Sistemul sexagesimal

Sistemul sexagesimal (de asemenea, sistemul hexagesimal sau sistemul șaizeci ) este un sistem de valori de poziție bazat pe baza 60 ( latină sexagesimus „a șaizecea” ).

Este folosit și astăzi pentru a indica unghiuri și longitudini și latitudini geografice . Un grad are 60 de minute de arc și un minut are 60 de secunde . A supraviețuit și în domeniul cronometrării . O oră are 60 de minute și un minut are 60 de secunde . La sfârșitul Evului Mediu, unii matematicieni au împărțit în continuare secundele în terțe pentru calculele lor . Cu toate acestea, acest lucru nu a prins.

origine

Primele dovezi ale unui sistem de calcul sexagesimal scris, care era încă un sistem de adăugare , datează din perioada sumeriană în jurul anului 3300 î.Hr. BC înapoi. În cursul ulterior al matematicii babiloniene de la cca. Un sistem sexagesimal de loc utilizat. Principalele surse de matematică datează din 1900 î.Hr. Î.Hr. până la 1600 î.Hr. Î.Hr., dar cele mai vechi texte de masă provin din perioada Noului Sumerian. Perioada post-alexandrină arată influențe grecești în creștere sub seleucide , care au intrat într-o sinergie cu cunoștințele babiloniene pentru a exporta ulterior experiența acumulată a sumerienilor, akkadienilor, asirienilor și babilonienilor în Grecia. Astronomii arabi au folosit ortografia celebrului astronom grec Ptolemeu în hărțile și tabelele lor stelare , care se baza pe fracțiuni sexagesimale. Primii matematicieni europeni, cum ar fi Fibonacci, au folosit, de asemenea, astfel de fracțiuni atunci când nu puteau opera cu numere întregi.

Mulți istorici văd un motiv pentru introducerea unui sistem sexagesimal în astronomie , deoarece anii babilonieni cuprindeau douăsprezece luni de 30 de zile, dar a existat, de asemenea, o lună de leaps suplimentară aproximativ la fiecare trei ani  . Informații suplimentare pot fi găsite în numărarea timpurie a lunilor lunare, care datează din 35.000 î.Hr. Poate fi dovedit (calendar stick). În Republica Cehă , osul cu spițe al unui tânăr lup a fost găsit în jurul anului 30.000 î.Hr. Înființată în BC, care are o serie de 55 de crestături în total, crestăturile a 9-a, a 30-a și a 31-a sunt de aproximativ două ori mai lungi de sus decât celelalte crestături. Deoarece perioada medie a fazelor lunii este de 29,53 zile, marcajele ar putea fi legate de fazele lunii .

Alți oameni de știință văd motivul alegerii numărului 60 ca bază a sistemului de calcul pentru a putea pur și simplu să exprime sau să calculeze cât mai multe dintre părțile care apar în numărarea și măsurarea practică (comerț) posibil. O indicație a acestui fapt este că 60 cu 12 divizori aparține numerelor foarte compuse (nr. 9 din seria A002182 în OEIS ).

Numărarea cu una și două mâini cu falange și degete

În sistemul zecimal obișnuit (sistemul zecilor) numărați cu cele zece degete (de două ori cinci) ale ambelor mâini. În unele zone ale lumii, totuși, a existat o numărare cu ajutorul falangei , care a dus la numărul doisprezece ( duodecimal ) cu o mână , dar a dus la numărul 60 cu două mâini.

Numărarea cu o singură mână până la 12

Numărarea se face cu degetul mare ca indicator și cu falangele aceleiași mâini ca obiectul de numărare.

• Numărarea cu o singură mână începe prin atingerea vârfului primului obiect cu degetul mare, adică falanga superioară, a degetului mic al aceleiași mâini.
• Pentru al doilea obiect, falanga mijlocie a degetului mic este atinsă cu degetul mare; deci te bazezi pe cu degetul mare cu membrul și cu degetul.
• Trei → veriga inferioară a degetului mic
• Patru → veriga superioară a degetului inelar
• Cinci → verigă mijlocie a degetului inelar
• Șase → veriga inferioară a degetului inelar
• Șapte → falange superioară a degetului mijlociu
• Opt → falange mijlocie a degetului mijlociu
• Nouă → veriga inferioară a degetului mijlociu
• Zece → falange superioară a degetului arătător
• Unsprezece → verigă mijlocie a degetului arătător
• Doisprezece → veriga inferioară a degetului arătător

Cu alte cuvinte: patru degete cu câte 3 falange sunt egale cu 12.

Numărarea cu două mâini până la 60

După ce prima duzină a fost numărată folosind degetul mare ca indicator cu cele trei falange ale celor patru degete rămase ale aceleiași mâini (4 × 3 = 12), capacitatea de numărare a unei mâini este epuizată inițial.

• Cealaltă mână este strânsă într-un pumn. Pentru a ne aminti că s-au numărat o duzină , acum se extinde un deget, de ex. B. degetul mare afară.
• Acum continuați să numărați începând din nou la una cu prima mână . La doisprezece , a doua duzină este plină.
• Pentru a ne aminti că două zeci au fost numărate, una extinde acum următorul deget al celeilalte mâini, de ex. B. după degetul mare arătând degetul arătător.
• Cu cele cinci degete ale primei mâini puteți număra de cinci ori pe duzină, deci 5 × 12 = 60.
• Acum puteți număra din nou următoarea duzină cu prima mână, adică numărați până la 72 cu două mâini (12 pe prima plus 60 pe de altă parte).

Acest sistem de numărare a degetelor există încă în părți din Turcia , Irak , India și Indochina .

De asemenea, puteți număra până la 12 × 12 = 144 (o mare ) sau 156 (13 × 12) numărând cu falanga cu mâna a doua.

Când se numără o cantitate mare, se poate utiliza un ajutor, cum ar fi bețe, pietre, linii sau cele zece degete ale unui ajutor. Cinci duzini pe rând, adică 60, sunt notate cu unul dintre ajutoare. Cu cele zece degete ale unui ajutor uman puteți număra până la 10 × 60 = 600, cu celelalte ajutoare chiar mai departe.

Sumerieni

Dintre sumerieni, anii 60 a fost numit gesch .

• 120: gesch-min (60 × 2)
• 180: gesch-esch (60 × 3)
• 240: gesch-limmu (60 × 4)
• 300: gesch-iá (60 × 5)
• 360: gesch-asch (60 × 6)
• 420: gesch-imin (60 × 7)
• 480: împușcat (60 × 8)
• 540: gesch-ilummu (60 × 9)
• 600: gesch-u (60 × 10)
• Acum, sumerienii nu au continuat să numere în pași de 60 ( pași gesch ), ci în pași de 600 (pași gesch-u ), și anume de șase ori 600, adică până la 3600, care a fost numit schàr .
• 3600 au fost apoi crescute din nou de zece ori până la schàr-u (3600 × 10) 36.000.
• Cele 36.000 au fost numărate de șase ori până la 216.000 schàr-gal , literalmente 3600 mare ( adică 60 × 60 × 60).
• Cele 216.000 au fost numărate de zece ori la 2.160.000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
• Schàr-gal-u a fost inițial înmulțit de cinci ori. Al șaselea multiplu 12.960.000, adică 60 × 60 × 60 × 60, a primit din nou propriul său nume, și anume schàr-gal-shu-nu-tag (marea unitate superioară a schàr-ului).

Numerele 10 și 60 au o zecimală (30 = uschu = Esch-u = 3 x 10), și , uneori , chiar și o vigesimal structură (40 = nischmin = nischmin = 2 x 20).

Sistemul sexagesimal în utilizarea babiloniană

Sumerienii au folosit înainte semnele cuneiforme pentru numerele de la 1 la 60 fiecare cu jumătăți de elipsă de dimensiuni diferite și numerele 10 și 3600 = 60² fiecare cu cercuri de dimensiuni diferite , cu creioane cilindrice, au fost presate în tablete de lut. Din aceste simboluri, simbolurile pentru 600 = 10 · 60 și 36000 = 10 · 60² au fost combinate corespunzător. A existat, de asemenea, un alt sistem cu niveluri zecimale de 1, 10 și 100, precum și un al treilea sistem în timpul akkadian . Până la sfârșitul perioadei sumeriene, personajele individuale și-au schimbat forma, dar și-au păstrat caracterul individual și au format un sistem de adăugare similar cu numerele romane . Numai cu sistemul sexagesimal babilonian de mai târziu a existat un sistem real de valori de loc cu doar două caractere individuale: pentru 1 și pentru 10. Cu acestea, numerele de la 1 la 59 ar putea fi formate aditiv, care la rândul lor au obținut valoarea lor reală ca cifre din sistemul zecimal prin poziția lor.

Cifrele

Motivele utilizării sistemului sexagesimal constau în metoda eficientă de calcul și numărul foarte limitat de caractere individuale ale numărului din care s-au format numerele. Câteva exemple ale scriptului cuneiform babilonian:

Sistem sexagesimal sub formă de cuneiform

	1	2	3	Al 4-lea	5	Al 6-lea	Al 7-lea	A 8-a	9
10	11	Al 12-lea	13	14	15	16	17	18	19
20	30	40	50

Alte exemple numerice:

= 62, = 122 și = 129.

Numeralele constau doar din două numere individuale. În acest sens, numărul numerelor efective nu a fost limitat, deși s-a făcut trimitere doar la două numere individuale, ale căror dimensiuni au fost modificate în funcție de necesități. Cu toate acestea, există întotdeauna probleme cu citirea, deoarece cifrele unui număr, care au rezultat în mare parte din context, nu au fost lipsite de ambiguitate: z. B. ar putea însemna 30, 30x60 sau 30/60 și așa mai departe. La fel, nu a existat zero, astfel încât, uneori, lipsea o cifră - care, totuși, era foarte rară - și numere diferite erau scrise în același mod. Mai târziu, o lacună a fost lăsată uneori într-un punct lipsă, începând cu secolul al VI-lea î.Hr. Un spațiu cu valoarea zero a apărut ca un semn de număr suplimentar. Cu toate acestea, acest spațiu nu a fost utilizat direct în calcul și nu a apărut ca un simbol numeric separat, deci nu avea semnificația numărului zero . Semnificația ca simbol pentru numărul zero, pe de altă parte, a fost dată mai întâi de indieni spațiului lor.

Numerele sexagesimale sunt reprezentate de cifre arabe prin scrierea unei virgule între două locuri sexagesimale individuale. În schimb, toate locurile sexagesimale sunt separate de cele rupte printr-un punct și virgulă și dacă lipsesc locuri sau spații, se scrie un „0” (aceasta este apoi o interpretare): B. 30,0 = 30 * 60 și 0; 30 = 30/60.

Tehnologia de calcul

Adună și scade

La fel ca în cazul sistemului nostru zecimal , sistemul de valori de poziție a permis extinderea sau reducerea cifrei precedente cu 1. Forma pene a făcut sistemul sexagesimal mai ușor, deoarece numai pene trebuiau puse împreună. Termenii tehnici folosiți pentru adunare și scădere au fost „înmulțiți” și „îndepărtați-vă” (simbolurile matematice + și - au fost introduse pentru prima dată de Johannes Widmann în secolul al XV-lea d.Hr.). O diferență negativă între două numere este exprimată cu „Subtrahend merge beyond”. Adunarea și scăderea funcționează așa cum se întâmplă astăzi în sistemul zecimal.

Exemplu de adăugare:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}$

în notația sistemului sexagesimal. 1 din fața punctului zecimal indică valoarea 1 · 60, la care se adaugă numărul 30 după punctul zecimal.

Exemplu de scădere:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}$

în notația sistemului sexagesimal. 4 și 1 din fața punctului zecimal indică valorile 4 · 60 și 1 · 60, la care se adaugă numerele 40, 50 și respectiv 10 după punctul zecimal.

Multiplica

Aceeași procedură ca în sistemul zecimal a fost utilizată pentru multiplicare. Dar, în timp ce în sistemul zecimal trebuie să avem în vedere tabelul de înmulțire de la 1 · 1 la 9 · 9, babilonienii ar fi trebuit să poată memora tabelul de înmulțire de la 1 · 1 la 59 · 59. Pentru a ușura lucrurile, s-au folosit tabele de înmulțire din care se puteau citi produsele necesare: Fiecare linie a unei tabele de înmulțire a început cu același număr de cap, de ex. B. 2, urmată de expresia „ori” și multiplicatorul, de ex. B. 1 și, în cele din urmă, rezultatul, de ex. B. 2. Multiplicatorii au trecut de la 1 la 20 și apoi au venit 30, 40 și 50.

Deoarece în sistemul sexagesimal 60 a fost clasificat în trepte de 10 (vezi mai sus sub cifre) și, în general, numerele zecimale din viața de zi cu zi erau mult utilizate. B. 1,40 = 100 și 16,40 = 1000 tabele de înmulțire create. Un alt motiv este interacțiunea cu valorile din tabelele reciproce (vezi mai jos sub diviziune). Dacă erau necesare alte valori, numerele erau puse laolaltă.

Numerele capului:

1.15	1.20	1.30	1,40	2	2.13.20	2.15	2.24	2.30	3	3.20	3.45	Al 4-lea	4.30	5	Al 6-lea	6.40	Al 7-lea	7.12	7.30	A 8-a
8.20	9	10	Al 12-lea	12.30	15	16	16.40	18	20	22.30	24	25	30	36	40	44.26.40	45	48	50

Exemplu de multiplicare:

${\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}$.

A imparti

Babilonienii împărțit un număr de un număr în care ei cu inversul de multiplicată:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}$.

Reciprocitatea unui număr poate fi găsită într-un tabel de înmulțire cu numărul de cap , dacă o putere de 60 este împărțită. Pentru că a fost acolo ca urmare , d. H. o putere de 60, atunci multiplicatorul corespunzător a fost valoarea reciprocă pe care o căutați ( și au aceeași reprezentare în sistemul sexagesimal babilonian): ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

${\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}$, deci .${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}$

Valorile reciproce (reciproce) ale numerelor naturale au fost reunite din nou în tabele reciproce pentru a ușura lucrurile . Unul a scris în astfel de tabele pentru valori care nu au avut reciproc într-un tabel de înmulțire, „nu este” în loc de reciproc. Pentru aceste numere neregulate , care au factori primi ≥ 7, s- au folosit valori aproximative ca și pentru numerele iraționale .

Tabelul reciproc utilizat în principal conține următoarele perechi de numere:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30	3	20	Al 4-lea	15	5	Al 12-lea	Al 6-lea	10	A 8-a	7.30	9	6.40	10	Al 6-lea	Al 12-lea	5	15	Al 4-lea
16	3.45	18	3.20	20	3	24	2.30	25	2.24	27	2.13.20	30	2	32	1.52.30	36	1,40	40	1.30
45	1.20	48	1.15	50	1.12	54	1,60	60	1	1.4	56,15	1.12	50	1.15	48	1.20	45	1.21	44.26.40

Se pot citi multe dintr-un tabel reciproc, inclusiv sau sau , dar și invers, etc. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Exemple de diviziuni:

${\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}$.

${\ displaystyle 0; 12:25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2,24 = 0; 0,28.48}$.

Calculul rădăcinii

Vechiul matematician și inginer grec Heron of Alexandria a folosit metoda sa deja cunoscută în vechiul Imperiu Babilonian în Metrica sa pentru calcularea rădăcinilor

${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ approx a \ pm {\ frac {b} {2a}}}$.

${\ displaystyle a}$a fost luat de pe o masă de pătrate. Pentru rădăcina pătrată (irațională) a lui 2 obținem:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ approx 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}$,

d. H.

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ approx {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ approx 1 {,} 41666667}$.

Pe o tablă de lut babiloniană (Colecția Yale Babylonian 7289) există, de asemenea, o aproximare mai bună pe diagonala unui pătrat:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1; 24,51,10 \ left (= {\ frac {305470} {216000}} \ approx 1 {,} 41421296 \ right)}$.

pentru că

${\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ approx 1; 24.42, 21 ( \ aproximativ 1 {,} 41176389)}$,

se situează între 1; 25 și 1; 24,42,21 media lor aritmetică

${\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ approx 1; 24,51,10}$

mai aproape de

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356}$.

Acum, lungimea laterală a pătratului de pe tableta de lut este dată ca 30 și lungimea diagonalelor ca 42.25.35, care poate fi interpretată ca următorul calcul:

${\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}$.

Exemplul arată că babilonienii aveau cunoștințe algebrice și geometrice (aici s-ar fi putut folosi „ teorema lui Pitagora ”).

Informații suplimentare

O rudă directă a sistemului sexagesimal este sistemul duodecimal cu baza 12.

literatură

• Robert Kaplan: Istoria zero. Hardcover: Campus Verlag, Frankfurt pe Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Ediție broșată : Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
• Richard Mankiewicz: Călătoria în timp a matematicii - De la originea numerelor la teoria haosului. VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
• Kurt Vogel : Matematica pre-greacă. Partea a II-a: Matematica babilonienilor. Schroedel, Hanovra și Schöningh, Paderborn 1959.

Link-uri web

• Christoph Grandt: Sistemul bagesonian sexagesimal . (PDF; 215 kB)

Dovezi individuale

1. ↑ JP McEvoy: Eclipsa de Soare. Berlin-Verlag, 2001, p. 43. K. Vogel: Partea II , p. 22 f.
2. ↑ K. Vogel: Matematica pre-greacă. Partea I: Preistorie și Egipt. Schroedel, Hannover și Schöningh, Paderborn 1958. p. 16, fig. 11.
3. ↑ K. Vogel: Partea II , p. 23.
4. ↑ Georges Ifrah: Istoria universală a numerelor . Ediție licențiată două mii și o ediție. Campus, Frankfurt pe Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem , p. 69-75 și 90-92 (franceză: Histoire universelle des chiffres . Traducere de Alexander von Platen). 
5. ↑ Ifrah: Istoria universală a numerelor . Ediția a II-a. Campus, Frankfurt pe Main și New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem , p. 69 ff . (Prima ediție: 1991). 
6. ↑ Thureau-Thangin a numit-o „insulă vigesimală în cadrul sistemului numeric sumerian” în 1932. Ifrah: Istoria universală a numerelor . Ediția a II-a. S. 71 . 
7. ↑ K. Vogel: Partea II , p. 18 f.
8. ↑ K. Vogel, Partea II , p. 34 f.