Formula altitudinii barometrice

Acest articol pare să trateze mai mult decât o lemă , intră prea departe într-un aspect al subiectului sau este greu de gestionat. Prin urmare, se sugerează ca o parte a textului să fie mutată într-un alt articol sau într-un articol nou. ( Explicație și discuție aici .) Vă rugăm să rețineți informațiile de pe pagina Ajutor: externalizați conținutul articolului și eliminați acest modul numai după ce propunerea a fost procesată complet.

Presiunea medie și densitatea în funcție de altitudine. Reprezentare logaritmică pentru înălțimi mari

Reprezentare liniară pentru înălțimi mici

Barometric Formula altitudinii descrie vertical distributia ( gaz particule) în Pământului atmosferă , adică dependența presiunii aerului asupra altitudinii . Si noi vorbim de o verticală presiune - gradientului , care, cu toate acestea, din cauza ridicate dinamicii meteorologice poate fi descrisă în atmosfera inferioară doar aproximații matematic.

În forma sa cea mai simplă, se poate presupune aproximativ că presiunea aerului în apropierea nivelului mării scade cu un hectopascal (corespunzător la 1 ‰ din presiunea medie a aerului) pentru fiecare opt metri de creștere a altitudinii. 1 hPa = 100 N / m², 8 m³ de aer au o greutate de 100 N.

Aproximarea că presiunea scade exponențial odată cu creșterea altitudinii este oarecum mai bună . Această conexiune a fost recunoscută pentru prima dată de Edmond Halley în 1686 .

Ecuația hidrostatică de bază

Element de volum cu influențe decisive

Modificarea presiunii și densității atmosferei cu altitudinea este descrisă prin ecuația hidrostatică de bază . Pentru a obține acest lucru, luați în considerare un element de volum cuboid cu baza și înălțimea infinit de mică , care conține aer de densitate . De jos, doar forța exercitată de presiunea atmosferică acționează asupra bazei . Forța care acționează de sus asupra bazei este alcătuită din greutatea masei de aer conținute în volum și forța exercitată de presiunea atmosferică pe partea superioară. La acest nivel, presiunea atmosferică diferă de cantitatea de presiunea care acționează pe partea inferioară; puterea exercitată de el este deci . ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle \ mathrm {d} h \,}$${\ displaystyle \ rho \,}$${\ displaystyle p \,}$${\ displaystyle p \ cdot A}$${\ displaystyle \ mathrm {d} m \ cdot g = \ rho \, \ mathrm {d} V \ cdot g = \ rho g \, \ mathrm {d} h \ cdot A}$${\ displaystyle \ mathrm {d} V = A \ cdot \ mathrm {d} h}$${\ displaystyle \ mathrm {d} m \,}$${\ displaystyle \ mathrm {d} p \,}$${\ displaystyle (p + \ mathrm {d} p) \ cdot A}$

Toți curenții de aer au ajuns să se odihnească în echilibru hidrostatic. Pentru ca echilibrul să fie menținut și elementul de volum luat în considerare să rămână în repaus, suma tuturor forțelor care acționează asupra acestuia trebuie să fie zero:

${\ displaystyle p \ cdot A- \ rho g \, \ mathrm {d} h \ cdot A- (p + \ mathrm {d} p) \ cdot A = 0}$

Scurtați și rearanjați consumabilele

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} h}} = - \ rho g}$

După legea ideală a gazelor , densitatea poate fi exprimată ca , ${\ displaystyle \ rho \,}$${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {pM} {RT}}}$

astfel încât să rezulte în cele din urmă:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} h}} = - {\ frac {pMg} {RT}}}$

Este

• ${\ displaystyle M}$masa molară medie a gazelor atmosferice (0,02896 kg mol ^-1 ),
• ${\ displaystyle g}$accelerația gravitațională (9.807 m s ^-2 ),
• ${\ displaystyle R}$constanta universală a gazelor (8.314 J K ^-1  mol ^-1 ) și
• ${\ displaystyle T}$temperatura absolută .

Ecuația hidrostatică de bază indică cantitatea cu care se modifică presiunea atmosferică atunci când altitudinea se schimbă cu o cantitate mică . După cum arată semnul negativ , este negativ atunci când este pozitiv; presiunea scade odată cu creșterea altitudinii. De exemplu, la presiunea medie a aerului la nivelul mării (  = 1013 hPa) la o temperatură de 288 K (= 15 ° C), presiunea scade cu 0,12 hPa pe o diferență de altitudine de un metru sau cu 1 hPa peste o diferență de altitudine de 8,3 metri. Diferența de altitudine, care corespunde unei diferențe de presiune de 1 hPa, este nivelul de altitudine barometrică . La altitudini mai mari (mai mici ) și la temperaturi mai ridicate , presiunea aerului se schimbă mai lent și crește nivelul de altitudine barometrică. ${\ displaystyle \ mathrm {d} p}$${\ displaystyle \ mathrm {d} h}$${\ displaystyle \ mathrm {d} p}$${\ displaystyle \ mathrm {d} h}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle T}$

De regulă, valorile explicite pentru presiune și densitate sunt necesare la înălțimi date. Dacă este necesar, diferențele de presiune pentru diferențe mai mari de înălțime pot fi, de asemenea, citite din aceasta. Soluția dorită a ecuației de bază se obține prin separarea variabilelor

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = - {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h}$

și integrarea ulterioară între înălțimile căutate sau presiunile asociate:

${\ displaystyle \ int _ {p (h_ {0})} ^ {p (h_ {1})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = - \ int _ {h_ {0} } ^ {h_ {1}} {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h}$.

Integrarea rezultatelor din partea stângă . Pentru a integra partea dreaptă, trebuie cunoscută dependența de înălțime și . Accelerația datorată gravitației poate fi considerată constantă pentru altitudini nu prea mari. Temperatura variază într-un mod complicat și imprevizibil cu altitudinea. Prin urmare, trebuie făcute ipoteze simplificate cu privire la profilul de temperatură . ${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p (h_ {1})} {p (h_ {0})}} \ right)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T (h)}$

Atmosferă izotermă

Formula clasică a altitudinii barometrice, care este citată în cea mai mare parte în literatura introductivă și în lecțiile școlare, se aplică cazului special că temperatura este aceeași la fiecare altitudine, adică atmosfera este izotermă . ${\ displaystyle T}$

Derivarea din ecuația hidrostatică de bază

Integrarea ecuației hidrostatice de bază produce la constantă : ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle {\ begin {align} && \ int _ {p (h_ {0})} ^ {p (h_ {1})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} & = - {\ frac {Mg} {RT}} \, \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1}} \ mathrm {d} h \\\ if && \ ln \ left ({\ frac {p ( h_ {1})} {p (h_ {0})}} \ right) & = - {\ frac {Mg} {RT}} (h_ {1} -h_ {0}) = - {\ frac {Mg } {RT}} \ Delta h \\\ if && {\ frac {p (h_ {1})} {p (h_ {0})}} & = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {Mg } {RT}} \ Delta h} \\\ if && p (h_ {1}) & = p (h_ {0}) \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {Mg} {RT}} \ Delta h} \ end {align}}}$

Prin introducerea înălțimii scalei , formula înălțimii este simplificată la ${\ displaystyle h_ {s} = {\ tfrac {RT} {Mg}}}$

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta h} {h_ {s}}}}}$

Cu fiecare creștere a altitudinii , presiunea aerului scade cu acest factor . Înălțimea scalei este, prin urmare, o măsură naturală a înălțimii atmosferei și a profilului de presiune din aceasta. În atmosfera model asumată aici, este în jur de 8,4 km la o temperatură de 15 ° C. ${\ displaystyle h_ {s}}$${\ displaystyle \ mathrm {e} \ approx 2 {,} 7}$

Următoarele se aplică densității:

${\ displaystyle \ rho (h_ {1}) = \ rho (h_ {0}) \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta h} {h_ {s}}}}}$

Pentru un observator care rătăcește în jos, presiunea aerului crește constant pe măsură ce o coloană de aer din ce în ce mai grea cântărește asupra lui. Creșterea este exponențială deoarece aerul este compresibil : pentru fiecare metru de diferență de înălțime, greutatea coloanei de aer care cântărește pe o suprafață de măsurare crește cu greutatea volumului coloanei adăugat pe această distanță. Cu toate acestea, această greutate depinde de densitatea aerului, care la rândul său depinde de presiunea aerului. Cu cât este mai mare presiunea aerului, cu atât crește mai repede presiunea aerului (cu atât observatorul a coborât mai jos). Dacă o variabilă se schimbă întotdeauna cu o sumă proporțională cu variabila însăși, schimbarea are loc exponențial.

Deși presiunea nu este constantă, coloana de aer este în echilibru mecanic : gradientul de presiune negativ este egal cu forța de greutate per element de volum${\ displaystyle - \ partial _ {z} p (z) = g \ rho (z)}$

Derivarea din mecanica statistică

Într-un sistem de particule care se află în echilibru termic la temperatură (care are deci aceeași temperatură peste tot) și ale cărui particule pot ocupa nivelurile de energie distribuite continuu sau discret , probabilitatea ca o particulă să fie în prezent la nivelul de energie este dată de Boltzmann distribuție${\ displaystyle T}$${\ displaystyle E_ {j}}$${\ displaystyle E_ {j}}$

${\ displaystyle P_ {j} = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- {\ frac {E_ {j}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}} {Z}}}$.

Prin aceasta este constanta Boltzmann și un factor de normalizare (așa numita suma state ), care asigură că suma tuturor probabilităților este egal cu 1. Dacă sistemul este format din particule, numărul de particule la nivelul energiei este o medie . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle E_ {j}}$${\ displaystyle n_ {j} = NP_ {j}}$

O particulă de masă de gaz are energia potențială în câmpul gravitațional al Pământului și, din cauza temperaturii sale, are energia termică în medie, adică energia totală . Dacă vă uitați la două elemente de volum de aceeași dimensiune pe înălțimi sau , particulele de pe înălțimi au o energie care este mai mare cu cantitatea . Probabilitatea de a întâlni o particulă în elementul cu volum mai mare este legată de probabilitatea de a o întâlni în elementul cu volum mai mic ca ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {pot}} = mgh}$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {th}}}$${\ displaystyle E (h) = mgh + E _ {\ mathrm {th}}}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle mg \ Delta h}$

${\ displaystyle {\ frac {P (h_ {1})} {P (h_ {0})}} = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- {\ frac {E (h_ {1})} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}} {\ mathrm {e} ^ {- {\ frac {E (h_ {0})} {k _ {\ mathrm {B}} T}}} }} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta E} {k _ {\ mathrm {B}} T}}} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta E _ {\ mathrm {pot}}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}}$.

Pentru un număr suficient de mare de particule, densitățile particulelor se comportă ca probabilitățile de localizare a acestora ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n (h)}$

${\ displaystyle {\ frac {n (h_ {1})} {n (h_ {0})}} = {\ frac {NP (h_ {1})} {NP (h_ {0})}} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta E _ {\ mathrm {pot}}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}}$,

și datorită legii gazelor ideale, aceeași relație urmează și pentru presiune${\ displaystyle p (h) = n (h) \, k _ {\ mathrm {B}} T}$

${\ displaystyle {\ frac {p (h_ {1})} {p (h_ {0})}} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta E _ {\ mathrm {pot}}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {mg \ Delta h} {k _ {\ mathrm {B}} T}}} = \ mathrm { e} ^ {- {\ frac {Mg} {RT}} \ Delta h}}$,

unde masa molară și constanta de gaz se obțin prin înmulțirea masei particulelor sau constanta Boltzmann prin constanta lui Avogadro . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$

Cu toate acestea, principiul distribuției egale este asumat aici atunci când se ia în considerare energia . Această cerință este îndeplinită în general numai într-o atmosferă densă, deoarece doar acolo energiile dintre diferitele grade de libertate sunt schimbate prin coliziuni între moleculele de gaz. Motivul pentru care teorema distribuției uniforme nu se aplică în general energiei la altitudine este că teorema distribuției uniforme poate fi aplicată direct doar potențialelor care sunt incluse în funcția Hamilton ca un pătrat. Deoarece energia altitudinii intră doar liniar în funcția Hamilton, nu se poate presupune pur și simplu teorema uniformității în gaze foarte subțiri.

Atmosferă cu un profil de temperatură liniar

Profilul de temperatură strict liniar constă doar în ideea idealizată a unei atmosfere calme fără convecție fără a egaliza gradientul de temperatură prin conducerea căldurii. Pentru a face acest lucru mai utilizabil, a fost introdusă temperatura potențială . Deși gradientul adiabatic este un gradient de temperatură, temperatura potențială este constantă; H. un echilibru. Acest lucru nu are nimic de-a face cu energia potențială a unei particule din câmpul gravitațional ( ). Acest lucru devine deosebit de clar cu numărul de grade de libertate . Particulele de aceeași masă, dar un număr diferit de grade de libertate au gradienți de temperatură diferiți. ${\ displaystyle E = mgh}$

Deoarece conducerea căldurii nu trebuie să joace un rol în menținerea profilului liniar de temperatură, în realitate „transportul termic” permanent (conducerea căldurii) prin circulație rapidă trebuie să aibă doar o influență minoră. Deoarece absența convecției și a circulației nu poate avea loc în același timp, cursul liniar este întotdeauna ușor modificat de transportul de căldură de tot felul, cea mai cunoscută fiind condensarea vaporilor de apă, ceea ce duce la o scădere mai mică a temperaturii („umid-adiabatic ", un termen oarecum înșelător).

Distribuția temperaturii (atmosferă adiabatică)

Din ecuația pentru schimbarea presiunii

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = - {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h}$

și ecuația pentru schimbarea adiabatică a stării, scrisă folosind derivate logaritmice

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {\ kappa} {\ kappa -1}} \ {\ frac {\ mathrm {d} T} {T}}}$

scăderea liniară a temperaturii urmează imediat conform

${\ displaystyle \ mathrm {d} T = - {\ frac {Mg} {R \ \ kappa / (\ kappa -1)}} \ \ mathrm {d} h}$

Cu masa molară medie a gazului atmosferic M  = 0,02896 kg mol ⁻¹ , accelerația datorată gravitației g  = 9,807 m s ⁻² , constanta universală a gazului R  = 8,314 J K ⁻¹  mol ⁻¹ și exponentul adiabatic al (uscat) aer  = 1,402 se obține gradientul de temperatură${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} h}} = - \, {\ frac {0 {,} 979 \, \ mathrm {K}} {100 \, \ mathrm {m}}}}$

Acesta este aproximativ gradientul de temperatură dat mai jos. Totuși, acest lucru este determinat în esență de expansiunea adiabatică umedă: exponentul adiabatic umed adiabatic este mai mic decât exponentul adiabatic adiabatic uscat. În cazul unei atmosfere de vapori de apă pure, gradientul de temperatură ar fi

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} h}} \ right | _ {\ mathrm {H_ {2} O}} = - {\ frac {0 {, } 562 \, \ mathrm {K}} {100 \, \ mathrm {m}}}}$

Alte limite ale abordării adiabatice: Dacă aerul devine foarte rece, exponentul adiabatic se schimbă chiar dacă aerul este uscat. La altitudini foarte mari (densitate scăzută) calea liberă medie devine foarte mare, astfel încât ecuațiile gazelor se aplică cu greu. În plus, efectul de seră încalcă și abordarea adiabatică (fără schimb de energie cu mediul).

Distribuția densității și a presiunii

În general, temperatura nu este constantă, dar variază în funcție de altitudine. Cea mai simplă abordare pentru a explica o astfel de variabilitate presupune o scădere liniară cu înălțimea. Un gradient constant de temperatură rezultă din relația adiabatică descrisă mai sus

${\ displaystyle a = - {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} h}} = {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa}} {\ frac {Mg} {R} }}$

astfel încât următoarele să se aplice temperaturii : ${\ displaystyle T (h)}$

${\ displaystyle T (h) = T (h_ {0}) - a \ cdot (h-h_ {0}) \ qquad \ Rightarrow \ qquad T (h) = T (h_ {0}) \ cdot \ left ( 1 - {\ frac {a (h-h_ {0})} {T (h_ {0})}} \ right) = T (h_ {0}) \ cdot \ left (1 - {\ frac {a \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ dreapta)}$,

unde este cantitatea (pozitivă) a gradientului vertical de temperatură atmosferică , care indică cu câte Kelvin temperatura aerului scade pe metru de diferență de înălțime. Integrala din partea dreaptă a ecuației de bază este astfel ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle - \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1}} {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h = - \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1}} {\ frac {Mg} {R \, (T (h_ {0}) - a \ cdot (h-h_ {0}))}} \, \ mathrm {d} h = - { \ frac {Mg} {R}} \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1}} {\ frac {1} {(T (h_ {0}) + ah_ {0}) - ah}} \, \ mathrm {d} h}$.

pentru că

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {b-ax}} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {1} {a}} \, \ ln (b-ax)}$

este soluția integralei

${\ displaystyle - {\ frac {1} {a}} \ ln (\, (T (h_ {0}) + ah_ {0}) - ah) \ vert _ {h_ {0}} ^ {h_ {1 }} = - {\ frac {1} {a}} \ ln \ left ({\ frac {T (h_ {0}) - a (h_ {1} -h_ {0})} {T (h_ {0 })}} \ dreapta)}$,

astfel încât în ​​general de la integral peste ecuația de bază

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p (h_ {1})} {p (h_ {0})}} \ right) = + {\ frac {Mg} {R}} \, {\ frac {1} {a}} \ ln \ left ({\ frac {T (h_ {0}) - a (h_ {1} -h_ {0})} {T (h_ {0})}} \ right) = + {\ frac {Mg} {R}} \, {\ frac {1} {a}} \ ln \ left (1 - {\ frac {a \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ dreapta)}$

urmează formula barometrică pentru curba liniară a temperaturii:

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \ mathrm {e} ^ {+ {\ frac {Mg} {R}} {\ frac {1} {a}} \ ln \ left (1 - {\ frac {a \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ right)}}$,

sau din cauza ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {y \ cdot \ ln (x)} = x ^ {y}}$

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \ left (1 - {\ frac {a \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ right) ^ {\ frac { Mg} {Ra}} = p (h_ {0}) \ left (1 - {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa}} {\ frac {Mg \ Delta h} {RT (h_ {0}) }} \ right) ^ {\ frac {\ kappa} {\ kappa -1}}}$

Același lucru se aplică densității

${\ displaystyle \ rho (h_ {1}) = \ rho (h_ {0}) \ left (1 - {\ frac {a \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ right) ^ {\ frac {Mg} {Ra \ kappa}} = \ rho (h_ {0}) \ left (1 - {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa}} {\ frac {Mg \ Delta h} {RT ( h_ {0})}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ kappa -1}}}$

Exponentul este împărțit aici, deoarece relația densitate / presiune rezultă din relația adiabatică dintre cele două mărimi. ${\ displaystyle \ kappa}$

Această formulă de altitudine barometrică extinsă constituie baza funcției de altitudine barometrică a atmosferei standard din aviație . În primul rând, atmosfera este împărțită în substraturi, fiecare cu un profil de temperatură interpolat liniar. Apoi, începând cu cel mai mic strat, temperatura și presiunea la limita superioară a respectivului substrat sunt calculate și utilizate pentru limita inferioară a stratului de mai sus. În acest fel, modelul pentru întreaga atmosferă este creat inductiv.

Gradienți tipici de temperatură

După cum arată măsurătorile profilurilor de temperatură din atmosferă, presupunerea unei scăderi liniare a temperaturii în medie este o aproximare bună, chiar dacă pot apărea abateri semnificative în cazuri individuale, de exemplu în cazul condițiilor meteorologice de inversiune . Principala cauză a scăderii temperaturii odată cu altitudinea este încălzirea straturilor inferioare de aer de către suprafața pământului încălzită de soare, în timp ce straturile superioare de aer radiază căldură în spațiu. În plus, există uscate adiabatice sau umede adiabatic schimbările de temperatură ale creșterii sau care se încadrează individuale parcelele de aer și modificări suplimentare datorate proceselor între masele de aer de origini diferite de amestecare.

În masele de aer fierbinte și în timpul proceselor de alunecare, gradientul de temperatură ia valori în jur de 0,3 până la 0,5 K la 100 m, în aerul rece de obicei între 0,6 și 0,8 K la 100 m, în medie în toate condițiile meteorologice 0,65 K la 100 m În văi, inversiunile frecvente ale solului pot reduce gradientul mediu de temperatură la 0,5 K la 100 m, în lunile de iarnă chiar la 0,4 K la 100 m.

Condițiile descrise sunt limitate la troposferă . În stratosferă , temperatura scade mult mai încet, în majoritatea cazurilor chiar crește din nou, în principal datorită absorbției radiațiilor UV în stratul de ozon .

Pentru un gradient de temperatură de 0,65 K la 100 m, exponentul ia valoarea 5.255: ${\ displaystyle \ mathrm {\ tfrac {Mg} {Ra}}}$

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \ left (1 - {\ frac {0 {,} 0065 \ cdot \ Delta h} {T (h_ {0})}} \ right ) ^ {5 {,} 255}}$

Dacă exponentul este exprimat prin coeficientul izentropic , atunci: ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle 5 {,} 255 = {\ frac {\ kappa} {\ kappa -1}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ kappa = 1 {,} 235}$

Asta înseamnă 8,5 grade de libertate .

Capacitatea medie de căldură a aerului în toate condițiile meteorologice rezultă din gradientul de temperatură:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} h}} = {\ frac {0 {,} 65 \, \ mathrm {K}} {100 \, \ mathrm {m} }} = {\ frac {g} {c_ {p}}} = {\ frac {9 {,} 81 \, {\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} } {c_ {p}}} \ quad \ Rightarrow \ quad c_ {p} = 1509 \, {\ frac {\ mathrm {m} ^ {2}} {\ mathrm {K} ~ \ mathrm {s} ^ { 2}}} = 1509 \, {\ frac {\ mathrm {Ws}} {\ mathrm {kg ~ K}}}}$

Această valoare se află între valoarea aerului uscat (1005 Ws / (kg K)) și a vaporilor de apă (2034 Ws / (kg K)).

Tabelul următor arată relația dintre înălțime și presiune (în medie):

Curba de temperatură a atmosferei în funcție de altitudinea presiunii (suprafața pământului = 1,013 bar) - tropopauza este cel mai bine aproximată cu un exponent izentropic de 0,19.

În această formă, formula altitudinii este potrivită pentru cazul frecvent în care temperatura și presiunea aerului sunt cunoscute la una dintre cele două altitudini, dar nu și gradientul de temperatură existent în prezent.

Nivelurile de altitudine

Nivelul de altitudine barometrică este distanța verticală care trebuie parcursă pentru a realiza o schimbare a presiunii aerului de 1 hPa. În apropierea solului, altitudinea barometrică este de aproximativ 8 metri, la 5,5 kilometri la 16 metri și la 11 kilometri la 32 de metri.

Formula de altitudine rezultă în următorul tabel pentru dependența de altitudine și temperatură a nivelului de altitudine barometrică:

Regula generală pentru altitudini și temperaturi medii este „1 hPa / 30 ft”. Aviatorii folosesc adesea această valoare de rotunjire pentru calcule aproximative.

Formula internațională de înălțime

Dacă altitudinea de referință este setată la nivelul mării și se presupune o stare medie pentru atmosfera de acolo, așa cum este descris de atmosfera standard internațională (temperatura 15 ° C = 288,15 K, presiunea aerului 1013,25 hPa, gradientul de temperatură 0,65 K la 100 m), formula de altitudine internațională pentru troposferă se obține (până valabilă la o altitudine de 11 km): ${\ displaystyle h_ {0}}$

${\ displaystyle p (h) = 1013 {,} 25 \ cdot \ left (1 - {\ frac {0 {,} 0065 {\ frac {\ mathrm {K}} {\ mathrm {m}}} \ cdot h } {288 {,} 15 \ \ mathrm {K}}} \ right) ^ {5 {,} 255} \ mathrm {hPa}}$

${\ displaystyle {\ color {White} p (h)} = p_ {0} \ cdot \ left (1 - {\ frac {0 {,} 0065 {\ frac {\ mathrm {K}} {\ mathrm {m }}} \ cdot h} {T_ {0} \}} \ right) ^ {5 {,} 255}}$

Această formulă permite calcularea presiunii aerului (sub forma așa-numitei presiuni normale ) la o altitudine dată, fără a se cunoaște temperatura și gradientul de temperatură. Cu toate acestea, precizia în aplicația specifică este limitată, deoarece calculul se bazează doar pe o atmosferă medie în loc de starea atmosferică actuală .

Formula internațională de altitudine rezolvată în funcție de altitudine în cadrul atmosferei standard internaționale , pentru a converti presiunea aerului p (h) (presiune normală) în altitudinea corespunzătoare în metri (m):

${\ displaystyle h = {\ frac {288 {,} 15 \ \ mathrm {K}} {0 {,} 0065 {\ frac {\ mathrm {K}} {\ mathrm {m}}}}} \ cdot \ left (1- \ left ({\ frac {p (h)} {1013 {,} 25 \, \ mathrm {hPa}}} \ right) ^ {\ frac {1} {5 {,} 255}} \ dreapta)}$

Caz general

Soluția la ecuația hidrostatică de bază este generală

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p (h_ {1})} {p (h_ {0})}} \ right) = - \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1} } {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h}$,

respectiv

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \, \ mathrm {e} ^ {- \ int _ {h_ {0}} ^ {h_ {1}} {\ frac {Mg} {RT}} \, \ mathrm {d} h}}$

cu o integrală încă de rezolvat.

Temperatura virtuală

Constanta gazului este o constantă naturală și poate fi trasă în fața integralei. Masa molară medie a gazelor atmosferice este, de asemenea, practic constantă în troposferă, cu condiția să nu se ia în considerare conținutul foarte variabil de vapori de apă și să poată fi tras și în fața integralei. Înălțimile la scară diferite ale diferitelor gaze atmosferice grele ar duce la segregarea parțială într-o atmosferă liniștită, astfel încât componentele mai grele s-ar acumula în straturile inferioare și componentele mai ușoare în straturile superioare; Cu toate acestea, amestecarea intensivă a troposferei cauzată de vreme împiedică acest lucru. Schimbarea conținutului de vapori de apă și, mai general, alte modificări minore în M (în special în straturile atmosferice superioare) pot fi luate în considerare folosind temperatura virtuală corespunzătoare în locul temperaturii reale . Prin urmare, valoarea aerului uscat la nivelul mării poate fi utilizată pentru M.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T_ {v}}$${\ displaystyle T}$

Înălțimi geopotențiale

Accelerația datorată gravitației scade odată cu altitudinea, care trebuie luată în considerare în cazul diferențelor mari de altitudine sau a cerințelor de precizie ridicată. O accelerare variabilă a gravitației în integrand ar face totuși integrarea mult mai dificilă. Acest lucru poate fi evitat folosind geopotențial în loc de înălțimi geometrice. Imaginați-vă o masă de testare cu o variabilă de la nivelul mării ridicată la înălțime . Deoarece scade odată cu altitudinea, energia potențială câștigată este mai mică decât dacă ar avea întotdeauna valoarea nivelului mării . Înălțimea geopotențială este înălțimea, măsurată în metri geopotențiali, care trebuie depășită matematic pentru a adăuga aceeași energie potențială la masă cu o accelerație gravitațională constantă (cu alte cuvinte: este împărțită la potențialul gravitațional. Zonele aceluiași înălțimea geopotențială sunt suprafețe echipotențiale din câmpul gravitațional). ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {pot}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g_ {0}}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ displaystyle g_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {pot}}}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ displaystyle g_ {0}}$

Pentru înălțimea geopotențială care aparține unei înălțimi geometrice , ar trebui să se aplice următoarele : ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h_ {p}}$

${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {pot}} = \ int _ {0} ^ {h} mg (h) \, \ mathrm {d} h = mg_ {0} \ cdot h_ {p}}$,

Din care urmează:

${\ displaystyle g (h) \, \ mathrm {d} h = g_ {0} \, \ mathrm {d} h_ {p}}$.

Pentru raportul dintre accelerația datorată gravitației la altitudine și accelerația datorată gravitației la nivelul mării, se aplică următoarele, deoarece câmpul gravitațional scade cvadrat cu distanța de la centrul pământului: ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {g (h)} {g_ {0}}} = \ left ({\ frac {R _ {\ mathrm {E}}} {R _ {\ mathrm {E}} + h} } \ dreapta) ^ {2}}$,

cu raza pământului . Integrarea ${\ displaystyle R _ {\ mathrm {E}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} h_ {p} = {\ frac {g (h)} {g_ {0}}} \, \ mathrm {d} h = \ left ({\ frac {R _ {\ mathrm {E}}} {R _ {\ mathrm {E}} + h}} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} h}$

provizii

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h_ {p}} \ mathrm {d} h_ {p} = \ int _ {0} ^ {h} \ left ({\ frac {R _ {\ mathrm {E }}}} {R _ {\ mathrm {E}} + h}} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} h}$

${\ displaystyle \ iff \ h_ {p} = {\ frac {R _ {\ mathrm {E}} \ cdot h} {R _ {\ mathrm {E}} + h}}}$.

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {E}}}$ar trebui să fie setat la valoarea de 6356 km. Dacă este necesar, trebuie luat în considerare și faptul că accelerația datorată gravitației la nivelul mării depinde de latitudinea geografică. ${\ displaystyle g_ {0}}$

În acest fel, înălțimile geometrice dorite trebuie convertite în înălțimi geopotențiale o singură dată înainte de calcul; În loc de accelerația variabilă datorată gravitației, valoarea constantă a nivelului mării poate fi utilizată pur și simplu în formula altitudinii. Pentru înălțimi care nu sunt prea mari, diferența dintre înălțimile geometrice și geopotențiale este mică și adesea neglijabilă:

Odată cu accelerația gravitației la nivelul mării , înălțimile geopotențiale și și temperatura virtuală , înălțimea generală a formulei se simplifică la ${\ displaystyle g_ {0}}$${\ displaystyle h_ {p0}}$${\ displaystyle h_ {p1}}$${\ displaystyle T_ {v}}$

${\ displaystyle p (h_ {1}) = p (h_ {0}) \ cdot \ exp \ left (- {\ frac {Mg_ {0}} {R}} \ int _ {h_ {p0}} ^ { h_ {p1}} {\ frac {1} {T_ {v} (h_ {p})}} \, \ mathrm {d} h_ {p} \ right)}$.

Rămâne să se rezolve integralul , pentru care trebuie cunoscut doar profilul de temperatură . Poate fi determinat în atmosfera reală, de exemplu, prin ascensiuni radiosonde . Pentru atmosfere model simplificate cu temperatură constantă sau liniar variabilă, se obțin din nou formule de înălțime de tipul discutat la început. ${\ displaystyle 1 / T_ {v}}$${\ displaystyle T_ {v} (h_ {p})}$

Aplicații

Reducerea la nivelul mării

teorie

Presiunea aerului ( QFE ) măsurată de un barometru depinde de starea meteorologică a atmosferei și de altitudine. Dacă informațiile din diferite barometre trebuie comparate între ele în scopuri meteorologice (de exemplu pentru a determina locația unei zone de presiune scăzută sau a unui front), influența altitudinii trebuie eliminată din datele de măsurare. În acest scop, valorile măsurate ale presiunii sunt convertite la o altitudine de referință comună, de obicei nivelul mării . Această conversie se face folosind o formulă de altitudine. Conversia este denumită și o reducere (chiar dacă valoarea numerică crește), deoarece valoarea măsurată este eliberată de efectele de interferență nedorite. Rezultatul este presiunea aerului ( QNH ) redusă la nivelul mării .

Trebuie utilizată o formulă de înălțime adecvată, în funcție de cerințele de precizie. În cazul cerințelor mai mici, un factor de conversie fix poate fi derivat din formula de altitudine pentru temperatură constantă, pentru care trebuie selectată o temperatură reprezentativă:

${\ displaystyle p_ {0} = p (h) \, \ mathrm {e} ^ {{\ frac {Mg} {RT}} h}}$

Pentru o altitudine a sitului de 500 m și folosind o temperatură medie anuală de 6 ° C, rezultatul este de ex. B. un factor de reducere de 1,063, prin care valorile măsurate trebuie multiplicate.

Dacă cerințele sunt ceva mai mari, temperatura curentă a aerului poate fi luată în considerare. Influența lor este prezentată în exemplul următor, în care o presiune a aerului de 954,3 hPa măsurată la o altitudine de 500 m este redusă cu formula altitudinii pentru un profil de temperatură liniar ( a = 0,0065 K / m) presupunând diferite temperaturi ale stației la nivelul mării. : ${\ displaystyle T (h)}$

${\ displaystyle p_ {0} = p (h) \, \ left ({\ frac {T (h)} {T (h) +0 {,} 0065 \ mathrm {\ frac {K} {m}} \ , h}} \ right) ^ {- 5 {,} 255} = p (h) \, \ left ({\ frac {T (h)} {T_ {0}}} \ right) ^ {- 5 { ,} 255}}$

${\ displaystyle t (h)}$	−10 ° C	0 ° C	10 ° C	20 ° C	30 ° C
${\ displaystyle p_ {0}}$	1017.9	1015,5	1013.3	1011.2	1009,3

${\ displaystyle T (h) = t (h) +273 {,} 15 \, \ mathrm {K}}$

Dacă se dorește o precizie mai mare, temperaturile curente ale aerului sunt disponibile, iar precizia și calibrarea barometrului utilizat justifică efortul, reducerea trebuie făcută întotdeauna folosind temperatura curentă a aerului. Varianta pentru o curbă de temperatură liniară poate fi utilizată ca formulă de altitudine. Se poate utiliza și varianta pentru curba de temperatură constantă, cu condiția să se utilizeze temperatura curentă la jumătate din înălțimea stației:

${\ displaystyle p_ {0} = p (h) \, \ mathrm {e} ^ {{\ frac {Mg} {R \, \ left (T (h) + a {\ frac {h} {2}} \ dreapta)}} h}}$

Această variantă este teoretic mai puțin precisă, deoarece ignoră variabilitatea temperaturii cu altitudinea, în timp ce varianta liniară ia în considerare acest lucru aproximativ. Cu toate acestea, diferențele de altitudine și temperatură care apar pentru stațiile meteorologice sunt nesemnificative.

Formula de reducere recomandată de Serviciul Meteorologic German corespunde variantei cu profil de temperatură constantă. Din temperatura măsurată la altitudinea amplasamentului, temperatura la jumătate din altitudinea amplasamentului este estimată cu ajutorul gradientului standard de temperatură. Umiditatea aerului este luată în considerare prin trecerea la temperatura virtuală corespunzătoare.

${\ displaystyle p_ {0} = p (h) \, \ mathrm {e} ^ {x}, \ quad x = {\ frac {g_ {0}} {R ^ {*} \, (T (h) + C_ {h} \ cdot E + a {\ frac {h} {2}})}} \, h}$

cu

${\ displaystyle p_ {0}}$		Presiunea aerului redusă la nivelul mării
${\ displaystyle p (h)}$		Presiunea aerului la înălțimea barometrului (în hPa, precisă la 0,1 hPa)
${\ displaystyle g_ {0}}$	= 9,80665 m / s²	Accelerație standard
${\ displaystyle R ^ {*}}$	= 287,05 m 2 / (s²K)	Constanta gazului aerului uscat (= R / M)
${\ displaystyle h}$		Înălțimea barometrului (în m, până la cel mai apropiat dm; până la 750 m înălțime poate fi calculată cu înălțimea geometrică, deasupra căreia trebuie utilizate înălțimile geopotențiale)
${\ displaystyle T (h)}$		Temperatura cabinei (în K, unde ) ${\ displaystyle T (h) = t (h) +273 {,} 15 \, \ mathrm {K}}$
${\ displaystyle t (h)}$		Temperatura cabinei (în ° C)
${\ displaystyle a}$	= 0,0065 K / m	gradient vertical de temperatură
${\ displaystyle E}$		Presiunea de vapori a fracției de vapori de apă (în hPa)
${\ displaystyle C_ {h}}$	= 0,12 K / hPa	Coeficient pentru luarea în considerare a variației medii a presiunii vaporilor cu altitudinea (de fapt dependentă de stație, aici ca valoare medie fixă) ${\ displaystyle E}$

Dacă nu este disponibilă umiditatea măsurată a aerului, se poate utiliza și următoarea aproximare, care se bazează pe valorile medii de temperatură și umiditate pe termen lung: ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle t (h) <9 {,} 1 \, ^ {\ circ} \ mathrm {C}: {\ tilde {E}} = 5 {,} 6402 \ cdot (-0 {,} 0916+ \ mathrm {e} ^ {0 {,} 06 \ cdot t (h)})}$

${\ displaystyle t (h) \ geq 9 {,} 1 \, ^ {\ circ} \ mathrm {C}: {\ tilde {E}} = 18 {,} 2194 \ cdot (1 {,} 0463- \ mathrm {e} ^ {- 0 {,} 0666 \ cdot t (h)})}$

practică

Compararea mai multor barometre arată acuratețea absolută limitată a dispozitivelor disponibile în comerț.

Cerințele de precizie pentru presiunea aerului măsurată și înălțimea barometrului, care sunt ridicate aici, de obicei nu vor putea fi îndeplinite de un meteorolog amator. Cu barometrele stațiilor meteo Hobby , sunt de așteptat erori sistematice de cel puțin 1 până la 2 hPa. O astfel de incertitudine corespunde unei incertitudini a altitudinii sitului de zece până la douăzeci de metri prin intermediul nivelului de altitudine barometrică. Ambiția de a determina altitudinea mai precis nu va duce probabil la un rezultat mai precis. În această lumină, trebuie luată în considerare și necesitatea sau superfluitatea luării în considerare a umidității aerului.

Dacă este necesar, este recomandabil să nu se utilizeze altitudinea reală, ci o altitudine fictivă care se potrivește cel mai bine presiunii reduse a aerului cu informațiile de la un barometru de referință din apropiere (stație meteo oficială, aeroport etc.). O posibilă eroare sistematică a barometrului poate fi compensată în mare măsură printr-o astfel de calibrare . În acest scop, este recomandabil să utilizați mai întâi un nivel aproximativ pentru reducere și să comparați propriile rezultate cu datele de referință pe o perioadă mai lungă de timp (în special la temperaturi diferite). Dacă se constată o diferență sistematică, diferența de înălțime poate fi calculată cu ajutorul unei formule de înălțime adecvate, care, pe baza înălțimii aproximative a locației, schimbă înălțimile reduse cu cantitatea dorită. Suma corectată în acest mod este apoi utilizată pentru reduceri viitoare. Dacă temperatura nu este luată în considerare în timpul reducerii, calibrarea trebuie să se bazeze pe situația la o temperatură reprezentativă.

Un barometru tipic pentru camera de zi

Barometrele simple din sufragerie sunt de obicei setate astfel încât să arate imediat presiunea redusă a aerului. De obicei, acest lucru se face printr-un șurub pe partea din spate a carcasei, cu care poate fi schimbată preîncărcarea arcului celulei de presiune . Calibrarea corespunde deci unei schimbări a scării afișajului. Strict vorbind, acest lucru este incorect. După cum arată formulele de altitudine, reducerea trebuie făcută prin înmulțirea cu un factor de calibrare și nu prin simpla adăugare a unei constante: Presiunea redusă a aerului se schimbă cu puțin mai mult de o hPa dacă presiunea aerului la altitudinea amplasamentului se schimbă cu o hPa. Prin urmare, scara ar trebui să fie întinsă ușor în plus față de schimbare. Cu toate acestea, eroarea cauzată de aceasta este mai mică decât eroarea care apare din faptul că aceste dispozitive ignoră influența temperaturii asupra reducerii. Deoarece nu aveți opțiunea de a introduce altitudinea, calibrarea poate fi efectuată numai prin comparație cu un barometru de referință, care, la rândul său, reduce erorile sistematice de punct zero ale instrumentului în același timp. Calibrarea trebuie efectuată pentru localizarea barometrului (sau pentru o locație cu altitudine comparabilă). Nu are rost să aveți dispozitivul „setat corect” la dealer dacă este apoi atârnat într-o locație complet diferită. Dacă barometrul este utilizat din modificările presiunii aerului, rezultă o prognoză meteo pe termen scurt, calibrarea precisă este mai puțin importantă.

Limite

În general, la reducerea măsurătorilor de presiune a aerului, trebuie avut în vedere faptul că coloana de aer adăugată aritmetic nu poate exista de fapt pentru majoritatea locațiilor și, prin urmare, nu poate exista o valoare „adevărată” pentru „ presiunea nivelului mării la locație” care este precisă prin calcule suficient de complexe care ar putea fi aproximate. Formulele de reducere se bazează parțial exclusiv pe convenții și, în afară de aplicațiile științifice speciale, servesc în principal pentru a face valorile măsurate ale stațiilor meteorologice cât mai comparabile posibil. Un exemplu de fictivitate a coloanei de aer adăugate: Peste un teren plan, pe care nu curge aer rece, aerul din apropierea solului se poate răcori în mod notabil în nopțile senine din cauza radiației de căldură a solului ( inversarea solului ). O stație meteo amplasată acolo va înregistra această temperatură redusă și va continua matematic cu gradientul obișnuit de temperatură în jos. Dacă terenul ar fi la nivelul mării, totuși, acel aer nu s-ar fi răcit deloc din cauza lipsei de sol și coloana de aer care există de fapt ar avea o temperatură semnificativ mai mare decât cea calculată. Prin urmare, calculul a presupus o densitate prea mare a coloanei de aer adăugate și are ca rezultat o presiune a aerului redusă mai mare decât ar exista în aceeași situație meteorologică dacă întreaga zonă ar fi la nivelul mării.

Măsurarea altitudinii barometrice

Dependența de altitudine a presiunii aerului poate fi, de asemenea, utilizată pentru măsurarea altitudinii . Măsurătorile de altitudine barometrice sunt rapide și relativ ușor de efectuat, dar precizia lor este limitată. Un barometru conceput pentru a determina altitudinea se numește altimetru sau altimetru . Procedura depinde de utilizarea preconizată și de cerințele de precizie. Metoda este utilizată, printre altele, pentru drumeții și, cu cerințe de precizie ceva mai ridicate, în topografia terenului.

literatură

• Richard Rühlmann : Măsurările barometrice ale înălțimii și semnificația lor pentru fizica atmosferei. Leipzig 1870, pp. 10-12, 21-24 ( digital ). (despre istorie)

• W. Roedel: Fizica mediului nostru: Atmosfera. 3. Ediție. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2000, ISBN 3-540-67180-3 .

Vezi si

• Deasupra nivelului mării

Link-uri web

• Program de calcul online pentru formula internațională de înălțime

Dovezi individuale

1. ^ Edmond Halley : Un discurs al regulii scăderii înălțimii mercurului în barometru . În: Philos. Tranzacții , 1686 și 1687, Vol. 16, p. 104
2. ↑ K.-H. Ahlheim [ed.]: Cum funcționează? Vreme si clima. Meyers Lexikonverlag, Mannheim / Viena / Zurich 1989, ISBN 3-411-02382-1 , p. 46
3. ↑ Manualul observatorului (BHB) pentru punctele de raportare a vremii din rețeaua de măsurare și observare sinoptică-climatologică . Adus pe 20 ianuarie 2016