Clasa de distribuție Q-invariantă

O clasă de distribuție Q-invariant este o clasă specială de distribuție în statistica matematică , care se caracterizează prin faptul că măsurile de probabilitate conținute în aceasta sunt închise în ceea ce privește formarea anumitor măsuri de imagine . Cazul special al unei clase de distribuție Q-invariante sunt clasele de localizare și familiile de scări .

Clasele de distribuție Q-invariante sunt utilizate, de exemplu, în investigația estimatorilor echivarianți .

definiție

Fie un grup (în ceea ce privește înlănțuirea funcțiilor ) de funcții măsurabile de la până la . ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$ ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}}$

Să - un set de măsuri de probabilitate să fie pe și măsura imagine a măsurii de probabilitate în cadrul funcției . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}}$${\ displaystyle P ^ {f}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f}$

Apoi , o clasă de distribuție-Q invariantă se numește în cazul în care pentru fiecare și fiecare care ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}} _ {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle q \ in {\ mathcal {Q}}}$

${\ displaystyle P ^ {q} \ in {\ mathcal {P}} _ {\ mathcal {Q}}}$

este.

Exemple

Cursuri de localizare

Dacă selectați grupul de traduceri ca grup , așa ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}) = (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle T _ {\ vartheta} (x): = x- \ vartheta {\ text {și}} {\ mathcal {Q}}: = \ {T _ {\ vartheta} \, | \, \ vartheta \ în \ mathbb {R} \}}$,

o clasă de locație ar fi o clasă de distribuție Q-invariantă, deoarece clasele de locație apar tocmai din deplasarea unei măsuri de probabilitate de-a lungul axei x.

Cu toate acestea, invers, nu fiecare clasă de distribuție Q-invariantă cu cea definită mai sus este o clasă de locație. Clasa de distribuție Q-invariant ar putea, de exemplu, să fi apărut din două sau mai multe distribuții de probabilitate diferite prin deplasare, ceea ce nu este posibil cu clasele de localizare, deoarece acestea sunt întotdeauna deplasări ale unei măsuri. Asocierile claselor de distribuție Q-invariante sunt evident din nou Q-invariante, dar acest lucru nu se aplică claselor de locație. ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Scale familiile

Dacă alegeți , dar ca grup, grupul de multiplicări cu , adică ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}) = (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n }))}$${\ displaystyle \ vartheta \ in (0, \ infty)}$

${\ displaystyle S _ {\ vartheta} (x): = \ vartheta \ cdot x {\ text {și}} {\ mathcal {Q}}: = \ {S _ {\ vartheta} \, | \, \ vartheta \ in (0, \ infty) \}}$,

atunci este pentru o măsură de probabilitate dată pe platou ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n}))}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ mathcal {Q}}: = \ {P ^ {S} \, | \, S \ in {\ mathcal {Q}} \}}$

o clasă de distribuție Q-invariantă, numită probabilitatea familiei de scale generate . ${\ displaystyle P}$

literatură

• Ludger Rüschendorf: statistici matematice . Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-41997-3 .