Legea puternică a numărului mare

Legea puternică a numerelor mari este o propoziție matematică din teoria probabilității care face afirmații despre momentul în care o succesiune de variabile aleatorii normalizate converge cu o constantă, de obicei valoarea așteptată a variabilei aleatoare. Legea puternică a numerelor mari este numărată cu legea slabă a numerelor mari la legile numerelor mari și aparține teoremelor limită clasice ale stochasticilor . Diferența dintre versiunea „puternică” și cea „slabă” este tipul de convergență luat în considerare: legea puternică a numerelor mari face o afirmație despre convergența P-aproape sigură a variabilelor aleatorii, legea slabă a numerelor mari, totuși , despre convergența stocastică a variabilelor aleatorii.

Se face adesea o distincție între mai multe versiuni ale legii puternice a numărului mare, care diferă prin generalitatea formulării lor sau prin puterea presupozițiilor lor. De exemplu, există legea puternică a lui Borel a numărului mare (după Émile Borel ), prima și a doua lege puternică a numărului mare a lui Kolmogorov (după Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow ) sau legea puternică a numărului mare a lui Etemadi (după Nasrollah Etemadi ).

formulare

Dacă se dă o secvență de variabile aleatoare, se spune că această secvență îndeplinește legea puternică a numerelor mari dacă valoarea medie a variabilelor aleatoare scalate ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}: = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (X_ {i} - \ operatorname {E } (X_ {i}) \ dreapta)}$

aproape sigur convergea la 0 . Înseamnă că

${\ displaystyle P (\ lim _ {n \ to \ infty} {\ overline {X}} _ {n} = 0) = 1}$

este.

Interpretarea și diferența față de legea slabă a numerelor mari

Legea slabă a numerelor mari rezultă întotdeauna din legea puternică a numerelor mari .

valabilitate

Mai jos sunt diferite condiții în care se aplică legea puternică a numărului mare. Cea mai slabă și mai specifică afirmație este în partea de sus, cea mai puternică și cea mai generală în partea de jos.

Legea puternică a lui Borel a numărului mare

Dacă există o secvență de variabile aleatoare independente distribuite parametrului Bernoulli , atunci secvența satisface legea puternică a numerelor mari, adică valoarea medie a variabilei aleatoare converge aproape sigur la parametru . ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle p \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle p}$

Această afirmație a fost dovedită în 1909 de Émile Borel și corespunde formulării Legii numerelor mari a lui Bernoulli ca o lege puternică a numărului mare.

Teorema lui Cantelli

Teorema lui Cantelli oferă validitatea legii puternice a numărului mare sub cerințele momentelor a patra și a celui de-al patrulea moment centrat. A fost dovedit de Francesco Paolo Cantelli în 1917 și este considerat a fi primul rezultat care oferă validitatea legii puternice a numerelor mari pentru secvențe de variabile aleatorii de orice distribuție.

Prima lege a numerelor mari a lui Kolmogorov

Este o secvență independentă de variabile aleatorii cu varianță finită dată și deține ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {Var} (X_ {n})} {n ^ {2}}} <\ infty}$,

deci este suficientă legea puternică a numărului mare. Starea de mai sus se mai numește starea Kolmogorow . și este utilizat pentru a estima folosind inegalitatea Kolmogorow . ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Această afirmație a fost dovedită în 1930 de Andrei Nikolayevich Kolmogorov .

A doua lege a numerelor mari de Kolmogorov

Dacă secvența variabilelor aleatorii este distribuită independent identic , atunci secvența satisface legea puternică a numerelor mari.${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |) <\ infty}$

Declarația a fost dovedită în 1933 de Andrei Nikolayevich Kolmogorov.

Legea puternică a numărului mare de Etemadi

Dacă secvența variabilelor aleatorii este distribuită identic și independentă în perechi , atunci satisface legea puternică a numerelor mari. ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |) <\ infty}$

Această afirmație este o îmbunătățire reală față de a doua lege a lui Kolmogorov a numărului mare, deoarece independența implică întotdeauna independență în perechi, dar concluzia nu este în general valabilă. Această afirmație a fost dovedită de Nasrollah Etemadi în 1981 .

Formulări alternative

Formulare mai generală

Oarecum mai general, spunem că succesiunea variabilelor aleatorii satisface legea puternică a numerelor mari dacă există secvențe reale cu și , astfel încât pentru suma parțială ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = \ infty}$${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$

convergența

${\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {b_ {n}}} - a_ {n} \ rightarrow 0}$

aproape sigur se aplică.

Formulare mai specifică

Unii autori consideră convergența aproape sigură a sumelor parțiale medii față de . Cu toate acestea, această formulare presupune că toate variabilele aleatorii au aceeași valoare așteptată. ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X_ {1})}$

Generalizări

Propoziții ergodice

O posibilă generalizare a legii puternice a numărului mare este setul ergodic individual și setul Lp-ergodic . Aceste rezultate ale teoriei ergodice pot fi aplicate proceselor stochastice staționare . Astfel, cu aceste propoziții este posibilă o dependență stocastică a secvenței observate de variabilele aleatorii. ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Ilustrații cu valoare vectorială

Legea numerelor mari poate fi formulată și pentru imaginile cu valoare vectorială. Teorema lui Mourier oferă câteva criterii în acest sens .

Link-uri web

• Yu.V. Prokhorov: Legea puternică a numărului mare . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ). 
• Eric W. Weisstein : Legea puternică a numărului mare . În: MathWorld (engleză).

literatură

• Achim Klenke : Teoria probabilității . 3. Ediție. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-3 . 
• Hans-Otto Georgii : Stochastics . Introducere în teoria probabilității și statistică. Ediția a IV-a. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
• Christian Hesse : Teoria aplicată a probabilității . Prima ediție. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 , doi : 10.1007 / 978-3-663-01244-3 . 
• Norbert Kusolitsch: teoria măsurii și a probabilității . O introducere. Ediția a doua, revizuită și extinsă. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 . 
• Klaus D. Schmidt: Măsură și probabilitate . Ediția a doua, revizuită. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9 , doi : 10.1007 / 978-3-642-21026-6 . 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastics . Teorie și aplicații. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6 , doi : 10.1007 / b137972 . 

Dovezi individuale

1. ↑ Hesse: Teoria probabilității aplicată. 2003, p. 249.
2. ^ AV Prokhorov: Borel legea puternică a numărului mare . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ). 
3. ↑ Yu.V. Prokhorov: Legea puternică a numărului mare . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ). 
4. ↑ Kusolitsch: Măsura și teoria probabilității. 2014, p. 251.
5. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastics. 2005, p. 157.
6. ^ Schmidt: Măsură și probabilitate. 2011, p. 347.
7. ↑ Klenke: Teoria probabilității. 2013, p. 114.
8. ^ Nasrollah Etemadi: O dovadă elementară a legii puternice a numărului mare. În: Journal of Probability Theory and Allied Areas. (Ediție online: Teoria probabilității și câmpuri conexe. Continuarea Zeitschrift fur Probabilstheorie. ). Vol. 55, nr. 1, 1981, pp. 119-122, doi : 10.1007 / BF01013465 .
9. ↑ Hesse: Teoria probabilității aplicată. 2003, p. 249.