Lema Borel-Cantelli

Borel-Cantelli Lema , uneori , de asemenea , drept un zero Borel , (după Émile Borel și Francesco Cantelli ) este un set de teoria probabilităților . Este adesea util în examinarea convergenței aproape sigure a variabilelor aleatorii și, prin urmare, este folosit pentru a dovedi legea puternică a numărului mare . O altă aplicație ilustrativă a lemei este Teorema Maimuței Infinite . Lema constă din două părți, teorema „clasică” a lui Borel-Cantelli conținând doar prima parte. A doua este o extensie și vine de la Paul Erdős și Alfréd Rényi .

Declarația lemei

formulare

Lema Borel-Cantelli spune:

Să fie o secvență infinită de evenimente într- un spațiu de probabilitate . ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ operatorname {P})}$

Atunci:

1. Dacă suma probabilităților finitului, atunci probabilitatea Limesului superior de 0 egal${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$
2. Dacă suma probabilităților este infinită și evenimentele sunt cel puțin independente în perechi, atunci probabilitatea limitei superioare este egală cu 1.${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Deoarece afirmația are forma că probabilitatea unui set, aici limes superior, este fie 0, fie 1, lema Borel-Cantelli este una dintre legile 0-1 .

Declarație formală

Simbolic: pentru

${\ displaystyle A = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {A_ {n}} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {i = n} ^ {\ infty} A_ { i} = \ {A_ {n} {\ rm {{\, \, infinit \, \, adesea} \}}}}$

${\ displaystyle = \ {\ omega \ in \ Omega: \ omega \ in A_ {n} {\ rm {{\, \, f {\ ddot {u}} r \, \, infinit \, \, many \ , \,} n \ in \ mathbb {N} \}}}}$

se aplică:

1. ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} P (A_ {n}) <\ infty \ Rightarrow P (A) = 0}$
2. ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} P (A_ {n}) = \ infty}$și sunt independenți în perechi${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow P (A) = 1}$

Pentru dovezi

Afirmația clasică 1 poate fi dovedită după cum urmează: Probabilitatea apariției oricărui eveniment cu , nu este mai mare decât și vizează datorită convergenței presupuse a sumei la 0 pentru . Limes superior este evenimentul în care apare un număr infinit de evenimente și este un eveniment parțial al fiecăruia dintre evenimentele menționate în propoziția anterioară, iar probabilitatea sa nu este deci mai mare decât toți termenii unei secvențe zero, adică 0, care a fost să să fie dovedit. ${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle k \ geq n}$${\ displaystyle \ sum _ {k = n} ^ {\ infty} P (A_ {k})}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

cerere

Următorul criteriu util pentru convergența aproape sigură a variabilelor aleatorii rezultă din lema lui Borel-Cantelli:

Fie o variabilă aleatorie și o secvență de variabile aleatoare pe un anumit spațiu de probabilitate . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

Dacă pentru fiecare , atunci aproape sigur se aplică . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} P (| X_ {n} -X |> \ varepsilon) <\ infty}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle X_ {n} \ rightarrow X}$

Omologul Lemei Borel-Cantelli

O „contrapartidă” utilă la lema Borel-Cantelli înlocuiește independența pereche a , care este asumată în a doua versiune, printr-o ipoteză monotonă pentru toți indicii suficient de mari k. Această lemă spune: ${\ displaystyle (A_ {k})}$

Să fie o succesiune de evenimente care să satisfacă k suficient de mare pentru toți și să se completeze cu evenimentul . Atunci infinit de mulți apar cu probabilitatea 1 dacă și numai dacă există o secvență strict monotonică în creștere cu ${\ displaystyle (A_ {k})}$${\ displaystyle A_ {k} \ subseteq A_ {k + 1}}$${\ displaystyle {\ bar {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle (t_ {k})}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} P (A_ {t_ {k + 1}} \ mid {\ bar {A}} _ {t_ {k}}) = \ infty.}$

Acest rezultat este util pentru problemele care afectează probabilitățile, cum ar fi B. întrebarea dacă un proces stochastic are loc cu probabilitatea 1 într-un anumit set de stări. Setul de stări este definit ca absorbant, ceea ce implică monotonia, iar o alegere inteligentă a secvenței oferă adesea rapid răspunsul. ${\ displaystyle (t_ {k})}$

umfla

• Heinz Bauer : Teoria probabilității (=  manual De De Gruyter ). Ediția a 5-a, revizuită și îmbunătățită. de Gruyter , Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 . MR1902050 
• A. Rényi : Teoria probabilității . Cu un apendice privind teoria informației (=  cărți universitare pentru matematică . Volum 54 ). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 
• AN Širjaev : Probabilitate (=  cărți universitare pentru matematică . Volum 91 ). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 . MR0967761 
• FT Bruss : Un omolog al Lemei Borel-Cantelli (=  Journal of Applied Probability . Volum 17 ). Applied Probability Trust, Sheffield 1980. 

Dovezi individuale

1. ↑ ^{a b} Heinz Bauer: Teoria probabilității. 2002, p. 73 și urm
2. ^ A. Rényi: Teoria probabilității. 1971, p. 252, 326 și urm
3. ↑ ^{a b} A. N. Širjaev: Probabilitate. 1988, p. 265 și urm
4. ↑ : FT Bruss: Omologul Borel-Cantelli Lemma 1980, p. 1094 și urm