Suprafața Riemann

O suprafață Riemann este o varietate complexă unidimensională în sub-aria matematică a teoriei funcției (analiză complexă) . Suprafețele Riemann sunt cele mai simple obiecte geometrice care au structura numerelor complexe la nivel local . Ele poartă numele matematicianului Bernhard Riemann . Investigația suprafețelor Riemann se încadrează în câmpul matematic al teoriei funcționale și depinde în mare măsură de metodele topologiei algebrice și geometriei algebrice .

Zona Riemann a logaritmului complex . Frunzele apar din cauza ambiguității, i. H. deoarece funcția exponențială complexă nu este injectivă .

Din punct de vedere istoric, suprafața Riemann este răspunsul la faptul că funcțiile holomorfe nu au întotdeauna continuări fără ambiguități. De exemplu, ramura principală a logaritmului complex (care este definit într-un vecinătate de ) primește argumentul suplimentar atunci când continuă de-a lungul unui cerc orientat pozitiv în jurul valorii de 0 . ${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle 2 \ pi \ mathrm {i}}$

poveste

Teoria suprafețelor Riemann a apărut din faptul că diferite valori ale funcțiilor pot apărea în continuarea analitică a funcțiilor holomorfe de-a lungul diferitelor căi, cum este cazul, de exemplu, cu logaritmul complex. Pentru a obține din nou continuări lipsite de ambiguitate, domeniul definiției a fost înlocuit de o zonă cu mai multe frunze care avea atâtea frunze câte posibilități avea să continue funcția. Continuarea analitică este din nou clară pe o astfel de suprafață suprapusă . Bernhard Riemann a explicat inițial zonele numite după el după cum urmează: sunt suprapuse mai multe (posibil infinit de multe) niveluri de numere complexe, prevăzute cu anumite tăieturi (de exemplu, drepte) și apoi lipite împreună de-a lungul acestor tăieturi. Această idee vie a fost foarte fructuoasă la început, deși a fost criticată ca fiind inexactă. Definiția de astăzi vine de la Hermann Weyl . În cartea sa The Idea of ​​the Riemann Surface (1913), el a definit ceea ce este acum conceptul fundamental al varietății (reale sau complexe) . Dacă Riemann a fost preocupat de continuarea analitică a unei funcții date în mod concret, atunci cu definiția abstractă a unei suprafețe Riemann de către Weyl se pune întrebarea dacă există funcții complexe pe o astfel de varietate. Riemann cartografiere teorema și Riemann-Roch teoremă oferă un răspuns la acest lucru.

definiție

O suprafață Riemann este o varietate complexă de dimensiune una. ${\ displaystyle X}$

Aceasta înseamnă că este o cameră Hausdorff care este echipată cu o structură complexă . (A doua axiomă a numărabilității , care altfel este necesară în definiția varietăților complexe, nu trebuie să fie presupusă în definiția suprafețelor Riemann, deoarece acolo rezultă din celelalte proprietăți conform teoremei lui Radó .) ${\ displaystyle X}$

Mulți autori cer, de asemenea, ca suprafețele Riemann să fie adiacente .

Curba complexă

Fiecare suprafață compactă Riemann este biholomorfă într-o varietate proiecțională netedă și complexă a dimensiunii unu. În geometria algebrică , o suprafață Riemann se numește o curbă complexă netedă .

Exemple

Mingea numerică Riemann

• Planul complex este cea mai simplă suprafață riemanniană. Figură identică definește o hartă pentru întreg , prin urmare , setul este un atlas pentru .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f (z) = z}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ {f \}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Un tor

• Fiecare zonă este, de asemenea, o zonă riemanniană. Iată și aici ilustrația identică, o hartă pentru întreaga zonă. Mai general, fiecare subset deschis al unei suprafețe Riemann este din nou o suprafață Riemann.${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$

• Numărul mingea Riemann este o suprafață compactă Riemann. Uneori este denumită și o linie dreaptă proiectivă complexă sau scurtă .${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$

• Suprafața torului pentru o rețea pe care sunt explicate funcțiile eliptice este o suprafață compactă Riemann.${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Teoria suprafețelor Riemann

Datorită structurii complexe de pe suprafața Riemann, este posibil să se definească imagini holomorfe și meromorfe pe și între suprafețele Riemann. Multe dintre teoremele din teoria funcțiilor la nivel complex despre funcțiile holomorfe și meromorfe pot fi generalizate pentru suprafețele Riemann. În acest fel, teorema Riemann a capacității de ridicare , principiul identității și principiul maximului pot fi transferate pe suprafețele riemanniene. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că funcțiile holomorfe nu sunt deosebit de bogate, în special pe suprafețele compacte Riemann. Tocmai acest lucru înseamnă că o funcție holomorfă trebuie să fie întotdeauna constantă pe o suprafață coerentă și compactă . Prin urmare, o suprafață Riemann coerentă și compactă nu poate fi separată holomorfic , există doar funcții holomorfe constante pe ea. (Aceste afirmații se aplică suprafețelor Riemann compacte și disjuncte dacă constanta este înlocuită de constantă locală .) Teorema integrală a lui Cauchy și formula integrală a lui Cauchy , două teoreme centrale ale teoriei funcției planului complex, nu pot fi dovedite în mod analog pe suprafețele Riemann. Pe varietățile diferențiabile în general și pe suprafețele riemanniene în special, integrarea trebuie explicată cu ajutorul formelor diferențiale astfel încât să fie independentă de alegerea hărții. Cu toate acestea, teorema lui Stokes, care este esențială pentru teoria integrării, există . Cu ajutorul său se poate demonstra teorema reziduală , care rezultă din formula integrală a lui Cauchy în planul complex, de asemenea pentru suprafețele Riemann. ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

Pe lângă propozițiile de continuare, afirmațiile despre pozițiile zero și polare prezintă un interes deosebit în teoria suprafețelor Riemann . O simplă dovadă a teoremei fundamentale a algebrei a putut fi găsită deja în teoria funcției planului complex cu ajutorul teoremei lui Liouville . În teoria suprafețelor Riemann, de exemplu, se obține următoarea teoremă relativ simplă. Să fie și suprafețe Riemanniene și un real de cartografiere, non-constantă olomorfie. Apoi, există un număr natural , astfel încât fiecare valoare să fie calculată cu o multiplicitate de ori. Deoarece funcțiile meromorfe poate fi înțeleasă ca mapări olomorfe , în cazul în care în Riemann număr sferă denotă, rezultă că pe o suprafață Riemann compactă fiecare funcție meromorfe non-constantă are la fel de multe zerouri ca exista poli. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c \ în Y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$

literatură

• Otto Forster : Suprafețe Riemann. (= Heidelberg Pocket Books 184). Springer, Berlin și colab. 1977, ISBN 3-540-08034-1 .
  • Engleză: Prelegeri pe suprafețele Riemann. (= Texte postuniversitare în matematică 81). A doua imprimare corectată. Springer, Berlin și colab. 1991, ISBN 3-540-90617-7 .
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual de teorie Teichmüller. Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zurich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6 , doi : 10.4171 / 029 . (Cursuri IRMA în matematică și fizică teoretică 11)
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual de teorie Teichmüller. Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zurich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5 , doi : 10.4171 / 055 . (Cursuri IRMA în matematică și fizică teoretică 13)
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual de teorie Teichmüller. Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zurich 2012, ISBN 978-3-03719-103-3 , doi : 10.4171 / 103. (Lecturi IRMA în matematică și fizică teoretică 19)