Cuaternion

The cuaternionii ( singular: quaternion, din latină quaternio, -ionis pentru „fourness“) sunt o serie de numere care extinde gama de numere reale - similare cu numere complexe și dincolo de ele. Au fost descrise (și dezvoltate sistematic) din 1843 de Sir William Rowan Hamilton ; de aceea se mai numesc și cuaternionuri hamiltoniene sau numere hamiltone . Olinde Rodrigues a descoperit-o în 1840 independent de Hamilton. Cu toate acestea, ansamblul cuaternionilor este de obicei notat cu. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

De cuaternionii formează un corp înclinat (sau inel diviziune), în care multiplicarea , de asemenea , depinde de ordinea factorilor, adică este nu comutativ . Adică, există cuaternioni și , în care ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle xy \; \; \ neq \; \; yx}$

este. Unele reguli de calcul cunoscute din real nu sunt, prin urmare, valabile pentru cuaternionuri, dar se aplică legea asociativă și distributivă , precum și inversabilitatea multiplicativă , adică H. existența inversei fiecărui . ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$${\ displaystyle x \ neq 0}$

Cuaternionii au fost primul astfel de articol din istoria matematicii.

Cuaternionii permit în multe cazuri o descriere elegantă a calculului spațiului euclidian tridimensional și a altor spații, în special în contextul rotațiilor. Prin urmare, acestea sunt utilizate, printre altele, în algoritmi de calcul și afișare pentru simulări și pentru evaluarea texturilor cristalografice . Cu toate acestea, ele prezintă interes și ca obiect matematic independent și servesc astfel, de exemplu, în dovada teoremei celor patru pătrate .

constructie

Cele cuaternionii sunt create de numere reale prin adăugarea ( adăugire ) trei numere noi, care sunt date numele , și bazate pe unitatea de complex imaginar . Acest lucru are ca rezultat un sistem numeric cu patru dimensiuni (matematic: un spațiu vectorial ) cu o parte reală , care constă dintr- o componentă reală și o parte imaginară , care este, de asemenea, numită parte vectorială , alcătuită din trei componente. ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {j}}$${\ displaystyle \ mathrm {k}}$

Fiecare cuaternion poate fi clar identificat în formă

${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

cu numere reale , , , scrie. Elementele formează astfel o bază , baza standard a cuaternionilor de mai sus . Adăugarea este componentă și este moștenită din spațiul vectorial. Multiplicativ fi noile cifre , , în conformitate cu Regulile Hamilton${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {3}}$${\ displaystyle 1, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {j}}$${\ displaystyle \ mathrm {k}}$

${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {k} ^ {2} = \ mathrm {i} \ mathrm {j} \ mathrm {k} = - 1}$

conectat. Multiplicarea scalară , care este , de asemenea , moștenită din spațiul vectorial și în care scalari sunt privite ca interschimbabile cu fiecare element, împreună cu adăugare, legea de distribuție a drepturilor și regulile Hamilton permit multiplicarea să fie extinsă de la bază la toți cuaternarii. De aceea, fiecare scalar ca și în încorporat poate fi interpretat ca un subinel al . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H} \,}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ lambda +0 \ mathrm {i} +0 \ mathrm {j} +0 \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Înmulțirea astfel definită este asociativă , îndeplinește cele două legi distributive și astfel face cuaternionii un inel . Cu toate acestea, este nu comutativă , i. H. pentru două cuaterniuni și cele două produse și sunt în general diferite (vezi mai jos). Centrul de , adică mulțimea acelor elemente ale grupului multiplicativ care fac naveta cu toate elementele, este . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle yx}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times}}$

Cuaternionii formează un corp înclinat (inel de diviziune), deoarece există un cuaternion invers pentru fiecare cuaternion cu ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$

${\ displaystyle xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x = 1}$ .

Din cauza lipsei de comutativitate, notații cu o linie fracțională, cum ar fi B. evitat. ${\ displaystyle {\ tfrac {y} {x}}}$

Mai mult, cuaternionii sunt o algebră de diviziune cu patru dimensiuni peste - și în afară de izomorfism, singura. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Notaţie

Următoarele notații sunt utilizate în textul următor:

Dacă un cuaternion este, atunci componentele sale reale sunt notate cu, iar acestea sunt atribuite bazei după cum urmează ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ displaystyle 1, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}.}$

Ocazional este necesară o notație vectorială. De exemplu, componentele sunt combinate pentru a forma un vector tridimensional, astfel încât vectorul 4-dimensional să poată fi utilizat pentru identificare.${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (x_ {0}, {\ vec {x}}) = (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

Acordurile similare ar trebui să se aplice altor scrisori precum etc. ${\ displaystyle y}$

În unele literaturi mai vechi, cuaternionii erau denotați cu litere Fraktur cu majusculă, iar unitățile imaginare erau denumite vectori unitari cu litere mici în Fraktur, de ex. B. așa: ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {X}} = x_ {0} + {\ mathfrak {e}} _ {1} x_ {1} + {\ mathfrak {e}} _ {2} x_ {2} + {\ mathfrak {e}} _ {3} x_ {3} = \ sum _ {j = 0} ^ {3} {\ mathfrak {e}} _ {j} x_ {j}}$

cu  . ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {0} = 1}$

Numerele complexe au de obicei numele și componentele reale . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

Aritmetica de bază

Construcția cuaternionilor este analogă cu cea a numerelor complexe, dar nu se adaugă doar un număr nou, ci trei dintre ele, care sunt notate cu , și . ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {j}}$${\ displaystyle \ mathrm {k}}$

Cele combinații liniare

${\ displaystyle x_ {0} \ mathrm {1} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

Spațiul vectorial în 4 dimensiuni al cuaternionilor este întins deasupra bazei cu componente reale . Deoarece un spațiu vector este izomorf pentru . Elementul de bază , care încorporează injectiv numerele reale (și în același timp reprezintă elementul neutru al înmulțirii), este de obicei lăsat deoparte în combinația liniară. Adunarea și scăderea se realizează în funcție de componentă ca în orice spațiu vectorial. ${\ displaystyle \ {\ mathrm {1}, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k} \}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathrm {1}}$

Înmulțirea scalară este, de asemenea, preluată din spațiul vectorial, adică înmulțirea stângă și dreaptă cu un număr real, care este multiplicat distributiv pentru fiecare componentă. Această înmulțire scalară este o limitare a înmulțirii Hamilton, care este complet definită. Multiplicarea Hamilton a elementelor de bază între ele sau oarecum mai cuprinzătoare în cadrul setului ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8}: = \ {\ mathrm {1}, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}, - \ mathrm {1}, - \ mathrm {i}, - \ mathrm {j}, - \ mathrm {k} \}}$

se întâmplă conform regulilor Hamilton

${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {k} ^ {2} = - 1}$	${\ displaystyle (1)}$
${\ displaystyle \ mathrm {i} \ mathrm {j} = + \ mathrm {k}, \ quad \ mathrm {j} \ mathrm {k} = + \ mathrm {i}, \ quad \ mathrm {k} \ mathrm {i} = + \ mathrm {j}}$	${\ displaystyle (2)}$
${\ displaystyle \ mathrm {j} \ mathrm {i} = - \ mathrm {k}, \ quad \ mathrm {k} \ mathrm {j} = - \ mathrm {i}, \ quad \ mathrm {i} \ mathrm {k} = - \ mathrm {j}}$	${\ displaystyle ({\ bar {2}})}$.

Aceste reguli, împreună cu interschimbabilitatea cu orice alt element, oferă un tabel complet pentru o conexiune care se dovedește a fi asociativă și face un grup - grupul cuaternar . ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8}}$

Presupunând regula (și axiomele grupului), combinația dintre și , în care este exprimat comportamentul ciclic și anticiclic al celor trei unități de cuaternion nereal, poate fi înlocuită cu regula individuală ${\ displaystyle (1)}$${\ displaystyle (2)}$${\ displaystyle ({\ bar {2}})}$

${\ displaystyle \ mathrm {i} \ mathrm {j} \ mathrm {k} = -1}$

${\ displaystyle (3)}$.

Această singură regulă ar putea , de asemenea , de către fiecare dintre cele cinci reguli individuale alternative , , , sau care urmează să fie înlocuit. ${\ displaystyle (3)}$${\ displaystyle \ mathrm {j} \ mathrm {k} \ mathrm {i} = -1}$${\ displaystyle \ mathrm {k} \ mathrm {i} \ mathrm {j} = -1}$${\ displaystyle \ mathrm {k} \ mathrm {j} \ mathrm {i} = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {j} \ mathrm {i} \ mathrm {k} = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {i} \ mathrm {k} \ mathrm {j} = 1}$

Cu ajutorul acestor reguli și înlocuire, legea asociativă și (stânga și dreapta) distributivitate , multiplicarea poate fi continuată complet. Ele pot fi tratate ca variabile anti-navetă . Dacă apar produse a două dintre ele, acestea pot fi înlocuite conform regulilor Hamilton. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$

Formulele elaborate pentru cele 2 verigi ale a doi cuaternioni

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$   și   ${\ displaystyle y = y_ {0} + y_ {1} \ mathrm {i} + y_ {2} \ mathrm {j} + y_ {3} \ mathrm {k}}$

inel

${\ displaystyle x + y}$	${\ displaystyle = (x_ {0} + y_ {0}) + (x_ {1} + y_ {1}) \ mathrm {i} + (x_ {2} + y_ {2}) \ mathrm {j} + (x_ {3} + y_ {3}) \ mathrm {k}}$		(Plus)
${\ displaystyle x \; y}$	${\ displaystyle = (x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3})}$
	${\ displaystyle {} + (x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0} {\ color {Red} \; + \; x_ {2} y_ {3}} {\ color {red} \; - \; x_ {3} y_ {2}}) \ mathrm {i}}$
	${\ displaystyle {} + (x_ {0} y_ {2} {\ color {red} \; - \; x_ {1} y_ {3}} + x_ {2} y_ {0} {\ color {red} \; + \; x_ {3} y_ {1}}) \ mathrm {j}}$
	${\ displaystyle {} + (x_ {0} y_ {3} {\ color {Red} \; + \; x_ {1} y_ {2}} {\ color {red} \; - \; x_ {2} y_ {1}} + x_ {3} y_ {0}) \ mathrm {k}}$		(Multiplicare)

Aceasta definește cele 2 legături necesare pentru un inel. Este ușor să verificați dacă toate axiomele inelului sunt îndeplinite.

Inversul aditiv este (ca în fiecare spațiu vectorial) produsul cu scalarul -1. Scăderea este adăugarea acestei inverse.

Împărțirea necesară pentru un corp înclinat trebuie înlocuită cu o înmulțire cu inversul (multiplicativ) din cauza lipsei de comutativitate (vezi invers și împărțire ).

Inel de contra

Dacă este un inel necomutativ, atunci se poate folosi multiplicarea ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle x \ circ y \ ;: = y \ cdot x}$

creați un alt inel, numit inelul de împerechere . Este ușor de considerat că toate legile inelare, adică legea asociativă, precum și ambele legi distributive, decurg din legile inițiale. În acest inel, (aproape) toate regulile aritmetice scrise în § Aritmetica de bază se aplică cu excepția multiplicării, în care semnele termenilor cu font roșu (care sunt exact acelea în care nu apare o componentă cu index 0) sunt inversate . Se aplică și formularul scurt ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {op}: = (\ mathbb {R} ^ {4}, +, \ circ)}$

${\ displaystyle \ mathrm {i} \ circ \ mathrm {j} \ circ \ mathrm {k} = + 1}$ .

De altfel, potrivit lui Lam , Gauss a definit multiplicarea cuaternionului exact în același mod în 1819.

De asemenea, orientarea de trepied în oglindă. Identitatea pe platoul de filmare de bază este un anti-izomorfism și conjugarea este un izomorfism${\ displaystyle (\ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {op}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H}: = (\ mathbb {R} ^ {4}, +, \ cdot) \ quad \ to \ quad \ mathbb {H} ^ {op}: = (\ mathbb {R} ^ {4}, +, \ circ)}$.

Non-comutativitatea este sinonimă cu diferența dintre și . Deoarece ambele inele îndeplinesc axiomele inelului cuaternionelor, acest sistem de axiome trebuie să fie „incomplet” în sensul lui Hölders . Sistemele axiomice ale numerelor raționale, reale sau complexe sunt complete în acest sens. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {op}}$

Termeni de bază

Partea scalară și partea vectorială

Datorită poziției speciale a componentei unui cuaternion ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

ele sunt numite - ca și în cazul numerelor complexe - ca parte reală sau parte scalară

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \, x: = x_ {0}}$ ,

în timp ce componentele formează împreună partea imaginară sau partea vectorială${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, x: = x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

formă. Partea vector este adesea identificată cu vectorul . ${\ displaystyle {\ vec {x}}: = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

conjugare

Pentru fiecare cuaternion

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

quaternion conjugat este definit ca

${\ displaystyle {\ bar {x}}: = x_ {0} -x_ {1} \ mathrm {i} -x_ {2} \ mathrm {j} -x_ {3} \ mathrm {k}}$ .

Deoarece partea imaginară rămâne legată de vectorii săi unici și partea reală trebuie să fie înglobată în mod clar în cuaternioni ca număr real, rezultă relațiile simple

${\ displaystyle x = \ operatorname {Re} \, x + \ operatorname {Im} \, x}$

și

${\ displaystyle {\ bar {x}} = \ operatorname {Re} \, x- \ operatorname {Im} \, x}$ ,

din care sunt imediat

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \, x = {\ frac {1} {2}} (x + {\ bar {x}})}$

și

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, x = {\ frac {1} {2}} (x - {\ bar {x}})}$

calculează.

Dacă un cuaternion este egal cu conjugatul său, atunci este real; H. partea vector este zero. Dacă un cuaternion este egal cu negativul conjugatului său, atunci este un cuaternion pur , i. H. partea scalară este zero.

Alte proprietăți importante ale conjugării sunt:

${\ displaystyle {\ overline {({\ bar {x}})}} = x}$	Conjugarea este o involuție .
${\ displaystyle {\ overline {x + y}} = {\ bar {x}} + {\ bar {y}}}$iar pentru numere reale ${\ displaystyle {\ overline {\ lambda x}} = \ lambda {\ bar {x}}}$${\ displaystyle \ lambda}$	Conjugarea este - liniară . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ bar {y}} {\ bar {x}}}$	Conjugarea este un anti-automorfism involutiv .
${\ displaystyle {\ overline {x}} = - {\ tfrac {1} {2}} (x + \ mathrm {i} \, x \, \ mathrm {i} + \ mathrm {j} \, x \ , \ mathrm {j} + \ mathrm {k} x \ mathrm {k})}$	Conjugarea poate fi reprezentată „cu mijloace aritmetice”.

Produs scalar

Produsul scalar al celor doi cuaternioni, înțeles ca vectori im , este definit de ${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle \ colon \ mathbb {H} \ times \ mathbb {H} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = x_ {0} y_ {0} + x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}}$ .

Se aplică

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Re} ({\ bar {x}} y) = \ operatorname {Re} (x {\ bar {y}}) = {\ frac {1} { 2}} (x {\ bar {y}} + y {\ bar {x}})}$ .

Este o formă bilineară simetrică definită pozitiv care poate fi utilizată pentru a defini norma și cantitatea și care poate fi utilizată pentru a determina unghiul și ortogonalitatea .

Poate fi folosit și pentru a izola componentele individuale ale unui cuaternion:

${\ displaystyle x_ {0} = \ langle \ mathrm {1}, x \ rangle, \ quad x_ {1} = \ langle \ mathrm {i}, x \ rangle, \ quad x_ {2} = \ langle \ mathrm {j}, x \ rangle, \ quad x_ {3} = \ langle \ mathrm {k}, x \ rangle}$ .

Procedura, utilizată pe scară largă în fizică, de notare a produsului scalar în abreviere, cum ar fi o multiplicare cu punctul central " ",${\ displaystyle \ cdot}$ este, de asemenea, adesea utilizată pentru cuaternioni, prin care riscul de confuzie între multiplicarea cuaternionului și produsul scalar este ridicat.

În cele ce urmează folosim următoarea convenție:

• Produsul cuaternion este întotdeauna notat fără a utiliza punctul central prin legarea factorilor.
• Produsul scalar, atât în ​​4, cât și în 3, este notat în notația de multiplicare cu punctul central " "${\ displaystyle \ cdot}$ .

Produs încrucișat

Produsul încrucișat al celor două cuaterniuni este produsul încrucișat ( produsul vector) al părților lor vectoriale și, în afară de factorul 2, comutatorul lor . Este și așa este ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle x = :( x_ {0}, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle y = :( y_ {0}, {\ vec {y}})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x \ times y &: = {\ vec {x}} \ times {\ vec {y}} \\ & \; = {\ tfrac {1} {2}} (xy - yx) \\ & \; = (x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) \ mathrm {i} + (x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ { 3}) \ mathrm {j} + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}) \ mathrm {k} \ ;. \ end {align}}}$

Multiplicarea cuaternionului ca produs scalar și încrucișat

Unul identifică cuaternionii

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

și

${\ displaystyle y = y_ {0} + y_ {1} \ mathrm {i} + y_ {2} \ mathrm {j} + y_ {3} \ mathrm {k}}$

cu perechi de scalar și vector${\ displaystyle \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle x = (x_ {0}, {\ vec {x}})}$   Cu   ${\ displaystyle {\ vec {x}}: = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

sau.

${\ displaystyle y = (y_ {0}, {\ vec {y}})}$   cu    , ${\ displaystyle {\ vec {y}}: = (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}$

Acesta este modul în care multiplicarea poate fi descrisă folosind produsul scalar (tridimensional) și produsul încrucișat :

${\ displaystyle xy = (x_ {0}, {\ vec {x}}) (y_ {0}, {\ vec {y}}) = {\ Big (} x_ {0} y_ {0} - {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}, \ quad x_ {0} {\ vec {y}} + {\ vec {x}} y_ {0} + {\ vec {x}} \ times {\ vec {y}} {\ Big)}}$ .

În consecință, doi cuaternioni sunt interschimbabili dacă și numai dacă produsul lor încrucișat este 0, adică dacă părțile lor vectoriale sunt liniar dependente ca vectori reali (vezi și încorporarea numerelor complexe ).

Norma și suma

Produsul scalar al unui cuaternion cu el însuși, care este egal cu produsul cuaternion cu conjugat, se numește norma : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ operatorname {Norm} (x): = x \ cdot x = x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = x {\ bar {x}} = {\ bar {x}} x}$ 

În special, această valoare este reală și non-negativă.

Rădăcina pătrată a acestei

${\ displaystyle {\ sqrt {{x_ {0}} ^ {2} + {x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + {x_ {3}} ^ {2} }} =: | x |}$

se numește magnitudinea sau lungimea cuaternionului și corespunde cu magnitudinea sau lungimea euclidiană a vectorului . El îndeplinește calitatea importantă ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

${\ displaystyle | xy | = | x | \; | y |}$ ,

multiplicativity din suma . Odată cu suma, cuaternionii devin o adevărată algebră Banach .

Invers și diviziune

Pentru o multiplicare necomutativă trebuie să se utilizeze ecuațiile

${\ displaystyle xb = a}$

și

${\ displaystyle by = a}$

distinge. Dacă inversul există, atunci sunt ${\ displaystyle b ^ {- 1}}$

${\ displaystyle x = din ^ {- 1}}$

sau.

${\ displaystyle y = b ^ {- 1} a}$

respectiv soluții care sunt de acord numai dacă și fac naveta, mai ales dacă divizorul este real. Într-un astfel de caz, notația poate fi utilizată - nu ar fi unică în cazul diviziunilor generale. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

Dacă există suplimentar , se aplică formula ${\ displaystyle c ^ {- 1}}$

${\ displaystyle b ^ {- 1} c ^ {- 1} = (cb) ^ {- 1}}$,

deoarece

${\ displaystyle b ^ {- 1} c ^ {- 1} cb = 1}$      și       .${\ displaystyle (cb) ^ {- 1} cb = 1}$

Pentru

${\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k} \ neq 0}$

este norma

${\ displaystyle \ operatorname {Norm} (x) = x {\ bar {x}} = {\ bar {x}} x = x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}> 0}$

real și pozitiv. Cuaternionul

${\ displaystyle x ^ {- 1}: = {\ frac {\ bar {x}} {x {\ bar {x}}}}}$

apoi îndeplinește condițiile legale

${\ displaystyle xx ^ {- 1} = x {\ frac {\ bar {x}} {x {\ bar {x}}}} = 1}$

iar inversul stâng

${\ displaystyle x ^ {- 1} x = {\ frac {\ bar {x}} {{\ bar {x}} x}} x = 1}$

și, prin urmare, poate fi numit inversul lui . ${\ displaystyle x}$

Cuaternion pur

Un cuaternion a cărui parte vectorială este 0 este identificată cu numărul real corespunzător părții sale scalare.

Un cuaternion a cărui parte reală este 0 (echivalent: al cărui pătrat este real și ne-pozitiv) se numește pur , pur imaginar sau vectorial . Setul cuaternionilor pur este notat ca sau . Este un tridimensional real de spațiu vectorial , cu o bază . Pentru cuaternionele pure, multiplicarea ia o formă deosebit de simplă: ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {\ text {pure}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ {\ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k} \}}$

${\ displaystyle (0, {\ vec {x}}) (0, {\ vec {y}}) \; = \; {\ Big (} {- {\ vec {x}} \ cdot {\ vec { y}}}, \, {\ vec {x}} \ times {\ vec {y}} {\ Big)}}$ .

Cuaternion de unitate

Un cuaternion unitar (de asemenea: cuaternion normalizat , cuaternion de lungime 1 ) este un cuaternion a cărui valoare absolută este egală cu 1. Pentru ei se aplică (analog numerelor complexe)

${\ displaystyle | x | = 1 \ if x {\ bar {x}} = 1 \ if {\ bar {x}} = x ^ {- 1}}$.

Căci orice cuaternitate este ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {x} {| x |}} = {\ frac {x_ {0}} {| x |}} + {\ frac {x_ {1}} {| x |}} \ mathrm { i} + {\ frac {x_ {2}} {| x |}} \ mathrm {j} + {\ frac {x_ {3}} {| x |}} \ mathrm {k}}$

un cuaternion unitar, uneori denumit signum sau versul lui . ${\ displaystyle x}$

Produsul a două cuaterniuni unitare și inversul unui cuaternion unitar sunt din nou cuaternionuri unitare. Cuaternionii unitari formează astfel un grup.

Geometric, mulțimea cuaternionilor unitari poate fi interpretată ca unitatea 3-sferă în spațiul euclidian cu patru dimensiuni și astfel ca un grup Lie , cu spațiul cuaternionilor puri ca algebră Lie asociată . Reprezentarea ca matrici complexe clarifică corespondența reversibilă univocă a cuaternionelor unitare cu grupul unitar special . ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$

Singurele cuaternionuri unitare reale sunt . Ele sunt , de asemenea, centrul de atenție. ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$

Cuaternion unitar pur

Cuaternionii unitari, care sunt și cuaternioni puri, pot fi caracterizați ca acei cuaternioni ale căror pătrate au ca rezultat: ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {0} = 0 \; \ land \; {\ epsilon _ {1}} ^ {2} + {\ epsilon _ {2}} ^ {2} + {\ epsilon _ {3} } ^ {2} = 1 \ qquad \ iff \ qquad \ epsilon ^ {2} = - 1}$.

Se află în hiperplanul ecuatorial al sferei 3 și alcătuiesc unitatea-2-sfera spațiului tridimensional . ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$

Incorporarea numerelor complexe

Fiecare cuaternion cu un pătrat definește un izomorfism de încorporare a numerelor complexe din cuaternioni ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle -1}$ ${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rccc} \ iota _ {\ epsilon} \ colon & \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {H} \\ & u + v \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} & \ mapsto & u + v \ epsilon \ end {array}}}$

cu și ca unitate imaginară de numere complexe. În acest caz, care sunt cantități de imagine de și corespunzătoare embeddings identice: . ${\ displaystyle u, v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle {\ bar {\ epsilon}}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C}) = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (\ mathbb {C})}$

Fiecare astfel de cuaternion poate fi numit, perpendicular pe acesta și pe produsul său . Fiecare cuaternion nereal se află exact într-o astfel de încorporare a  . Două cuaterniuni sunt interschimbabile dacă și numai dacă există o încorporare comună. ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {j}}$${\ displaystyle \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Două imagini diferite au axa reală a mediei.

Privite în acest fel, cuaternionii sunt o uniune de niveluri complexe.

Reprezentare polară

Fiecare cuaternion poate fi într-un mod unic în formă ${\ displaystyle x ^ {\ circ} = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k} \; \ neq \; \ pm 1}$

${\ displaystyle x ^ {\ circ} = \ cos \ phi + \ epsilon \, \ sin \ phi}$

cu unghiul polar de${\ displaystyle x ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \ phi: = \ arccos (x_ {0}) = \ arccos (\ operatorname {Re} x ^ {\ circ}) \ in {] 0, \ pi [}}$

și cuaternionul pur al unității

${\ displaystyle \ epsilon: = {\ frac {x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}} {\ sqrt {1-x_ {0 } ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}} {\ sin \ phi}} = {\ frac {\ operatorname {Im} x ^ {\ circ}} {| \ operatorname {Im} x ^ {\ circ} |}} = {\ frac {{\ vec {x}} ^ {\ circ} } {| {\ vec {x}} ^ {\ circ} |}}}$

fiind reprezentat.

Cu funcția exponențială generalizată, aceasta poate fi scrisă și ca ${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} = - 1 \}$

${\ displaystyle x ^ {\ circ} = \ exp (\ epsilon \ phi)}$

cu cuaternionul pur . Dacă se dorește exponențierea unui cuaternion pur , atunci trebuie să se formeze valoarea sa absolută și un cuaternion pur , iar rezultatul cuaternionului rezultă ${\ displaystyle \ epsilon \ phi =: x ^ {\ prime} \ in \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ neq 0}$${\ displaystyle \ phi = | x ^ {\ prime} |}$ ${\ displaystyle \ epsilon = x ^ {\ prime} / \ phi}$

${\ displaystyle \ exp x ^ {\ prime} = \ cos \ phi + \ epsilon \, \ sin \ phi}$.

Cazul     poate fi extins continuu . Prin urmare, cartografierea exponențială este surjectivă . Acum, pentru toate cu , și acestea sunt nesfârșite. Cu toate acestea, restricția este bijectivă . Este continuu , dar din cauza necomutativității multiplicării, nu este un omomorfism . ${\ displaystyle \ exp 0 = 1}$ ${\ displaystyle \ exp \ colon \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H} \ to \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ exp x ^ {\ prime} = - 1}$${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$${\ displaystyle | x ^ {\ prime} | = \ pi}$ ${\ displaystyle \ exp \ colon \ {x ^ {\ prime} \ in \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H} \ land | x ^ {\ prime} | <\ pi \} \; \ to \; \ mathbb {S} ^ {3} \ setminus \ {- 1 \}}$

În general, fiecare cuaternion nereal poate fi exprimat clar în formă

${\ displaystyle x = | x | \; (\ cos \ phi + \ epsilon \, \ sin \ phi)}$

cu unghiul polar de${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ phi = \ arccos \ left ({\ frac {\ operatorname {Re} x} {| x |}} \ right) \ in {] 0, \ pi [}}$

și cuaternionul unitar pur (cuaternionul pur și normalizat al${\ displaystyle x}$ )

${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ operatorname {Im} x} {\ sqrt {| x | ^ {2} - (\ operatorname {Re} x) ^ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {Im} x} {| x | \, \ sin \ phi}} = {\ frac {\ vec {x}} {| {\ vec {x}} |}}}$

scrie. Prin definire este astfel încât să indice în aceeași direcție ca și partea vectorială . ${\ displaystyle \ phi \ in {] 0, \ pi [}}$${\ displaystyle \ sin \ phi> 0}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} x}$

Fiecare cuaternion nereal negativ este clar scris ca

${\ displaystyle x = | x | \ exp x ^ {\ prime}}$

cu un cuaternion pur cu   . ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$${\ displaystyle | x ^ {\ prime} | <\ pi}$

Aceste reprezentări sunt forma polară a numerelor complexe

${\ displaystyle z = | z | (\ cos \ phi + \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ sin \ phi) = | z | \ exp (\ mathrm {i} _ {\ mathbb {C }} \ phi)}$

(cu ca unitate imaginară) analogică. Pentru ecuația funcțională${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle xy = | x | \; | y | \; \ exp (x ^ {\ prime} + y ^ {\ prime})}$

totuși trebuie să fac naveta.${\ displaystyle x, y}$

Teoria funcției

Funcție exponențială, logaritm

Exponențialul unui cuaternion nereal este: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ exp (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = \ exp (\ operatorname {Re} x) \ left (\ cos | {\ vec {x}} | + {\ frac {\ vec {x}} {| {\ vec {x}} |}} \ sin | {\ vec {x}} | \ right)}$

cu  . ${\ displaystyle {\ vec {x}}: = \ operatorname {Im} x}$

Logaritmul (natural) al unui cuaternion nereal este: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ ln (x) = \ ln | x | + {\ frac {\ vec {x}} {| {\ vec {x}} |}} \ arccos \ left ({\ frac {\ operatorname {Re } x} {| x |}} \ dreapta)}$ 

Pentru lucrurile nereale , ele sunt funcții inverse ale celuilalt ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ exp (\ ln (x)) = x}$

și, dacă , ${\ displaystyle | {\ vec {x}} | <\ pi}$

${\ displaystyle \ ln (\ exp (x)) = x}$ .

Ecuațiile funcționale se aplică lucrurilor non-reale care fac și naveta${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y)}$

și

${\ displaystyle \ ln (x) + \ ln (y) = \ ln (xy)}$ ,

acesta din urmă pentru cu o parte imaginară suficient de mică. ${\ displaystyle x, y}$

Continuări ale funcțiilor complexe

Deoarece poate fi înțeles ca o uniune de încorporări de niveluri complexe (a se vedea secțiunea # Încorporarea numerelor complexe ), se poate încerca să ridice funcțiile de la complex la quaternionic cu ajutorul izomorfismelor de încorporare menționate . Este important să se ceară ca funcțiile astfel obținute cu la intersecții ale domeniilor același rezultat, astfel încât funcția combinată pe uniunea virtuții decât în bine definite pot fi formate astfel. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle g _ {\ epsilon} \ colon \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C}) \ to \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C}) \ subset \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g _ {\ epsilon} (q): = \ iota _ {\ epsilon} \ circ g \ circ {\ iota _ {\ epsilon}} ^ {- 1} (q)}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\ epsilon} {\ bigl (} \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C}) {\ bigr)} = \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ forall q \ in \ mathbb {H} \; \ există \ epsilon: q \ in \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} (q): = g _ {\ epsilon} (q)}$

Să fie o funcție de valori complexe a unei variabile complexe cu reale și reale embeddability : pot fi încorporate în cuaternionii , dacă și numai dacă există o chiar și o funcție ciudat de al doilea argument .${\ displaystyle g (z) = u (\ xi, \ eta) + v (\ xi, \ eta) \ \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z = \ xi + \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$${\ displaystyle u (\ xi, \ eta), v (\ xi, \ eta).}$
${\ displaystyle g}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ eta}$

dovada

Dacă există un cuaternion nereal, atunci există un cuaternion pur și normalizat cu . Mai mult, fi și , ambele fiind reale. Atât cum este un izomorfism de încorporare pentru imagine . În primul caz arhetipul este din , în al doilea caz avem arhetipul din cauza ; fiecare având ca unitate imaginară a . Arhetipurile sunt diferite, dar imaginea care ar trebui să funcționeze ca argument în funcția care urmează să fie formată este ambele . „Ridicarea” este posibilă prin încorporarea valorilor funcției ca ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ epsilon: = \ operatorname {Im} q / | \ operatorname {Im} q |}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle \ xi: = \ operatorname {Re} q}$${\ displaystyle \ eta: = | \ operatorname {Im} q |}$${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ overline {\ epsilon}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle z _ {\ epsilon}: = \ xi + \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle q = \ xi + \ eta \, \ epsilon}$${\ displaystyle q = \ xi + \ eta \, \ epsilon = \ xi - \ eta \, {\ bar {\ epsilon}}}$${\ displaystyle z _ {\ overline {\ epsilon}}: = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} ^ {- 1} (\ xi - \ eta \, \ epsilon) = \ xi - \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle g _ {\ epsilon} (q): = \ iota _ {\ epsilon} (g (z _ {\ epsilon})) = \ iota _ {\ epsilon} (u (\ xi, + \ eta) + v (\ xi, + \ eta) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) = u (\ xi, + \ eta) + v (\ xi, + \ eta) \ epsilon}$ și ${\ displaystyle g _ {\ overline {\ epsilon}} (q): = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (g (z _ {\ overline {\ epsilon}})) = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (u (\ xi, - \ eta) + v (\ xi, - \ eta) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) = u (\ xi, - \ eta) + v (\ xi, - \ eta) {\ bar {\ epsilon}}}$ finalizat (vezi diagrama). Acum este după cerință ${\ displaystyle u (\ xi, + \ eta) = u (\ xi, - \ eta), \ quad v (\ xi, + \ eta) = - v (\ xi, - \ eta),}$ astfel încât tu însuți ${\ displaystyle g _ {\ overline {\ epsilon}} (q) = u (\ xi, - \ eta) + v (\ xi, - \ eta) {\ bar {\ epsilon}} = u (\ xi, - \ eta) -v (\ xi, - \ eta) \ epsilon = u (\ xi, + \ eta) + \ v (\ xi, + \ eta) \ epsilon = g _ {\ epsilon} (q)}$ și nu depinde de alegerea izomorfismului de încorporare. ${\ displaystyle {\ tilde {g}} (q)}$ Condiția este, de asemenea, necesară. Dimpotrivă , dacă funcția permite încorporarea în cuaternionuri, există un cuaternion pur adecvat pentru fiecare și unul real cu și ${\ displaystyle g (\ xi + \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) = u (\ xi, \ eta) + v (\ xi, \ eta) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} \ colon \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H}; q \ mapsto {\ tilde {g}} (q)}$${\ displaystyle q \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$${\ displaystyle q = \ xi \, + \, \ eta \, \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {llll} {\ tilde {g}} (q) & = g _ {\ epsilon} (\ xi \, + \, \ eta \, \ epsilon) = g _ {\ epsilon} (\ iota _ {\ epsilon} (\ xi + \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}})) = \ iota _ {\ epsilon} (g (\ xi + \ eta \ , \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}})) \\ & = \ iota _ {\ epsilon} (u (\ xi, + \ eta) \, + \, v (\ xi, + \ eta ) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) & = u (\ xi, + \ eta) \, + \, v (\ xi, + \ eta) \ epsilon. \ end {array}}}$ În cuaternionul conjugat , încorporarea are aceeași imagine ca și, prin urmare, aceeași definiție ca și . Valoarea funcției ${\ displaystyle {\ bar {\ epsilon}} = - \ epsilon}$${\ displaystyle \ iota _ {\ overline {\ epsilon}}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (\ mathbb {C}) = \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle g _ {\ overline {\ epsilon}}}$${\ displaystyle g _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {llll} {\ tilde {g}} (q) & = g _ {\ overline {\ epsilon}} (\ xi \, - \, \ eta \, {\ bar { \ epsilon}}) = g _ {\ overline {\ epsilon}} (\ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (\ xi - \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) ) = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (g (\ xi - \ eta \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}})) \\ & = \ iota _ {\ overline {\ epsilon}} (u (\ xi, - \ eta) \, + \, v (\ xi, - \ eta) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}) & = u (\ xi, - \ eta) \, + \, v (\ xi, - \ eta) {\ bar {\ epsilon}} \\ && = u (\ xi, - \ eta) \, - \, v (\ xi, - \ eta ) \ epsilon \ end {array}}}$ trebuie, prin urmare, să fie de acord cu precedentul pentru toți . ■ ${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in \ mathbb {R}}$

Funcția de încorporat este de acord cu toate subgrupurile cu consistente, astfel încât se poate ca o continuare a fi luate în considerare și, în cazul în care greșelile nu sunt de temut, numele funcției este , de asemenea , reținut. ${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$${\ displaystyle \ iota _ {\ epsilon} (\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$

Dacă există o funcție încorporabilă, atunci din cauza ciudățeniei din a doua variabilă, așa și pentru . Astfel, din încorporare rezultă că restricția la real este reală. Această clasă de funcții complexe include normă și magnitudine, dar și toate seriile Laurent cu coeficienți reali , cum ar fi funcțiile exponențiale și logaritmice.${\ displaystyle g (z) = u (\ xi, \ eta) + v (\ xi, \ eta) \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle v (\ xi, 0) = - v (\ xi, 0)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v (\ xi, 0) = 0}$${\ displaystyle g (z) \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

Analiză

Este mai dificil să stabiliți o analiză cuaternionică generală cu calcul diferențial și / sau integral. O problemă atrage imediat atenția: conceptul de coeficient de diferență , care are atât de mult succes atât în ​​analiza reală, cât și în cea complexă, trebuie definit ca o versiune stângă și dreaptă din cauza necomutativității . Dacă atunci se aplică standarde la fel de stricte ca în cazul diferențierii complexe , se dovedește că în cel mai bun caz funcțiile liniare, și anume stânga și dreapta, sunt diferențiate. Cu toate acestea, o derivare direcțională și diferențialul Gâteaux pot fi întotdeauna definite .${\ displaystyle {\ tfrac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$${\ displaystyle x \ mapsto a + xb}$${\ displaystyle x \ mapsto a + bx}$

Pe baza ecuațiilor diferențiale Cauchy-Riemann și a teoremei lui Morera , s-a găsit următorul concept de regularitate: O funcție cuaternionică este regulată în punctul în care integrala sa dispare peste fiecare hipersurfie înconjurătoare suficient de mică .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Descrierea altor constructe care folosesc cuaternioane

Produs Minkowski dot

Produsul scalar Minkowski al două cuaternioni, înțeles ca vectori în spațiul Minkowski, este partea scalară a : ${\ displaystyle xy}$

${\ displaystyle x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3} = \ operatorname {Re} (xy).}$

Analiza vectorială

În cele ce urmează , sunt identificați vectori în spațiul tridimensional cu cuaternionuri pure , adică coordonatele obișnuite cu componentele. Definiți operatorul Nabla (ca Hamilton) ca ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ in \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \; = \; \ mathrm {i} \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + \ mathrm {j} \, {\ frac {\ partial } {\ partial y}} + \ mathrm {k} \, {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$

și o aplică unei funcții scalare ca multiplicare scalară (formală), se obține gradientul${\ displaystyle f (x, y, z)}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f \; = \; \ operatorname {grad} f \; = \; \ mathrm {i} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + \ mathrm {j} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} + \ mathrm {k} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial z}}.}$

Aplicația la un câmp vector

${\ displaystyle {\ vec {F}} (x, y, z) \; = \; \ mathrm {i} \, F_ {1} (x, y, z) + \ mathrm {j} \, F_ { 2} (x, y, z) + \ mathrm {k} \, F_ {3} (x, y, z)}$

ca produs scalar (formal) rezultă divergența

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} \; = \; \ operatorname {div} {\ vec {F}} \; = \; {\ frac {\ partial F_ { 1}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial z}}}$ .

Aplicarea la un câmp vector ca produs transversal (formal) dă rotația

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} \; = \; \ operatorname {red} {\ vec {F}} \; = \; \ mathrm {i} \ left ( {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial z}} \ right) + \ mathrm {j} \ left ({\ frac {\ partial F_ {1}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial x}} \ right) + \ mathrm {k} \ left ({\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial F_ {1}} {\ partial y}} \ right)}$ .

Aplicarea la un câmp vector ca produs (formal) a două cuaterniuni pure dă

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} {\ vec {F}} \; = \; - \ operatorname {div} {\ vec {F}} + \ operatorname {red} {\ vec {F}}}$

cu ca parte scalară și ca parte vectorială a cuaternionului. ${\ displaystyle - \ operatorname {div} {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ operatorname {red} {\ vec {F}}}$

Aplicarea acesteia de două ori la o funcție oferă operatorul Laplace${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ triangle}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} ^ {2} \, f \ ;: = \; {\ vec {\ nabla}} \ cdot ({\ vec {\ nabla}} \, f) \; = \; \ operatorname {div} \ left (\ operatorname {grad} \, f \ right) \; = \; - \ triangle f \; = \; - \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}} \ dreapta),}$

d. H. acționează ca un operator Dirac ca „rădăcină pătrată” (formală) a operatorului Laplace (negativ). ${\ displaystyle \ nabla}$

Rotații în spațiul tridimensional

Cuaternionele de unitate pot fi utilizate pentru o descriere elegantă a rotațiilor în spațiul tridimensional: Pentru un cuaternion de unitate fixă , figura este ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ rho _ {q} \ colon x \ mapsto qxq ^ {- 1}}$   sau.   ${\ displaystyle \ rho _ {q} \ colon x \ mapsto qx {\ overline {q}}}$

pe o cotitură. (Aici, la fel ca în cele ce urmează, vorbim doar despre rotații care fixează originea, adică axa lor de rotație trece prin origine.) ${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$

Reprezentarea polară reprezintă în mod clar cuaternionul unitar printr-un unghi și un cuaternion unitar pur ca ${\ displaystyle q \ neq \ pm 1}$${\ displaystyle 0 <\ alpha <2 \ pi}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle q = \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} + \ epsilon \ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}$ .

Apoi, există o rotație a în jurul axei cu un unghi de rotație . ${\ displaystyle \ rho _ {q} \}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \}$${\ displaystyle \ epsilon \ in \ mathbb {R} ^ {3} \}$${\ displaystyle \ alpha}$

Pentru fiecare cuaternion unitate, definiți și aceeași rotație; în special, și ambele corespund cu figura identică (rotație cu unghiul de rotație 0). Spre deosebire de descrierea rotațiilor prin matrici ortogonale , nu este o corespondență 1: 1, pentru fiecare rotație există exact două cuaternioane unitare cu . ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle -q}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ rho _ {q} = \ rho}$

Executarea rotatiei una după celelalte corespunde înmulțirii cuaternionii, i. H.

${\ displaystyle \ rho _ {q_ {1}} \ circ \ rho _ {q_ {2}} = \ rho _ {q_ {1} q_ {2}}.}$

Inversarea sensului de rotație corespunde inversului:

${\ displaystyle \ rho _ {q ^ {- 1}} = \ rho _ {q} ^ {- 1}.}$

Aceasta este cifra

${\ displaystyle {\ begin {array} {rccc} \ rho \ colon & \ mathbb {S} ^ {3} & \ to & \ mathrm {SO} (3) \\ & q & \ mapsto & \ rho _ { q} \ end {array}}}$

un homomorfism al grupului de cuaternioni unitari în grupul rotativ . Este o suprapunere a , și, întrucât un element de imagine are exact cele două arhetipuri , două frunze, motiv pentru care homomorfismul este numit și o suprapunere 2: 1 (shomomorfism) . În plus, este universal, deoarece este pur și simplu conectat . ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle \ rho _ {q}}$${\ displaystyle \ pm q \ in \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) \ cong \ mathbb {S} ^ {3}}$

Relația cu matricile ortogonale

Corespunde în mod explicit cuaternarului unitar , ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {S} ^ {3}}$

${\ displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} \ mathrm {i} + q_ {2} \ mathrm {j} + q_ {3} \ mathrm {k}}$

cu și matricea de rotație${\ displaystyle q_ {i} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {Norm} (q) = q_ {0} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rlll} D_ {q}: = & {\ begin {bmatrix} q_ {0} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} -q_ {2} ^ {2 } -q_ {3} ^ {2} & - 2q_ {0} q_ {3} + 2q_ {1} q_ {2} & 2q_ {0} q_ {2} + 2q_ {1} q_ {3} \\ 2q_ {0} q_ {3} + 2q_ {1} q_ {2} & q_ {0} ^ {2} -q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} -q_ {3} ^ { 2} & -2q_ {0} q_ {1} + 2q_ {2} q_ {3} \\ - 2q_ {0} q_ {2} + 2q_ {1} q_ {3} & 2q_ {0} q_ {1} + 2q_ {2} q_ {3} & q_ {0} ^ {2} -q_ {1} ^ {2} -q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} \ end {bmatrix} } \\ [.3em] = & {\ begin {bmatrix} 1-2 (q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2}) \; \; \; \; & - 2q_ {0 } q_ {3} + 2q_ {1} q_ {2} \; \; \; \, & 2q_ {0} q_ {2} + 2q_ {1} q_ {3} \; \; \ quad \\ 2q_ { 0} q_ {3} + 2q_ {1} q_ {2} & 1-2 (q_ {1} ^ {2} + q_ {3} ^ {2}) & - 2q_ {0} q_ {1} + 2q_ {2} q_ {3} \\ - 2q_ {0} q_ {2} + 2q_ {1} q_ {3} & 2q_ {0} q_ {1} + 2q_ {2} q_ {3} și 1-2 ( q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}) \ end {bmatrix}} \ in \ mathrm {SO} (3) \ end {array}}}$

o formulă cunoscută și sub numele de formula Euler-Rodrigues . Acesta mapează un cuaternion pur la . ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle (0, D_ {q} \; {\ vec {\ xi}}) = q \; \ xi \; q ^ {- 1}}$

În schimb, este matricea de rotație

${\ displaystyle D = {\ begin {bmatrix} d_ {11} & d_ {12} & d_ {13} \\ d_ {21} & d_ {22} & d_ {23} \\ d_ {31} & d_ { 32} & d_ {33} \ end {bmatrix}} \ in \ mathrm {SO} (3)}$

dat și este pista

${\ displaystyle T_ {D}: = d_ {00} + d_ {11} + d_ {22} + d_ {33}> 0}$cu  ,${\ displaystyle d_ {00}: = 1}$

apoi realizează cuaternitatea

${\ displaystyle q_ {D}: = T_ {D} + (d_ {32} -d_ {23}) \ mathrm {i} + (d_ {13} -d_ {31}) \ mathrm {j} + (d_ {21} -d_ {12}) \ mathrm {k}}$

rotația , deoarece este pentru orice cuaternion pur  . ${\ displaystyle D \; {\ vec {\ xi}}}$${\ displaystyle q_ {D} \; \ xi \; q_ {D} ^ {- 1} = (0, D \; {\ vec {\ xi}})}$${\ displaystyle \ xi}$

Dacă luați versiunea formulată omogen de ca matrice de intrare, soluția prezentată produce cuaternionul . Datorită așezării , omogenitatea în zone poate fi menținută. ${\ displaystyle D_ {q}}$${\ displaystyle d_ {00}: = \ operatorname {Norm} (q)}$${\ displaystyle q_ {D} = 4q_ {0} q}$${\ displaystyle \ operatorname {det} (D_ {q}) = \ operatorname {Norm} (q) ^ {3}}$${\ displaystyle d_ {ij}}$${\ displaystyle d_ {00}: = {\ sqrt [{3}] {\ operatorname {det} (D)}}}$

Are ca despre dimensiunea 3. Cele nouă componente , prin urmare , nu pot fi toate selectate în mod liber. Deoarece fiecare matrice corespunde unui cuaternion , matricile de rotație acoperă întregul . La este . Deci, dacă într-adevăr , cuaternionul unității este, de asemenea, închis . ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D \ in \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle D_ {q}}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle D_ {q}}$${\ displaystyle T_ {D_ {q}} = 4q_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ in \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle {\ frac {q_ {D}} {2 {\ sqrt {T_ {D}}}}}$${\ displaystyle q_ {D}}$

Considerații pentru stabilitatea numerică a problemei pot fi găsite în ro: Matricea de rotație # Conversii .

Relația cu unghiurile lui Euler

Există diferite convenții pentru unghiurile lui Euler ; următoarea explicație se referă la rotația care se obține atunci când se rotește mai întâi în jurul axei-după unghi , apoi în jurul noii -axe după unghi și în cele din urmă în jurul noii -axe după unghi , adică eu. așa-numita „convenție x” (z, x ', z' ') cu toate unghiurile duble . Rotațiile individuale corespund cuaternarilor unitari${\ displaystyle z}$${\ displaystyle 2 \ Psi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 2 \ Theta}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle 2 \ Phi}$

${\ displaystyle \ cos \ Psi + \ mathrm {k} \, \ sin \ Psi, \ quad \ cos \ Theta + \ mathrm {i} \, \ sin \ Theta, \ quad \ cos \ Phi + \ mathrm {k } \, \ sin \ Phi,}$

și deoarece este rotit în jurul axelor rotite, ordinea compoziției este inversată. Deci rotația totală corespunde

${\ displaystyle \ left (\ cos \ Psi + \ mathrm {k} \, \ sin \ Psi \ right) \ left (\ cos \ Theta + \ mathrm {i} \, \ sin \ Theta \ right) \ left ( \ cos \ Phi + \ mathrm {k} \, \ sin \ Phi \ right)}$

${\ displaystyle {} = \ cos \ Psi \ cos \ Theta \ cos \ Phi - \ sin \ Psi \ cos \ Theta \ sin \ Phi}$

${\ displaystyle {} + \ mathrm {i} \ left (\ cos \ Psi \ sin \ Theta \ cos \ Phi + \ sin \ Psi \ sin \ Theta \ sin \ Phi \ right)}$

${\ displaystyle {} + \ mathrm {j} \ left (- \ cos \ Psi \ sin \ Theta \ sin \ Phi + \ sin \ Psi \ sin \ Theta \ cos \ Phi \ right)}$

${\ displaystyle {} + \ mathrm {k} \ left (\ sin \ Psi \ cos \ Theta \ cos \ Phi + \ cos \ Psi \ cos \ Theta \ sin \ Phi \ right).}$

Formule similare rezultă pentru alte convenții.

Unghiurile Euler pentru un cuaternion dat pot fi citite din matricea de rotație asociată .

Suprapunere universală a grupului rotativ; Grup de rotire

Așa cum se arată în secțiunea cuaternionilor unitari , există un izomorfism mediat de numerele lui Hamilton între grupul cuaternionelor unitare și grupul unitar special . Aceste două grupuri sunt izomorfe pentru grupul de spin (pentru fizică: vezi spin ). ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spin (3)}}$

2: 1 Suprapunerea asigură astfel un morfism al grupării de spin în grupul de rotație . Această suprapunere este bilaterală și universală , deoarece, spre deosebire de simplă, este conectată. Operația naturală de pe înainte este o așa-numită reprezentare spinor . ${\ displaystyle \ mathrm {Spin (3)}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$${\ displaystyle \ mathrm {Spin (3)} \ cong \ mathrm {SU} (2) \ cong \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Așa-numitele matrice Pauli , cunoscute din mecanica cuantică, sunt pur și simplu legate de cei trei generatori de . Acest lucru devine deosebit de clar în reprezentarea ca matrice complexe : ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$

${\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} = - \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ mathrm {k} , \ quad \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \\\ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} & 0 \ end {bmatrix}} = - \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ mathrm {j}, \ quad \ sigma _ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}} = - \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ mathrm {i}}$ ,

unde este unitatea imaginară a numerelor complexe. ${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$

Matricile Pauli au -1 ca determinant (adică nu sunt cuaternioane), sunt urme și hermitiene și, prin urmare, pot fi utilizate ca mărimi măsurabile în mecanica cuantică , ceea ce s-a dovedit a fi important pentru aplicații (a se vedea structura matematică a cuanticului). mecanică ). Detalii sunt date în articolul SU (2) .

Cartografii ortogonale ale spațiului în patru dimensiuni

În mod similar cu cazul tridimensional, orice cartografiere ortogonală care păstrează orientarea în sine în formă ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ rho _ {a, b} \ colon x \ mapsto ax {\ bar {b}}}$

descrie pentru cuaternioane unitare . Se aplică ${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle \ rho _ {a_ {1}, b_ {1}} \ circ \ rho _ {a_ {2}, b_ {2}} = \ rho _ {a_ {1} a_ {2}, b_ {1 } b_ {2}} \ quad {\ text {și}} \ quad \ rho _ {{\ bar {a}}, {\ bar {b}}} = \ rho _ {a, b} ^ {- 1 }.}$

Această construcție oferă o suprapunere

${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) \ times \ mathrm {SU} (2) \ to \ mathrm {SO} (4)}$

cu miez . ${\ displaystyle \ {(1,1), (- 1, -1) \}}$

Subgrupurile finite

2: 1 suprapunere homomorfism

${\ displaystyle \ rho \ colon q \ mapsto \ rho _ {q}}$,

aceea a unei unități quaternion este rotație 3D${\ displaystyle q \ in \ mathbb {S} ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rccc} \ rho _ {q} \ colon & \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H} & \ to & \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H} \ \ & x & \ mapsto & qx {\ bar {q}} \ end {array}}}$

atribuie, trebuie să convertească un grup finit de cuaterniuni într-un grup finit , care este apoi un grup finit de rotație im . Puteți găsi grupuri ciclice și poliedrică grupe , adică grupele diedre ( numărare a n colț), al grupului tetraedrice , gruparea octaedrică și gruparea icosahedral . ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ rho (Q): = \ {\ rho _ {q} \ mid q \ în Q \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I}}$

Generatorii grupurilor ciclice sunt încorporări ale rădăcinilor unității . Arhetipurile , , , sub fi cu ,${\ displaystyle \ exp (2 \ pi \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} / n)}$${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {T}}$${\ displaystyle \ mathrm {O}}$${\ displaystyle \ mathrm {I}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {2T}}$, ${\ displaystyle \ mathrm {2O}}$, ${\ displaystyle \ mathrm {2I}}$denotă și se numesc grupuri diedrice binare etc. Pentru un grup de poliedru este .${\ displaystyle \ mathrm {P}}$${\ displaystyle \ mathrm {2P}: = \ {q \ mid \ rho _ {q} \ in \ mathrm {P} \}}$

Prin urmare, grupurile finite de cuaternioni sunt  : ${\ displaystyle (2 \ leq n \ in \ mathbb {Z})}$

grup	generat de	Ordin	carena convexă în resp.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$
${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {n}}$	${\ displaystyle \ langle e_ {n} \ rangle}$	${\ displaystyle n}$	colț n regulat
${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {n}}$	${\ displaystyle \ langle e_ {2n}, \ mathrm {j} \ rangle}$	${\ displaystyle 4n}$	${\ displaystyle \ {2n \} \ Box \ {2n \}}$, dacă n = 2 în același timp: 16 celule obișnuite
${\ displaystyle \ mathrm {2T}}$	${\ displaystyle \ langle \ mathrm {i}, \ omega \ rangle}$	${\ displaystyle 24}$	regulat cu 24 de celule
${\ displaystyle \ mathrm {2O}}$	${\ displaystyle \ langle q_ {O}, \ omega \ rangle}$	${\ displaystyle 48}$	${\ displaystyle {\ text {f}} _ {1,2} {\ text {F}} _ {4}}$= Dihektaoctokontaoktochor (288-Zeller)
${\ displaystyle \ mathrm {2I}}$	${\ displaystyle \ langle q_ {I}, \ omega \ rangle}$	${\ displaystyle 120}$	celulă obișnuită de 600

Cu

${\ displaystyle e_ {n}: = \ exp (2 \ pi \ mathrm {i} / n)}$ ,    ,    ,    .${\ displaystyle \ omega: = {\ frac {-1+ \ mathrm {i} + \ mathrm {j} + \ mathrm {k}} {2}}}$${\ displaystyle q_ {O}: = {\ frac {\ mathrm {j} + \ mathrm {k}} {\ sqrt {2}}}}$${\ displaystyle q_ {I}: = {\ frac {2 \ mathrm {i} + ({\ sqrt {5}} + 1) \ mathrm {j} + ({\ sqrt {5}} - 1) \ mathrm {k}} {4}}}$

Grupurile ciclice sunt în mod evident subseturi ale altor grupuri. Grupul cuaternion = este un subgrup al grupului tetraedric binar . Grupul automorphism de izomorf la gruparea octaedru ( grup simetric ). Elementele sale sunt , de asemenea , de automorfisme , , și . ${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8}}$${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathrm {2T}}$${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8}}$${\ displaystyle \ mathrm {O} = \ mathrm {Sym} _ {4}}$${\ displaystyle \ mathrm {2T}}$${\ displaystyle \ mathrm {2O}}$${\ displaystyle \ mathrm {2I}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Corpurile convexe sunt 4-politopi (cu excepția cazurilor în care se poate gestiona cu 2 dimensiuni) și, întrucât toate elementele grupului sunt de lungime 1, au unitatea-3-sferă ca Um-3-sferă . Marginile acestor 4-politopi, adică celulele, sunt colecții de tetraedre - cu excepția cazului în care există octaedre . În cazul regulilor sub corpurile convexe este clar că celulele sunt, de asemenea, regulate și congruente între ele și că există o sferă in-3 care atinge toate celulele (în centrul lor). Celelalte, și anume și , se întind pe așa-numitele 4-politopi perfecți. Aici celulele sunt disfenoide tetragonale , care sunt, de asemenea, toate congruente unele cu altele și sunt atinse de sfera in-3 din centrul lor. ${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {2T}}$${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {2O}}$

Automorfisme

Fiecare inel automorphism a este una interioară , i. H. există un cuaternar astfel încât . Urmează: ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ sigma \ colon x \ mapsto qxq ^ {- 1}}$

• La Centrul de Rămășițele fix, adică H. pentru toată lumea .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sigma (\ lambda) = \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$
• Se poate limita la cuaternionii unitari .${\ displaystyle q \ in \ mathbb {S} ^ {3}}$
• Un automorfism nu schimbă produsul scalar ; H. .${\ displaystyle \ sigma (x) \ cdot \ sigma (y) = x \ cdot y}$
• Automorfismele sunt exact rotațiile unghiulare și echidistante din secțiunea Rotații în spațiul tridimensional .${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, \ mathbb {H}}$
• Datorită consistenței lungimii, automorfismele sunt continue , deci și topologice .
• ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$are centrul . De aici și grupul de automorfism .${\ displaystyle \ {\ pm 1 \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {H}) \ cong \ mathbb {S} ^ {3} / \ {\ pm 1 \}}$

Conjugarea ca o reflexie pe axa reală este anti homomorphic în multiplicarea, i. H. , și este numit un anti-automorfism involutiv, deoarece este, de asemenea, o involuție . ${\ displaystyle {\ overline {xy}} = {\ bar {y}} {\ bar {x}}}$

Alte construcții

Reprezentări matriciale

Matrici complexe

În inelul de complex 2 × 2 matrici una forme care ale elementelor ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}}$

${\ displaystyle 1_ {H}: = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathrm {i} _ {H}: = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} și 0 \\ 0 & - \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathrm {j} _ {H} : = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathrm {k} _ {H}: = {\ begin {bmatrix} 0 & \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \\\ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} și 0 \ end {bmatrix}}}$

subring generat , prin care unitatea imaginară a numerelor complexe este identificată ca. O matrice ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle x_ {0} \, 1_ {H} + x_ {1} \, \ mathrm {i} _ {H} + x_ {2} \, \ mathrm {j} _ {H} + x_ {3} \, \ mathrm {k} _ {H} = {\ begin {bmatrix} x_ {0} + x_ {1} \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ quad & x_ {2} + x_ {3} \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \\ - x_ {2} + x_ {3} \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ quad & x_ {0} -x_ {1} \, \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \ end {bmatrix}} \; = \; {\ begin {bmatrix} w & z \\ - {\ overline { z}} și {\ overline {w}} \ end {bmatrix}}}$

cu real și complex are determinantul care este doar 0 dacă . Astfel, toate matricile diferite de matricea zero pot fi inversate - iar inelul este înclinat .${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ displaystyle w: = x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}, z: = x_ {2} + x_ {3} \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = | w | ^ {2} + | z | ^ {2}}$${\ displaystyle (w, z) = (0,0)}$${\ displaystyle H}$

Corpul oblic construit în acest mod se dovedește a fi izomorf pentru cuaternioni. Pentru că figura cu sarcinile ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ to H}$

${\ displaystyle 1 \ mapsto 1_ {H}, \ quad \ mathrm {i} \ mapsto \ mathrm {i} _ {H}, \ quad \ mathrm {j} \ mapsto \ mathrm {j} _ {H}, \ quad \ mathrm {k} \ mapsto \ mathrm {k} _ {H}}$

este omomorf în combinațiile de adunare și multiplicare, aceasta din urmă fiind atribuită multiplicării matricei . Cuaternionul conjugat merge la matricea adiacentă și norma la determinant . În plus, maparea este injectivă și continuă, adică topologică .

Există mai multe opțiuni pentru încorporare , toate fiind conjugate între ele și sunt homeomorfe .${\ displaystyle \ mathbb {H} \ to H}$

Matrici reale

Cuaternionul poate fi folosit în mod analog ca o matrice reală 4 × 4 ${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {array} {rrrr} x_ {0} & x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ - x_ {1} & x_ {0} & - x_ {3} & x_ {2} \\ - x_ {2} & x_ {3} & x_ {0} & - x_ {1} \\ - x_ {3} & - x_ {2} & x_ {1 } & x_ {0} \ end {array}} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle = x_ {0} \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ end {smallmatrix}} \ right] + x_ {1} \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ end {smallmatrix}} \ right] + x_ {2} \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {array}} \ end {smallmatrix}} \ right] + x_ {3} \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ end {smallmatrix}} \ right]}$

scrie. Conjugarea cuaternionului corespunde transpunerii matricei și cantității celei de-a patra rădăcini a determinantului.

Modelul matricelor reale este avantajos, de exemplu, dacă aveți software pentru algebră liniară cu puncte slabe în numere complexe.

Algebra cotientă

Un elegant, dar în același timp , de construcție abstractă este reprezentată de calea prin raportul dintre inelului polinomiale necomutativă în trei nedeterminate , ale căror imagini sunt modulo idealul care este generat de regulile Hamilton. Alternativ, puteți trece cu doar două nedeterminate. ${\ displaystyle \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$

În acest fel, algebra cuaternară rezultă ca algebră Clifford a planului bidimensional, euclidian cu generatoare . În legătură cu rotațiile tridimensionale, interpretarea ca parte dreaptă a algebrei lui Clifford a spațiului tridimensional, euclidian este de asemenea importantă. Producătorii sunt apoi identificați cu . ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ mapsto e_ {1}, \, \ mathrm {j} \ mapsto e_ {2}, \, \ mathrm {k} = \ mathrm {ij} \ mapsto e_ {1} e_ { 2}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} \ mapsto e_ {2} e_ {3}, \, \ mathrm {j} \ mapsto e_ {3} e_ {1}, \, \ mathrm {k} \ mapsto e_ {1} e_ {2}}$

Cuaternionii ca algebră

Există până la izomorfism exact patru finite - algebră a căror multiplicare fără zero divizoare , și anume corpul numerelor reale în sine, corpul numerelor complexe, inelul de diviziune al cuaternionilor și corpul alternativ al octavelelor Cayley .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {O}}$

Centrul de este ; de cuaternionii sunt astfel un simplu central algebră peste . Norma redusă și urmărirea sunt terminate ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Nrd} (x) = | x | ^ {2} = x {\ bar {x}} = {\ bar {x}} x = \ langle x, x \ rangle}$      sau.      ${\ displaystyle \ mathrm {Trd} (x) = 2 \ cdot \ operatorname {Re} \, x}$

dat.

La schimbarea bazei de la închidere algebrică , cuaternionii devin o algebră matricială: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ cong M_ {2} (\ mathbb {C}).}$

Conjugarea complexă asupra factorului de produsului tensorial corespunde unei involuție algebra matrice. Invarianții din , d. vezi elementele lăsate de fix cu , formează o algebră prea izomorfă. Involuția se potrivește cu reprezentarea matricială a cuaternionilor ca matrici complexe date mai sus${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle v (x) = x}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle v (x): = \ epsilon {\ bar {x}} \ epsilon ^ {- 1}}$   cu    .${\ displaystyle \ epsilon: = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Faptul că grupul de fabricare a berii este format doar din două elemente se reflectă și în faptul că ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H} \ cong M_ {4} (\ mathbb {R})}$

este.

În general, fiecare algebră centrală simplă cu patru dimensiuni peste un câmp se numește algebră de cuaternion .

Cuaternionii sunt algebra Clifford pentru spațiu cu o formă biliniară simetrică negativ-definită . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Alte corpuri de bază

Cuaternioane peste numerele raționale

În toate tipurile de construcții de mai sus , completitudinea setului de coeficienți nu contează. Prin urmare (în loc de numerele reale prin intermediul către ) se pot utiliza și alte câmpuri de bază, de ex. B. numerele raționale , încep să folosească numerele gaussiene pentru cuaternionii cu coeficienți raționali${\ displaystyle \ mathbb {R} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (\ mathrm {i}) \,}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ mathrm {i}) \,}$

${\ displaystyle G: = \ {x_ {0} + x_ {1} \ mathrm {i} + x_ {2} \ mathrm {j} + x_ {3} \ mathrm {k} \; \ mid \; x_ { 0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ in \ mathbb {Q} \} \,}$

a ajunge - cu aceleași reguli de calcul în mod formal . Apoi, dacă la toate este necesar, completarea pentru suma Metrica poate fi efectuată cu un rezultat final izomorfe . ${\ displaystyle \ mathbb {H} \,}$

În acest sens, prin , prin și prin intermediul poate fi substituit pentru multe afirmații . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ mathrm {i}) \,}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \,}$${\ displaystyle G \,}$

Așa cum , după setul de Wedderburn nici finit inel diviziune cu non - comutativă multiplicare este și dimensiunea a spațiului vectorial peste său prim câmp și centru cu minim auzit ca numărabil se ridică la cel mai „mic“ câmpurile skew cu multiplicare non-comutativă - cu siguranță nu conține unul mai mic. ${\ displaystyle G \,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \,}$${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4 \,}$${\ displaystyle G \,}$${\ displaystyle G \,}$

Corpul oblic are un așa-numit inel de integritate , adică H. un subset de numere, numite cuaternionuri Hurwitz , care formează un inel și au un câmp coeficient - foarte similar cu modul în care se comportă cu numerele întregi și câmpul coeficientului lor . Într-un astfel de inel se pot răspunde la întrebări de aproximare , întrebări de divizibilitate și altele asemenea. examina. ${\ displaystyle G \,}$${\ displaystyle G \,}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \,}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \,}$

Alte corpuri de bază

Corpurile sunt, de asemenea, potrivite ca punct de plecare pentru formarea corpurilor de expansiune necomutative în maniera cuaternionilor. Este important ca suma a 4 pătrate să dispară numai pentru. Atunci nu există niciuna cu nici una și este o extensie pătratică reală care definește o conjugare. Aceste condiții sunt de ex. B. este îndeplinită pentru toate câmpurile formal reale . ${\ displaystyle K \ ncong \ mathbb {Q} \,}$${\ displaystyle K \,}$${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} \,$${\ displaystyle x_ {0} = x_ {1} = x_ {2} = x_ {3} = 0 \,}$${\ displaystyle \ mathrm {i} \ în K \,}$${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} + 1 = 0 \,}$${\ displaystyle K (\ mathrm {i}) \,}$

Dar , chiar și cu organisme care nu pot fi aranjate , condiția de mai sus cu privire la suma de 4 pătrate pot fi îndeplinite, de exemplu , în corpul de numere 2-adice . Câmpul de cuaternion format în acest mod este izomorf până la completarea câmpului (descris mai sus) al cuaternionilor cu coeficienți raționali pentru următoarea evaluare (non-arhimediană discretă)  , exponentul 2 al normei, ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rccccc} v \ colon & G ^ {*} & \ xrightarrow {\ operatorname {Norm}} & \ mathbb {Q} ^ {*} & \ xrightarrow {v_ {2}} & \ mathbb {Z} \\ & x & \ mapsto & x {\ bar {x}} & \ mapsto & v_ {2} (x {\ bar {x}}) \ end {array}}}$

cu  . Numărul prim este singurul pentru care algebra de cuaternion are zero divizori și este un câmp înclinat. ${\ displaystyle \ operatorname {Norm} (x) = x {\ bar {x}} = 2 ^ {n} m, n \ in \ mathbb {Z}, m \ in \ mathbb {Q} ^ {*}, 2 \ nmid m, 2 \ nmid m ^ {- 1}}$${\ displaystyle p = 2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

Aplicații

Teorema celor patru pătrate a lui Euler

Identitatea, care este produsul a două sume de patru pătrate

${\ displaystyle (x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}) (y_ {0} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2})}$

	${\ displaystyle = (x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}) ^ {2}}$
	${\ displaystyle + \; (x_ {0} y_ {1} + x_ {1} y_ {0} + x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) ^ {2}}$
	${\ displaystyle + \; (x_ {0} y_ {2} -x_ {1} y_ {3} + x_ {2} y_ {0} + x_ {3} y_ {1}) ^ {2}}$
	${\ displaystyle + \; (x_ {0} y_ {3} + x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} + x_ {3} y_ {0}) ^ {2}}$

face din nou o sumă de patru pătrate , se aplică universal - inclusiv toate variantele care apar prin jocul semnelor și permutării - în fiecare inel polinomial peste un inel unitar comutativ și poate fi privit retrospectiv ca un „produs rezidual” al multiplicității cantitatea cuaternionică . Descoperirea sa în 1748, cu mult înainte de Epoca Quaternionului, se întoarce la Leonhard Euler , care, cu ajutorul său, a reușit să simplifice semnificativ dovada 1770 a lui Joseph-Louis Lagrange pentru teorema celor patru pătrate suspectate de mult timp . ${\ displaystyle R [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}]}$${\ displaystyle R}$

Informatică și inginerie

Reprezentarea rotațiilor cu ajutorul cuaternionilor este utilizată în zilele noastre în domeniul graficii interactive pe computer , în special în jocurile pe computer , precum și în controlul și reglarea sateliților. Când se utilizează cuaternionii în loc de matrici rotative , sunt necesare puține operațiuni aritmetice. În special, când multe rotații sunt combinate (înmulțite) între ele, viteza de procesare crește. În plus, pe lângă unghiurile Euler , cuaternionii sunt utilizați pentru a programa roboți industriali (de exemplu, ABB).

fizică

Folosind cuaternionii, în multe cazuri se poate renunța la ecuații separate pentru calcularea timpului și a spațiului. Acest lucru oferă avantaje în fizică, inclusiv în domeniile mecanicii , ecuațiilor de undă , relativității speciale și gravitației , electromagnetismului și mecanicii cuantice .

Ca și în secțiunea privind analiza vectorială , vectorii din spațiul tridimensional sunt identificați cu cuaternionii puri.

Electromagnetismul

Cele ecuațiile lui Maxwell pentru descrierea electromagnetism sunt cea mai bună aplicație cunoscută pentru quaternions. Ecuațiile lui Maxwell sunt definite de un grup de comutatoarelor și anti- comutatoarelor ale operatorului diferență , câmpului electric  E și câmpul magnetic  B într - un vid . În esență, acestea sunt ecuația Maxwell omogenă și legea Gaussiană .

Comutatoarele sau anti-comutatoarele modificate sunt utilizate mai jos :

${\ displaystyle \ operatorname {Odd} \ left \ langle x; y \ right \ rangle \ ;: = \; {\ frac {x \, yy \, x} {2}} \; = \; (0, \ , {\ vec {x}} \ times {\ vec {y}})}$

sau.

${\ displaystyle \ operatorname {straight line} \ left \ langle x; y \ right \ rangle \ ;: = \; {\ frac {x \, y + y \, x} {2}} \; = \; ( x_ {0} y_ {0} - {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}, \, x_ {0} {\ vec {y}} + {\ vec {x}} y_ {0 })}$

și

${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {straight line} \ left \ langle x; y \ right \ rangle}} \; = \; x_ {0} {\ vec {y}} + {\ vec {x}} y_ {0}}$

cu cuaternioane (formale) și diverse produse formale. ${\ displaystyle x, y}$

Ecuația omogenă Maxwell este definită de:

${\ displaystyle \ operatorname {Straight} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (0, {\ vec { B}} \ right) \ right \ rangle + \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ stânga (0, {\ vec {E}} \ dreapta) \ dreapta \ rangle}$

${\ displaystyle = \ left (- {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ right) = \ left (0, {\ vec {0}} \ right)}$ .

Aceasta înseamnă că nu există monopoluri magnetice . este legea inducției lui Faraday . ${\ displaystyle - {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} = {\ vec {0} }}$

Legea Gaussiană este definită invers, după cum urmează:

${\ displaystyle \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (0, {\ vec { B}} \ right) \ right \ rangle - \ operatorname {straight line} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (0, {\ vec {E}} \ right) \ right \ rangle}$

${\ displaystyle = \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} - {\ frac {\ partial { \ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) = 4 \, \ pi \, \ left (\ rho, {\ vec {J}} \ right)}$ .

Acest lucru are ca rezultat legea Gaussiană și legea Ampère corectate de Maxwell . ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} - {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}}}$

Potențial cvadruplu electromagnetic

Câmpurile electrice și magnetice sunt adesea exprimate ca un potențial cvadruplu electromagnetic (adică un vector cu 4 valori). Acest vector poate fi, de asemenea, reformulat ca un cuaternion.

${\ displaystyle E = {\ overrightarrow {\ operatorname {straight} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, - {\ vec {A}} \ right) \ right \ rangle}} = \ left (0, - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - { \ vec {\ nabla}} \ phi \ right)}$

${\ displaystyle B = \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, - {\ vec {A}} \ right) \ right \ rangle = \ left (0, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}} \ right)}$

Câmpul electric  E este anti-comutatorul patru-potențialului conjugat, diferențiat. Câmpul magnetic  B utilizează comutatorul. Această formă de reprezentare poate fi utilizată direct în ecuațiile Maxwell:

${\ displaystyle \ operatorname {Even} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, - {\ vec {A}} \ right) \ right \ rangle \ right \ rangle}$

${\ displaystyle + \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); {\ overrightarrow {\ operatorname {Even } \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, - {\ vec {A}} \ dreapta) \ right \ rangle}} \ right \ rangle}$

${\ displaystyle = \ left (- {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}, {\ frac {\ partial \, {\ vec {\ nabla }} {\ vec {A}}} {\ partial t}} - {\ vec {\ nabla}} \ times {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {\ nabla}} \, \ phi \ right)}$

${\ displaystyle = \ left (- {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ right) = \ left (0, {\ vec {0}} \ right)}$

la fel de

${\ displaystyle \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, {\ vec {A}} \ right) \ right \ rangle \ right \ rangle}$

${\ displaystyle - \ operatorname {straight line} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ right); {\ overrightarrow {\ operatorname { linie dreaptă} \ left \ langle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right); \ left (\ phi, - {\ vec {A} } \ right) \ right \ rangle}} \ right \ rangle}$

${\ displaystyle = \ left (- {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \, \ phi - {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ nabla}} \ phi} {\ partial t}} \ right)}$

${\ displaystyle = \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} + {\ frac {\ partial { \ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) = 4 \, \ pi \, \ left (\ rho, {\ vec {J}} \ right)}$ .

Iată expresiile și cele două câmpuri sursă care se formează prin diferența dintre doi comutatori și doi anti-comutatori. ${\ displaystyle - {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}}}$

Legea inducției și legea fluxului de flux sunt formate din suma celor doi comutatori și anti-comutatori cuibăriți. ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} = 0}$${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} + {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} = 4 \, \ pi \ , {\ vec {J}}}$

Forța Lorentz

Forța Lorentz este derivată în mod similar din ecuațiile lui Maxwell. Cu toate acestea, semnele trebuie corectate.

${\ displaystyle \ operatorname {Odd} \ left \ langle \ left (\ gamma, \ gamma \, {\ vec {\ beta}} \ right); \ left (0, {\ vec {B}} \ right) \ right \ rangle - \ operatorname {straight line} \ left \ langle \ left (- \ gamma, \ gamma {\ vec {\ beta}} \ right); \ left (0, {\ vec {E}} \ right) \ right \ rangle}$

${\ displaystyle = \ left (\ gamma \, {\ vec {\ beta}} \ cdot {\ vec {E}}, \ gamma \, {\ vec {E}} + \ gamma \, {\ vec {\ beta}} \ times {\ vec {B}} \ right)}$

Legea conservării

Legea de conservare a sarcinii electrice este format prin aplicarea operatorului diferența de conjugat la sursele de ecuația lui Maxwell. Cu aceasta este partea reală sau scalară a cuaternionului menționat. În exemple este un produs cuaternar. ${\ displaystyle \ operatorname {scalar} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ operatorname {Skalar} \ left (\ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right) \ left ({\ vec {\ nabla} } \ cdot {\ vec {E}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} - {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ corect corect)}$	${\ displaystyle {=}}$	${\ displaystyle \ operatorname {Skalar} \ left (\ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ right) \, 4 \, \ pi \ left ( \ rho, {\ vec {J}} \ right) \ right)}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} - {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}}}$	${\ displaystyle {=}}$	${\ displaystyle 4 \, \ pi \, \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {J}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \ right)}$

Această ecuație arată că produsul scalar al câmpului electric plus produsul transversal al câmpului magnetic pe de o parte și densitatea de curent plus frecvența densității de încărcare pe de altă parte sunt aceleași. Aceasta înseamnă că sarcina este reținută în timpul procesului de formare. ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$

Legea conservării energiei a lui Poynting este derivată în același mod, cu diferența că câmpul electric conjugat este utilizat în locul diferențialului . ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {scalar} \ left (\ left (0, - {\ vec {E}} \ right) \ left ({\ vec {\ nabla}} \, {\ vec {E}}, {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} - {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) \ right)}$	${\ displaystyle {=}}$	${\ displaystyle \ operatorname {scalar} \ left (\ left (0, - {\ vec {E}} \ right) \, 4 \, \ pi \, \ left (\ rho, {\ vec {J}} \ corect corect)}$
${\ displaystyle {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} - {\ vec {E}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {E }}} {\ partial t}}}$	${\ displaystyle {=}}$	${\ displaystyle 4 \, \ pi {\ vec {E}} \, {\ vec {J}}}$

Cu identitățile vectoriale

${\ displaystyle {\ vec {E}} \ cdot \ left ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} \ right) = {\ vec {B}} \ cdot \ left ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} \ right) + {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ vec {B}} \ times {\ vec {E}} \ right )}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}$

${\ displaystyle {\ vec {E}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} = {\ frac {{\ left ({\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ right)} ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} = {\ frac {{\ left ({\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ right)} ^ {2}} {2}}}$

puteți urma această ecuație

${\ displaystyle - \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ vec {E}} \ times {\ vec {B}} \ right) + {\ frac {{\ left (\ partial {\ vec {E}} + \ partial {\ vec {B}} \ right)} ^ {2}} {2 \, \ partial t ^ {2}}} \ right) = 4 \ pi {\ vec { E}} \ cdot {\ vec {J}}}$

transformă ceea ce corespunde ecuației Poynting . Expresia de aici corespunde vectorului Poynting . ${\ displaystyle {\ vec {E}} \ times {\ vec {B}}}$

istorie

William Rowan Hamilton specificase construcția numerelor complexe ca perechi de numere în 1835 . Motivat de aceasta, el a căutat mult timp o structură corespunzătoare în spațiul triplelor numerelor; astăzi știm că nu există o astfel de structură. În 1843, el a ajuns în cele din urmă la conștientizarea faptului că este posibil să se construiască o multiplicare pe setul de 4- tule dacă cineva este dispus să renunțe la comutativitate . Într-o scrisoare către fiul său, îi dă data 16 octombrie 1843 și raportează că s-a lăsat spontan să fie dus pentru a zgâria regulile înmulțirii într-o piatră de pe podul Brougham (acum Broombridge Road) din Dublin ; mai târziu, acolo a fost plasată o placă memorială. Regulile de calcul pentru cuaterniuni erau deja cunoscute într-o oarecare măsură mai devreme, formula teoremei celor patru pătrate se găsește deja în Leonhard Euler (1748). Alte reguli de multiplicare, de asemenea mai generale, au fost cercetate de Hermann Graßmann (1855). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

La scurt timp după descoperirea cuaternionilor, Hamilton a găsit reprezentarea rotațiilor spațiului cu ajutorul cuaternionilor și astfel o primă confirmare a semnificației noii structuri; Arthur Cayley a descoperit afirmațiile corespunzătoare despre cartografierea ortogonală a spațiului în patru dimensiuni în 1855. Euler era deja familiarizat cu parametrizarea simplă a matricelor rotative. În 1858, lucrarea lui Cayley în care a introdus matrici a indicat și posibilitatea reprezentării cuaternionilor folosind matrici complexe . ${\ displaystyle 3 \ times 3}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

De atunci, Hamilton s-a dedicat exclusiv studiului cuaternarilor; au devenit subiect de examen separat la Dublin. În urmașul său, în 1895 a fost fondată o „Federație mondială pentru promovarea cuaternarilor”. Matematicianul german Felix Klein scrie retrospectiv despre această euforie inițială:

subiecte asemănătoare

Construcții similare cuaternionilor sunt uneori rezumate sub denumirea de „ numere hipercomplexe ”. De exemplu, numerele sau octavelele Cayley sunt un analog opt-dimensional al cuaternionilor; cu toate acestea, multiplicarea lor nu este nici comutativă, nici asociativă.

Vezi si

• Număr hipercomplex
• Grup unitar special
• Manifold cuaternionic Kahler

literatură

• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer : Algebra . Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5 , doi: 10.1007 / 3-540-29287-X
• Serge Lang : Algebră . Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X
• Max Koecher , Reinhold Remmert : Quaternions hamiltonieni . În: H.-D. Ebbinghaus și colab.: Numere . Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X
• John H. Conway , Derek A. Smith: Despre Quaternions și Octonions . AK Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (engleză)
• Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences . Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (engleză)
• W. Bolton: numere complexe (matematică pentru ingineri) . Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (engleză)
• Andrew J. Hanson: Vizualizarea cuaternionilor . Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (engleză)
• Lev Semjonowitsch Pontryagin : Generalizări ale numerelor . Editura Harri Deutsch, 1995
• S. Eilenberg, I. Niven: „Teorema fundamentală a algebrei” pentru cuaterniuni . În: Bull.Amer. Soc. , 50, 1944, pp. 246-248.
• Hölder: Comentariu la Teoria Quaternionului ( Wikisource )

Link-uri web

• Făcând fizică cu cuaternari (PDF; 563 kB)
• Tsit Yuen Lam ( Berkeley ): Hamilton's Quaternions ( PostScript , engleză). Adus la 30 august 2009.
• Quaternions în animație pe computer
• Locul descoperirii cuaternarilor (cu imagini)
• Eric W. Weisstein : Quaternion . În: MathWorld (engleză).
• Ce sunt cuaternionii și cum îi vizualizați? O poveste cu patru dimensiuni. pe YouTube

Referințe și comentarii individuale

1. ↑ Albrecht Beutelspacher : Lineare Algebra . Ediția a VII-a. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1 , p. 30 . 
2. ↑ Gauss are o notă despre multiplicarea și conjugarea cvadruplurilor din capitolul Mutația spațiului . În: Carl Friedrich Gauß : Lucrări . Volumul al optulea. Rege. Tovarăș Wissen., Göttingen 1900, pp. 357-361, care este datată în anul 1819. Diferențele față de Hamilton nu depășesc convențiile notaționale. (Citat din Lam p. 25).
3. ↑ Lam p. 1
4. ↑ Karsten Kunze, Helmut Schaeben: Distribuția Bingham a cuaternionilor și transformarea sa sferică de radon în analiza texturilor . În: Geologie matematică . 8, noiembrie 2004, pp. 917-943. doi : 10.1023 / B: MATG.0000048799.56445.59 .
5. ↑ Nu trebuie confundat cu produsul scalar .
6. ↑ care nu poate fi redus automat la unul din cauza lipsei de comutativitate în multiplicare.
7. ↑ NB: este utilizat și ca vector de coloană, dacă este necesar.${\ displaystyle {\ vec {x}}}$
8. ↑ Factorii reali navighează cu și, prin urmare, cu toți cuaternionii, i. H. se aplică, de exemplu ${\ displaystyle \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$

   ${\ displaystyle 2 \ mathrm {i} \ mathrm {j} = \ mathrm {i} 2 \ mathrm {j} = \ mathrm {i} \ mathrm {j} 2 = 2 \ mathrm {k},}$

   dar

   ${\ displaystyle 2 \ mathrm {j} \ mathrm {i} = \ mathrm {j} 2 \ mathrm {i} = \ mathrm {j} \ mathrm {i} 2 = -2 \ mathrm {k}.}$

   Nu toate regulile de calcul cunoscute din algebra elementară se aplică cuaternionilor, de ex. B. se aplică

   ${\ displaystyle (\ mathrm {i} + \ mathrm {j}) (\ mathrm {i} - \ mathrm {j}) = \ mathrm {i} \ mathrm {i} - \ mathrm {i} \ mathrm {j } + \ mathrm {j} \ mathrm {i} - \ mathrm {j} \ mathrm {j} = (- 1) - \ mathrm {k} + (- \ mathrm {k}) - (- 1) = - 2 \ mathrm {k}.}$

   Cele binomiali formule sau , prin urmare , sunt nu se aplică în acest caz. Ei presupun că este adevărat.${\ displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}}$${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$${\ displaystyle ab = ba}$
9. ↑ În complex se aplică totuși

   ${\ displaystyle \ operatorname {Im} \, z = {\ frac {1} {2 \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}} (z - {\ bar {z}})}$

   cu separarea unității imaginare de componenta pur imaginară, astfel încât partea imaginară să fie un număr real . Și se aplică următoarele: ${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$

   ${\ displaystyle z = \ operatorname {Re} \, z + \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \; \ operatorname {Im} \, z.}$

10. ↑ și deci și suma și subsetul numerelor reale. Acest lucru nu se aplică numerelor complexe (vezi și Numărul complex # Teoria corpului și geometria algebrică ).
11. ↑ Cu toate acestea, mulți autori echivalează norma cu suma.
12. ↑ Numărul infinit de zerouri în cele polinomiale contrastează cu lipsa unui zero în polinomului de gradul 1. Acesta din urmă are 2 monomii de gradul 1, cel mai înalt grad al monomiilor săi. În inele non-comutative, gradul de monomul este de a fi definită, și un monom dominat un polinom în cazul în care are cel mai înalt nivel dintre toate monoamele. Atunci gradul polinomului este, de asemenea, egal cu gradul monomiilor dominanți. Dacă un polinom are un singur monomiu dominant de grad> 0, atunci are întotdeauna un zero în . ( Eilenberg-Niven ).${\ displaystyle X ^ {2} +1}$${\ displaystyle \ mathrm {i} XX \ mathrm {i} +1}$${\ displaystyle a_ {0} Xa_ {1} \ dots a_ {n-1} Xa_ {n}}$${\ displaystyle a_ {i} \ neq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$
13. ^ ^{A b c} John H. Conway , Derek A. Smith: Despre Quaternions and Octonions . AK Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (engleză).
14. ↑ Un automorfism definește o astfel de încastrare (prin restricție ), care este doar o încorporare de - algebre . nu este vorba de algebră .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$
15. ↑ Tsit Yuen Lam ( Berkeley ): Hamilton's Quaternions ( PostScript , engleză). Accesat la data de 30 august 2009, pagina 22. Unghiul polar este analogul argumentul complex , dar valoarea sa principală include semnul părții imaginare, care nu se poate face cu cuaternionii, astfel încât este să nu o simplă restricție a unghiul polar.${\ displaystyle \ operatorname {arg} (z)}$${\ displaystyle \ operatorname {arg}}$
16. ↑ ^{a b} Pentru și este ${\ displaystyle x ^ {\ prime}: = \ mathrm {i} \ pi}$${\ displaystyle y ^ {\ prime}: = \ mathrm {j} \ pi}$

    ${\ displaystyle \ exp x ^ {\ prime} \ exp y ^ {\ prime} = \ exp (\ mathrm {i} \ pi) \ exp (\ mathrm {j} \ pi) = (- 1) (- 1 ) = 1}$

    ${\ displaystyle \ neq \ exp (x ^ {\ prime} + y ^ {\ prime}) = \ exp ((\ mathrm {i} + \ mathrm {j}) \ pi) = \ cos (\ pi {\ sqrt {2}}) + {\ frac {\ mathrm {i} + \ mathrm {j}} {\ sqrt {2}}} \ sin (\ pi {\ sqrt {2}})}$.

17. ↑ Potrivit lui Tsit Yuen Lam ( Berkeley ): Hamilton's Quaternions ( PostScript , engleză). Adus la 30 august 2009, pagina 22, eșecul acestei ecuații funcționale ar fi putut fi cel mai mare obstacol în calea teoriei funcției cuaternionice .
18. ↑ Lce.hut.fi (PDF; 68 kB)
19. ↑ Considerațiile se aplică deja dacă domeniul definiției este o zonă .${\ displaystyle g}$
20. ↑ ^{a b} en: variabila Quaternion (engleză).
21. ↑ Acesta din urmă nu este suficient, deoarece funcția nu poate fi încorporată în ciuda faptului că. Dacă totuși, ecuațiile diferențiale Cauchy-Riemann sunt îndeplinite pentru astfel de funcții, atunci rectitudinea (în fiecare caz în a doua variabilă) rezultă din ciudățenia și, astfel, încorporarea în cuaternionuri. Spre deosebire de , funcția poate fi încorporată cu continuarea${\ displaystyle g (z): = \ operatorname {Im} z}$${\ displaystyle g \! \ mid _ {\ mathbb {R}} \, = 0 \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle u (\ xi, \ eta) \ equiv \ eta \ not \ equiv - \ eta \ equiv u (\ xi, - \ eta)}$
    ${\ displaystyle v (\ xi, \ eta)}$${\ displaystyle u (\ xi, \ eta)}$
    ${\ displaystyle g (z) = \ operatorname {Im} z}$${\ displaystyle h (z): = \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \, \ operatorname {Im} z}$${\ displaystyle {\ tilde {h}} \ colon \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H}; q \ mapsto \ operatorname {Im} q.}$
22. ↑ Un alt exemplu nu încorporabil este în cazul în care nu ciudat în . Încorporarea utilizând izomorfismul de încorporare are ca rezultat funcția (constantă) , dar cu alte încorporări, de ex. B. nu se potrivește cu rezultatul (de asemenea constant) .${\ displaystyle g (z): = \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle v (\ xi, \ eta) = 1}$ ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ iota _ {{\ mathrm {i}} _ {\ mathbb {H}}}}$${\ displaystyle g _ {{\ mathrm {i}} _ {\ mathbb {H}}} = \ mathrm {i} _ {\ mathbb {H}}}$${\ displaystyle \ iota _ {{\ mathrm {j}} _ {\ mathbb {H}}}}$${\ displaystyle g _ {{\ mathrm {j}} _ {\ mathbb {H}}} = \ mathrm {j} _ {\ mathbb {H}} \ neq \ mathrm {i} _ {\ mathbb {H} },}$
23. ↑ Analiza cuaternionului, funcțiile unei variabile de cuaternion .
24. ↑ R. Fueter : Despre reprezentarea analitică a funcțiilor regulate ale unei variabile de cuaternion . În: com. Matematică Helv . 8, 1936, pp. 371-378.
25. ↑ CA Deavours: Calculul cuaternarului . În: Amer. Matematică. Lunar . 80, 1973, pp. 995-1008. (Engleză)
26. ↑ A. Sudbery: analiza cuaternionică . În: Math. Proc. Camb. Phil. Soc. . 85, 1979, pp. 199-225. doi : 10.1017 / S0305004100055638 . (Engleză)
27. ↑ pentru a vedea grupul ortogonal # Rotația spațială .${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}$
28. ↑ Pentru complexitate, ambiguitate și fenomenul „ blocării cardanului ”, vezi ro: Matricea de rotație # Unghiurile lui Euler .
29. ↑ După cum sa menționat în secțiunea de referință și în secțiunea #automorfisme , există multe încorporări diferite ale acestor subgrupuri finite în fiecare trepied fix .${\ displaystyle \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$
30. ↑ Aceste grupuri funcționează - în special în literatura engleză - ca o extensie binară a grupului de poliedru și grupurile diedrice binare în plus ca grupuri de cuaternion generalizate , de asemenea ca grupuri diciclice , în simboluri .${\ displaystyle \ mathrm {2P}}$${\ displaystyle \ mathrm {P}}$${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {Dic} _ {n}}$
31. ↑ ^{a b c} Gabor Gévay: On Perfect 4-Polytopes (PDF; 211 kB) Contribuții la Algebră și Geometrie Volumul 43 (2002), Nr. 1, 243-259: este la pagina 256, 4-politopi " " pentru tabelul 252 și la pagina 2, 4-politop " " pentru .${\ displaystyle \ {2p \} \ Box \ {2p \}}$${\ displaystyle \ mathrm {2D} _ {p}}$${\ displaystyle {\ text {f}} _ {1,2} {\ text {F}} _ {4}}$${\ displaystyle \ mathrm {2O}}$
32. ↑ Tsit Yuen Lam ( Berkeley ): Hamilton's Quaternions ( PostScript , engleză). Accesat la 30 august 2009, pagina 24
33. ↑ Eric W. Weisstein : Antihomomorfism . În: MathWorld (engleză).
34. ↑ un spațiu -vector, care nu este nici - spațiu ideal, nici -vector, acolo   ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {\ mathbb {C}} \, 1_ {H} \ notin H}$
35. ↑ Matricile nu sunt marcate și neregulate .${\ displaystyle \ mathrm {i} _ {H}, \ mathrm {j} _ {H}, \ mathrm {k} _ {H}}$
36. ↑ Numai inelele matriciale cu dimensiunile 1, 2 și 4 de mai sus sunt divizoare zero (vezi și # Cuaternionele ca algebră ).${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
37. ↑ Aceste posibilități corespund adăugării unui automorfism .
38. ↑ Teorema lui Frobenius ( algebre de diviziune reală) ( en: teorema Frobenius (algebre de diviziune reală) ) Corolar 6.8 în capitolul iX de Hungerford: Algebra (Springer 1974).
39. ^ Teorema lui Hurwitz ( algebre de diviziune normată) ( en: teorema lui Hurwitz (algebre de diviziune normată) ).
40. ^ Teorema lui Pontrjagin (1931) în Pontrjagin : Orice corp oblic topologic compact , conectat local este fie câmpul numerelor reale, fie câmpul numerelor complexe, fie corpul oblic al cuaternionilor.
41. ↑ ^{a b} Exemplele au toate un operator diferențial ca primul operand , care acționează asupra celui de-al doilea operand . Cu toate acestea, fracțiile conțin o secvență inutilizabilă. În calculele din extrema dreaptă apare întotdeauna .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y \, x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
42. ↑ Felix Klein: Prelegeri despre dezvoltarea matematicii în secolul al XIX-lea . Partea I. Editura lui Julius Springer, Berlin 1926, p. 184 ff .