Biquaternion

Cele biquaternions sunt un sistem numeric hiper - complex descris de William Kingdon Clifford în a doua jumătate a secolului al 19 - lea. Înainte de Clifford, Arthur Cayley numise deja cuaternionii cu coeficienți complecși (adică mulțimea ) biaternari. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}}$

Hamilton Biquaternion

Biaternarii descriși de Arthur Cayley sunt cuaternari ale căror elemente sunt numere complexe. Acest lucru poate fi reprezentat - prin conversia cuaternionului - prin care cuaternionul este reprezentat ca un vector 4, ca o matrice complexă 2 × 2 sau ca o matrice 4 × 4:

${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix }} {\ hat {=}} {\ begin {pmatrix} w + ix & y + iz \\ - y + iz & w-ix \ end {pmatrix}} {\ hat {=}} {\ begin {pmatrix} w & -x & z & -y \\ x & w & -y & -z \\ - z & y & w & -x \\ y & z & x & w \ end {pmatrix}} \ right \ vert w, x, y, z \ in \ mathbb {C} \ right \}}$

Biquaternionenii sunt astfel un sistem numeric hipercomplex cu 8 dimensiuni cu unitățile 1, i j, k , i, j, k. Un biaternar q poate deci de ex. B. să fie reprezentat după cum urmează: ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ mathbf {q} = {\ begin {pmatrix} \ Re \ mathbf {q} _ {w} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {w} \\\ Re \ mathbf {q } _ {x} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {x} \\\ Re \ mathbf {q} _ {y} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {y} \\\ Re \ mathbf {q} _ {z} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ Re \ mathbf {q} _ {w} + i \, \ Re \ mathbf {q} _ {x} + j \, \ Re \ mathbf {q} _ {y} + k \, \ Re \ mathbf {q} _ {z} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {w} + \ omega i \, \ Im \ mathbf {q} _ {x} + \ omega j \, \ Im \ mathbf {q} _ {y} + \ omega k \, \ Im \ mathbf {q} _ {z}}$

Aici i, j și k sunt unitățile cuaternarilor . De asemenea, susține că i, j și k fac naveta . Componentele w, x, y și z reprezintă dimensiunile respective care sunt reprezentate de cuaternion. Compusul este format prin , , și . ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {1} = i}$${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {2} = j}$${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {3} = k}$${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {1} \ mathbf {i} _ {2} \ mathbf {i} _ {3} = \ omega}$

Clifford Biquaternion

Biquaternionii Clifford iau naștere din ideea înlocuirii numerelor complexe din biaternarele Hamilton cu un număr complex divizat. Acest lucru poate fi realizat prin transformarea expresiei în . Acest lucru poate fi gândit ca formând un „număr complex cu cuaternioni” în loc de un „cuaternion cu numere complexe”. Alternativ, biquaternionii pot fi formați ca suma directă a cuaternionilor cu ei înșiși, adică . Pentru biaternarul b, acest lucru poate fi definit după cum urmează: ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C} {\ hat {=}} \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ equiv \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} \ mathbf {q} \\\ mathbf {p} \ end {pmatrix}} {\ hat {=}} \ mathbf {q} + \ omega \, \ mathbf {p} \ right \ vert \ mathbf {q}, \ mathbf {p} \ in \ mathbb {H} \ right \}}$

Iată ansamblul numerelor complexe, ansamblul cuaternionilor; q și p sunt cuaternioni și . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ omega ^ {2} = 1}$

Remodelare

Biaternarii Clifford corespund algebrei Clifford și formează un inel cu zero divizori . ${\ displaystyle Cl (3.0, \ mathbb {R})}$

Biquaternionii Hamilton și biquaternionii Clifford sunt forme de reprezentare a biaternarilor. Un biaternar Hamilton corespunde unui biaternar Clifford:

${\ displaystyle \ mathbf {q} = {\ begin {pmatrix} \ Re \ mathbf {q} _ {w} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {w} \\\ Re \ mathbf {q } _ {x} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {x} \\\ Re \ mathbf {q} _ {y} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {y} \\\ Re \ mathbf {q} _ {z} + \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix}} {\ hat {=}} {\ begin {pmatrix} \ Re \ mathbf {q} _ {w} \\\ Re \ mathbf {q} _ {x} \\\ Re \ mathbf {q} _ {y} \\\ Re \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} \ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {w} \\\ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {x} \\\ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {y} \\\ omega \, \ Im \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix}} {\ hat {=}} {\ begin {pmatrix} \ Re \ mathbf {q} _ {w} \\\ Re \ mathbf {q} _ {x} \\\ Re \ mathbf {q} _ {y} \\\ Re \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix }} + \ omega \, {\ begin {pmatrix} \ Im \ mathbf {q} _ {w} \\\ Im \ mathbf {q} _ {x} \\\ Im \ mathbf {q} _ {y} \\\ Im \ mathbf {q} _ {z} \ end {pmatrix}}}$

Deoarece octoniile sunt neasociative, ele nu au o reprezentare matricială. Ca urmare, biaternarii nu pot fi convertiți în octonii.

cerere

Biaternionii sunt printre alții. folosit pentru a descrie spații cu 8 dimensiuni. Aici, timpul și dimensiunile spațiale sunt reprezentate ca numere complexe pentru a descrie dilatația timpului și curbura spațiului .

O aplicație mai simplă este utilizarea biaternarului pentru a reprezenta o linie dreaptă ( vârf ) în spațiul 4-dimensional ( ), în care partea reală reprezintă vectorul suport și partea imaginară reprezintă vectorul de direcție . Pentru utilizarea în grafica computerizată 3D animată, timpul t este utilizat pentru factor - factorul nu este necesar și, prin urmare, este setat la zero. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ Re q_ {w}}$${\ displaystyle \ Im q_ {w}}$

acreditări

• WK Clifford; Schiță preliminară a biaternarilor. ; Proc. London Math. Soc. 4, 381-395, 1873
• WR Hamilton; Prelegeri cuaternare: conținând o declarație sistematică a unei noi metode matematice ; Hodges și Smith, Dublin, 1853
• E. Studiu, de mișcare și realocări ; Matematică Ann. 39, 441-566, 1891.
• van der Waerden, BL A History of Algebra from al-Khwarizmi to Emmy Noether ; Springer-Verlag, paginile 188-189, New York, 1985. ISBN 038713610X

Vezi si

• Intervalele de numere
  • Întreg
  • Numar rational
  • Numar real
  • Număr complex
• Numere hipercomplexe :
  • Octave (octonion)
  • Cuaternion
  • Sedenion