluții închise). Sub-zona care se ocupă cu construcția metodelor de aproximare numerică pentru ecuațiile Navier-Stokes este mecanica numerică a fluidelor sau Dinamica calculată a fluidelor (CFD).

Soluție numerică

Pentru soluția numerică a ecuațiilor Navier-Stokes sunt utilizate metode de mecanică numerică a fluidelor . Deoarece discretizările sunt diferență finită , metoda elementului finit și volumul finit , precum și pentru sarcini speciale, metodele spectrale utilizate și alte tehnici. Pentru a putea rezolva corect stratul limită, grilele trebuie rezolvate extrem de fin în direcția normală lângă perete. Acest lucru nu se face în direcția tangențială, astfel încât celulele de pe perete au raporturi de aspect extrem de mari.

Rezoluția fină forțează pași de timp extrem de mici din cauza conformității cu condiția CFL cu integrare explicită a timpului. Prin urmare, sunt de obicei utilizate proceduri implicite. Datorită neliniarității sistemului de ecuații , sistemul trebuie rezolvat iterativ (de exemplu, cu metode multi-grid sau Newton ). Combinația de ecuații de impuls și continuitate în ecuațiile incompresibile are o structură de punct de șa care poate fi utilizată aici.

Modelul FHP este un model simplu pentru simularea fluidelor care satisface ecuația Navier-Stokes în limita hidrodinamică . Dezvoltarea sa ulterioară duce la metodele Lattice-Boltzmann , care sunt deosebit de atractive în contextul paralelizării pentru execuția pe supercomputerele .

În domeniul graficii computerizate , au fost utilizate mai multe metode de soluție numerică în care o reprezentare în timp real poate fi realizată prin anumite ipoteze, deși în unele cazuri corectitudinea fizică nu este întotdeauna garantată. Un exemplu în acest sens este procesul „fluidelor stabile” dezvoltat de Jos Stam . Aici, metoda de proiecție Chorin a fost utilizată pentru domeniul graficii computerizate.

Calculul debitelor turbulente

Pentru a calcula fluxurile turbulente , ecuațiile Navier-Stokes pot fi calculate numeric direct . Cu toate acestea, rezoluția turbulenței individuale forțează o grilă foarte fină, astfel încât acest lucru este economic doar în cercetare cu ajutorul supercomputerelor și cu numere mici de Reynolds .

În practică, soluția ecuațiilor Reynolds a prevalat. Totuși, aici este necesar un model de turbulență pentru a închide sistemul de ecuații.

Calea de mijloc este simularea vârtejului mare , care calculează cel puțin vârtejurile mari numeric și simulează doar scările mici folosind un model de turbulență.

O convecție mult studiată care poate fi descrisă cu ecuația Navier-Stokes este convecția Rayleigh-Bénard . Este un exemplu important de structuri de auto-organizare și teoria haosului .

Simplificări

Datorită proprietăților dificile de solvabilitate ale ecuațiilor Navier-Stokes, se vor încerca aplicații (în măsura în care acest lucru este sensibil din punct de vedere fizic) de a lua în considerare versiunile simplificate ale ecuațiilor Navier-Stokes.

Ecuațiile lui Euler

Dacă vâscozitatea este neglijată ( ), se obțin ecuațiile Euler (aici pentru cazul compresibil) ${\ displaystyle \ eta = \ lambda = 0}$

${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = - \ nabla p + {\ vec {f}}.}$

Ecuațiile Euler pentru fluidele comprimabile joacă un rol în special în aerodinamică ca o aproximare a ecuațiilor complete Navier-Stokes.

Ecuația Stokes

Un alt tip de simplificare este comun, de exemplu, în geodinamică , unde mantaua pământului (sau a altor planete terestre) este tratată ca un lichid extrem de vâscos ( flux fluent ). În această aproximare, difuzivitatea impulsului, adică H. vâscozitatea cinematică, multe ordine de mărime mai mari decât difuzivitatea termică și termenul de inerție pot fi neglijate. Dacă se introduce această simplificare în ecuația de impuls staționar Navier-Stokes, se obține ecuația Stokes :

${\ displaystyle - \ nabla p + \ mu \ cdot \ Delta {\ vec {v}} + {\ vec {f}} = 0}$

Aplicând proiecția Helmholtz la ecuație, presiunea dispare în ecuație: ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ mu \ cdot P \ Delta {\ vec {v}} + {\ tilde {\ vec {f}}} = 0}$

cu . Aceasta are avantajul de care depinde doar ecuația . Ecuația originală se obține cu ${\ displaystyle {\ tilde {\ vec {f}}} = P {\ vec {f}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle \ nabla p = (\ operatorname {Id} -P) (\ Delta {\ vec {v}} + f),}$

${\ displaystyle P \ Delta}$se mai numește și operatorul Stokes .

Pe de altă parte, geomaterialele au o reologie complicată, ceea ce înseamnă că vâscozitatea nu este considerată constantă. În cazul incompresibil, rezultă:

${\ displaystyle - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ {\ mu [\ nabla {\ vec {v}} + (\ nabla {\ vec {v}}) ^ {\ mathrm {T}}] \} + {\ vec {f}} = 0}$

Aproximare Boussinesq

Aproximarea Boussinesq este adesea utilizată pentru debitele dependente de gravitație cu variații mici de densitate și fluctuații de temperatură care nu sunt prea mari.

Ecuații Stochastic Navier-Stokes

Deoarece nu există încă nicio dovadă a existenței soluțiilor ecuațiilor generale Navier-Stokes, nu este sigur că acestea reflectă turbulența în fluide și, dacă da, cât de realiste. În plus, tulburările externe aleatorii pot influența fluxul (efect de fluture ) și se știe că elementele fluide efectuează o mișcare browniană aleatorie . Astfel de fluctuații aleatorii pot fi surprinse printr-o abordare stocastică . Devine o ecuație diferențială stocastică în notație diferențială

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {t} = [- \ nabla p_ {t} + \ mu \ Delta {\ vec {v}} _ {t} - ({\ vec { v}} _ {t} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} _ {t} + {\ vec {f}} _ {t}] \ mathrm {d} t + b ({\ vec {v }} _ {t}, \ operatorname {grad} {\ vec {v}} _ {t}) \ mathrm {d} W_ {t}}$

considerat. Termenul între paranteze pătrate reprezintă ecuațiile Navier-Stokes pentru incompresibilitate și termenul următor o influență stocastică, cum ar fi mișcarea browniană. Această abordare face obiectul activității de cercetare plină de viață de la începutul mileniului.

literatură

• H. Oertel (Ed.): Ghid Prandtl prin mecanica fluidelor. Fundamente și fenomene . Ediția a 13-a. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 . 
• GK Batchelor : o introducere în dinamica fluidelor. Cambridge University Press, Cambridge și colab. 2000, ISBN 0-521-66396-2 ( biblioteca matematică Cambridge ).
• Alexandre Chorin , Jerrold Marsden : O introducere matematică la mecanica fluidelor. Ediția a III-a corectată, a treia tipărire. Springer, New York NY și colab. 1998, ISBN 3-540-97918-2 ( Texte în matematică aplicată 4).
• Robert Kerr, Marcel Oliver: Regulat sau nu regulat? - Urmărirea singularităților fluxului. În: Dierk Schleicher, Malte Lackmann: O invitație la matematică: perspective asupra cercetărilor actuale . Springer Spektrum Verlag, 2013. ISBN 978-3-642-25797-1 .
• LD Landau, EM Lifschitz: Manual de fizică teoretică , volumul VI: hidrodinamică . Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500070-6 .
• Pierre-Louis Lions : Subiecte matematice în mecanica fluidelor. Volumul 1: Modele incompresibile. Clarendon Press, Oxford și colab. 1996, ISBN 0-19-851487-5 ( seria de cursuri Oxford în matematică și aplicațiile sale 3).
• Pierre-Louis Lions: Subiecte matematice în mecanica fluidelor. Volumul 2: Modele compresibile. Clarendon Press, Oxford și colab. 1998, ISBN 0-19-851488-3 ( seria de cursuri Oxford în matematică și aplicațiile sale 10).
• Thomas Sonar : Turbulențe în jurul mecanicii fluidelor . Dosarul Spectrum of Science 6/2009: „Cele mai mari puzzle-uri în matematică”, ISBN 978-3-941205-34-5 , pp. 64–73.
• Karl Wieghardt : Mecanica teoretică a fluidelor. A doua ediție revizuită și extinsă. Teubner, Stuttgart 1974, ISBN 3-519-12034-8 Linii directoare pentru matematică și mecanică aplicată. Cărți de studiu Teubner; (Reimprimare: Universitäts-Verlag Göttingen, Göttingen 2005, ISBN 3-938616-33-4 ( Göttingen Classics of Fluid Mechanics 2)).
• Lars Davidson: Mecanica fluidelor, fluxul turbulent și modelarea turbulenței . (PDF) Note de curs, Universitatea de Tehnologie Chalmers, Gothenburg, Suedia.

Link-uri web

• Descrierea ecuațiilor Millennium Problem Navier-Stokes (PDF; 98 kB).
• Navier-Stokes Prima transformare exactă. (PDF; 185 kB).
• Video: ecuația Navier-Stokes . Institutul pentru film științific (IWF) 2007, pus la dispoziție de Biblioteca de informații tehnice (TIB), doi : 10.3203 / IWF / C-13096 .

Dovezi individuale

1. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Mecanica fluidelor - Curs de fizică teoretică , Institutul de probleme fizice, Pergamon Press, 1966, pp. 47-53.
2. ↑ A. Chorin, J.-E. Marsden: O introducere matematică la mecanica fluidelor . Springer Verlag, 2000.
3. ↑ T. Sonar: Turbulențe în jurul mecanicii fluidelor . Spektrum der Wissenschaft Verlag, aprilie 2009, pp. 78-87.
4. ^ ^{A b} G. G. Stokes: Despre teoriile fricțiunii interne a fluidelor în mișcare . În: Tranzacțiile Societății Filozofice din Cambridge . bandă 8 , 1845, p. 287-305 ( archive.org [accesat la 15 noiembrie 2020]). 
5. ↑ H. Schlichting, Klaus Gersten: teoria straturilor de graniță . Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-3-662-07554-8 , pp. 73 ( books.google.de [accesat la 15 noiembrie 2020]). 
6. ↑ F. Durst: Fundamentele mecanicii fluidelor . Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0 , pp. 10-16 . 
7. ↑ J.-N. Reddy: o introducere în mecanica continuului. Cambridge 2008, pp. 212-214.
8. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Mecanica fluidelor - Curs de fizică teoretică , Institutul de probleme fizice, Pergamon Press, 1966, pp. 47-53.
9. ↑ Oertel (2012), p. 252.
10. ↑ Oertel (2012), p. 267 și urm.
11. ^ Sydney Chapman, TG Cowling: The Mathematical Theory of Non-uniform Gases . O relatare a teoriei cinetice a viscozității, conducerii termice și difuziei în gaze. Cambridge University Press, 1970, ISBN 978-0-521-40844-8 . 
12. ↑ Bergmann, Schaefer: Manual de fizică experimentală . Gazele. Nanosisteme. Lichide. Ed.: Thomas Dorfmüller, Karl Kleinermanns. Ediția a II-a. bandă 5 . Walter de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 978-3-11-017484-7 , p. 45 f . ( google.de [accesat la 15 noiembrie 2020]). 
13. ↑ Un rezumat pe mai multe pagini poate fi găsit în Jonas Toelke: Metoda Lattice-Boltzmann pentru simularea fluxurilor în două faze . Ed.: Facultatea de Inginerie Civilă și Topografie la Universitatea Tehnică din München. 2001, p. 11–15 ( online ( amintire din 10 iulie 2018 în Arhiva Internet ) [PDF; 25.5 MB ; accesat la 15 noiembrie 2020]). 
14. ↑ M. Bestehorn: hidrodinamică și formarea structurii . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6 . 
15. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Mecanica fluidelor - Curs de fizică teoretică , volumul 6, Institutul de probleme fizice, Pergamon Press, 1966.
16. ↑ P. Haupt: Mecanica continuă și teoria materialelor . Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X , pp. 182 ff . 
17. ↑ M. Bestehorn: hidrodinamica și formarea structurii . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6 , pp. 64 . 
18. ^ Tristan Buckmaster, Vlad Vicol: Nonuniquitatea soluțiilor slabe la ecuația Navier-Stokes. Annals of Mathematics, volumul 189, 2019, pp. 101-144, Arxiv, accesat la 15 noiembrie 2020.
19. ↑ Hannelore Inge Breckner: Aproximarea și controlul optim al ecuației stochastice navier-stokes . Ed.: Facultatea Matematică-Natural-Științifico-Tehnică a Universității Martin Luther Halle-Wittenberg. 1999, p. 1 (engleză, uni-halle.de [accesat la 15 noiembrie 2020]).