Polinoame Legendre asociate

Când polinomii Legendre asociați și Legendre asociați , numiți și funcții sferice asociate , sunt funcții , care sunt utilizate în matematică și fizică teoretică . Deoarece nu toate polinoamele Legendre atribuite sunt cu adevărat polinoame , mulți autori vorbesc și despre funcțiile Legendre atribuite sau asociate .

Polinoamele Legendre asociate sunt soluțiile ecuației generale Legendre:

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \, y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} - 2x {\ frac { \ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} \ dreapta) \, y = 0}$

Această ecuație diferențială obișnuită are soluții non-singular în interval numai dacă și sunt integrale cu . ${\ displaystyle [-1.1]}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle m \,}$${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq \ ell}$

Ecuația generală Legendre (și, prin urmare, polinoamele asociate Legendre) este adesea întâlnită în fizică, mai ales atunci când există simetrie sferică , cum ar fi în potențialul central . Aici ecuația Laplace și ecuațiile diferențiale parțiale conexe pot fi adesea reduse la ecuația generală Legendre. Cel mai proeminent exemplu în acest sens este soluția mecanică cuantică a stărilor energetice ale atomului de hidrogen .

definiție

Polinoamele Legendre atribuite pentru m = 0 sunt polinoamele Legendre obișnuite.

Polinoame Legendre atribuite pentru m = 1

Polinoame Legendre atribuite pentru m = 2

Polinoame Legendre atribuite pentru m = 3

Polinoamele Legendre asociate sunt denumite . Cel mai simplu mod de a le defini ca derivate ale polinoamelor Legendre obișnuite : ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {m / 2} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {m}} {\ mathrm {d} x ^ {m}}} P _ {\ ell} (x)}$

în cazul în care -lea este Legendre polinomul ${\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle P _ {\ ell} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ ell}} {\ mathrm {d} x ^ {\ ell}}} \ left (x ^ {2} -1 \ right) ^ {\ ell}}$.

Acest lucru are ca rezultat

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \ left (1 - x ^ {2} \ right) ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\ ell + m}} {\ mathrm {d} x ^ {\ ell + m}}} \ left (x ^ {2} -1 \ right) ^ {\ ell}.}$

Conexiunea cu polinoamele Legendre

Ecuația Legendre generalizată trece în ecuația Legendre, așa că se aplică. ${\ displaystyle m = 0}$${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(0)} (x) = P _ {\ ell} (x)}$

Ortogonalitate

Pentru polinoamele Legendre atribuite, se aplică două relații de ortogonalitate în interval : ${\ displaystyle I = [- 1,1]}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {+ 1} P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) \, P_ {k} ^ {(m)} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {2} {2 \, \ ell +1}} \, {\ frac {(\ ell + m)!} {(\ ell -m)!}} \, \ delta _ {\ ell k}.}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ {+ 1} P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) \, P _ {\ ell} ^ {(n)} (x) \ cdot {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {(\ ell + m)!} {m (\ ell -m)!}} \ , \ delta _ {mn}.}$

A doua integrală este definită numai dacă este sau nu egal cu 0. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Conexiunea cu sfera unității

Cel mai important este cazul . Ecuația Legendre asociată citește apoi ${\ displaystyle x = \ cos \ vartheta}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} \ vartheta ^ {2}}} + {\ frac {\ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} \ , {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ vartheta}} + \ left [\ ell \, (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ vartheta}} \ right] y = 0.}$

Pentru că conform regulii substituției

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} f (\ cos \ vartheta) \ sin \ vartheta \, \ mathrm {d} \ vartheta = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) \ mathrm {d} x}$

reține, relațiile de ortogonalitate de mai sus sunt transferate cu ușurință în sfera unitară.

În așa-numitele funcții de suprafață sferice sunt definite ca ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta)}$

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {(m)} (\ varphi, \ vartheta) = {\ sqrt {{\ frac {2 \, \ ell +1} {4 \, \ pi}} \, { \ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}}} \, P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta) \, \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi},}$

care formează un sistem ortonormal complet pe sfera unitară.

Primele polinoame Legendre atribuite

Următoarea formulă de recursivitate se aplică polinoamelor Legendre atribuite

${\ displaystyle (\ ell -m) \, P _ {\ ell} ^ {(m)} (x) = x \, (2 \, \ ell -1) \, P _ {\ ell -1} ^ {(m)} (x) - (\ ell + m-1) \, P _ {\ ell -2} ^ {(m)} (x).}$

Valorile inițiale asociate ale formulei recursive sunt prezentate după cum urmează:

${\ displaystyle P_ {m} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} \ cdot {\ frac {(2m)!} {2 ^ {m} m!}} \ cdot \ left (1-x ^ {2} \ dreapta) ^ {m / 2} \ quad, \ quad P_ {k} ^ {m} (x) = 0 \ ;, \ quad \ forall k <m}$

Relația dintre polinoamele Legendre asociate cu pozitiv și negativ este următoarea. ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(- m)} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} \ cdot P_ {\ ell} ^ {(m)}}$

Se determină astfel primele polinoame Legendre

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$	${\ displaystyle \ ell = 0}$	${\ displaystyle \ ell = 1}$	${\ displaystyle \ ell = 2}$
${\ displaystyle m = -2}$			${\ displaystyle 1/8 (1-x ^ {2})}$
${\ displaystyle m = -1}$		${\ displaystyle 1/2 {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$	${\ displaystyle 1 / 2x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$
${\ displaystyle m = 0}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle 1/2 (3x ^ {2} -1)}$
${\ displaystyle m = 1}$		${\ displaystyle - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$	${\ displaystyle -3x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$
${\ displaystyle m = 2}$			${\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}$

Și cu ca argument ${\ displaystyle \ cos \ vartheta}$

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (\ cos \ vartheta)}$	${\ displaystyle \ ell = 0}$	${\ displaystyle \ ell = 1}$	${\ displaystyle \ ell = 2}$
${\ displaystyle m = -2}$			${\ displaystyle 1/8 \ sin ^ {2} \ vartheta}$
${\ displaystyle m = -1}$		${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta}$	${\ displaystyle 1/2 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$
${\ displaystyle m = 0}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle \ cos \ vartheta}$	${\ displaystyle 1/2 (3 \ cos ^ {2} \ vartheta -1)}$
${\ displaystyle m = 1}$		${\ displaystyle - \ sin \ vartheta}$	${\ displaystyle -3 \ sin \ vartheta \ cos \ vartheta}$
${\ displaystyle m = 2}$			${\ displaystyle 3 \ sin ^ {2} \ vartheta}$

Funcții Legendre atribuite de tipul 2

Similar cu ecuația Legendre, polinoamele Legendre atribuite reprezintă doar un grup de funcții de soluție ale ecuației Legendre generalizate. Funcțiile atribuite Legendre de tipul 2 reprezintă, de asemenea, soluții. Același lucru se aplică acestora cu funcțiile Legendre de tipul 2 . ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {(m)} (x)}$${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {(0)} = Q _ {\ ell}}$${\ displaystyle Q _ {\ ell} (x)}$

Link-uri web

• Legendre funcționează în Biblioteca digitală a funcțiilor matematice NIST
• Eric W. Weisstein : Polinomul Legendre asociat . În: MathWorld (engleză).

literatură

• Richard Courant , David Hilbert : Metode de fizică matematică . 2 volume. Springer Verlag, 1968
• Gerald Teschl : Metode matematice în mecanica cuantică; Cu aplicații pentru operatorii Schrödinger . Societatea Americană de Matematică, 2009 ( mat.univie.ac.at )