Identitate (logică)

În sistemele logice, identitatea este introdusă prin indistinguibilitate: principiul identității (și principiul identității ) afirmă că un obiect A este identic cu un obiect B dacă și numai dacă nu se poate găsi nicio diferență între A și B. Metoda prin care identitatea este recunoscută este prin comparație . Principiul identității este adesea atribuit de Gottfried Wilhelm Leibniz și, prin urmare, legea Leibniz ( numită legea engleză a lui Leibniz ).

Justificare intuitivă

Principiul identității poate fi împărțit în două cerințe:

identitatea lucrurilor care nu se pot distinge
indistinguibilitatea lucrurilor identice

Identitatea lucrurilor care nu se pot distinge

Identitatea lucrurilor care nu se pot distinge spune că, dacă lucrurile nu pot fi distinse, ele sunt, de asemenea, identice sau echivalente: dacă nu sunt identice, trebuie să existe o diferență între ele. De exemplu, două monede diferite, chiar dacă seamănă absolut, trebuie să difere într-un fel, cum ar fi poziția lor în spațiu.

Indistinguibilitatea lucrurilor identice

Indistinguibilitatea lucrurilor identice înseamnă că lucrurile identice nu pot fi distinse: dacă există o diferență între ele, ele nu pot fi identice. Dacă se constată că o monedă este realizată în întregime din cupru și una cu aceeași valoare este în întregime din aur, atunci nu poate fi aceeași monedă, deoarece această monedă ar fi atunci făcută în întregime din cupru, precum și în întregime din aur, evident contradictorii . Pe de altă parte, valorile ambelor monede nu se pot distinge , după cum puteți vedea după ce au fost depuse într-un cont: contul conține apoi valorile ambelor monede, dar este imposibil să se determine ce parte a soldul contului aparține căruia dintre monedele depuse.

Considerație istorică

Formularea filosofică a unui principiu al identității celui care nu se distinge se întoarce mult și poate fi găsită deja în considerațiile stoicii , viziunea modernă a identității se întoarce la considerațiile lui Leibniz. Discuția istorică a proprietăților intuitive ale indistinctului poate fi găsită de obicei sub sloganul său latin ca principium identitatis indiscernibilium .

discuţie

Diferite formulări ale principiului identității

Există diferite formulări ale principiului identității. Primul este cel mai ușor de înțeles, dar cel mai imprecis; a treia formulare, cea mai precisă, revine la Leibniz:

Un obiect A este identic cu un obiect B dacă și numai dacă nu există nicio diferență între A și B.
Un obiect A este identic cu un obiect B dacă și numai dacă toate proprietățile la care aparțin A aparțin și lui B și invers.
A și B denotă același obiect dacă și numai dacă A poate fi substituit cu B în toate afirmațiile , menținând în același timp valoarea de adevăr.

Explicaţie

Legătura dintre primele două formulări apare din faptul că o diferență între două lucruri este întotdeauna asociată cu o proprietate care aparține unui lucru și nu celuilalt. De exemplu, o diferență de culoare ar putea fi că un lucru are proprietatea roșie, celălalt nu.

Numărul trei este o versiune a celebrei formulări a lui Leibniz Eadem sunt quae sibi ubique substiti possunt, salva veritate („Aceiași sunt cei care se pot înlocui oriunde, dacă adevărul este păstrat”). În explicație începem cu două expresii pentru același obiect, de ex. B. din

cel mai înalt munte de pe pământ
muntele everest

Dacă înlocuiți termenul Muntele Everest în afirmația că Muntele Everest se află în Himalaya cu cel mai înalt munte de pe pământ , veți obține:

Cel mai înalt munte de pe pământ se află în Himalaya

Principiul identității spune acum că această substituție primește valoarea adevărului. Dacă prima propoziție este adevărată, la fel trebuie și a doua propoziție și invers. De fapt, acest lucru trebuie să se aplice tuturor propozițiilor în care apare singura expresie. Dacă, pe de altă parte, pornim de la expresii care nu desemnează același obiect ca

Cervinul
muntele everest

deci, conform principiului identității, trebuie să existe o propoziție în care o substituție corespunzătoare să nu primească valoarea adevărului. O astfel de propoziție este, de exemplu:

Matterhorn are o înălțime de peste 8000 de metri.

Această propoziție este greșită; dar dacă înlocuiți Matterhorn-ul din acesta cu Muntele Everest, obținem adevărata propoziție:

Muntele Everest are peste 8000 de metri înălțime.

Principiul identității se aplică fără rezerve numai în limbaje extinse, cum ar fi limba matematicii. În limbile intensionale, cum ar fi germana colocvială, se aplică numai cu restricții. Această problemă se referă doar la principiul indistinguibilității identicului, nu la cel al identității indistinctului. Luați în considerare următoarele propoziții.

Frank crede că Muntele Everest se află în Himalaya.
Frank crede că cel mai înalt munte de pe pământ se află în Himalaya.

Presupunând că Frank nu știe că cel mai înalt munte este Muntele Everest, prima propoziție ar putea fi adevărată și a doua falsă. Cu toate acestea, conform principiului identității, tocmai acest lucru nu ar trebui să fie cazul expresiilor care desemnează același obiect. Soluția la această dificultate este că principiul identității este anulat în cazul expresiilor intensionale (care includ și credința că cineva aparține). Afirmațiile în care se face substituția nu trebuie să conțină astfel de expresii (a se vedea, de asemenea, contextul opac ).

Dacă se pleacă de la una dintre primele două formulări ale principiului identității, s-ar spune că proprietăți precum cele ale lui Frank care trebuie deținute în Himalaya nu sunt proprietăți reale ale lucrurilor (ci ale lui Frank) și, prin urmare, nu ar trebui folosite pentru a distinge între Muntele Everest și cel mai înalt munte de pe pământ.

Identitate în informatică

În informatică , diferența dintre memoriile identice și aceleași valori ale memoriei este mai ușor de recunoscut: Dacă implementarea unei variabile sub forma unei adrese de memorie se referă la aceeași celulă de memorie , conținutul unei a doua referințe la aceeași celula de memorie este identică; într-o altă celulă de memorie poate exista doar aceeași valoare.

Proprietățile identității

Identitatea este o relație din două cifre , o relație între două lucruri. Mai precis, este o relație de echivalență cu următoarele proprietăți:

Reflexivitate : totul este identic cu el însuși.
Simetrie : Dacă A este identic cu B, atunci B este identic cu A.
Tranzitivitate : dacă A este identic cu B și B cu C, atunci de la A la C

Relația de identitate poate fi determinată chiar mai precis decât cea mai fină relație de echivalență într-o limbă. Aceasta înseamnă că se aplică și pentru fiecare relație de echivalență . O altă relație de echivalență ar fi la fel de dificilă , de exemplu . Deci, dacă cu este identic, este, de asemenea, la fel de dificil . Același lucru se aplică tuturor celorlalte relații de echivalență (aceeași dimensiune, aceeași culoare etc.). ${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle a \ sim b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Se poate arăta că această ultimă proprietate de finețe maximă caracterizează relația de identitate într-un mod fără echivoc. Dacă există o altă relație de echivalență cu această proprietate în afară de relația de identitate , atunci se aplică următoarele dacă și numai dacă ${\ displaystyle \ sim ^ {*}}$ ${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle a \ sim ^ {*} b}$

Introducerea relației de identitate în sistemele formale

Există diferite moduri de a introduce relația de identitate într-un sistem formal bazat pe logica predicatului .

În logica predicatului al doilea nivel (sau superior), identitatea poate fi definită direct și, în general, cu o variabilă predicat : ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle a = b \ equiv _ {def} \ forall F (F (a) \ equiv F (b))}$

Această definiție este o implementare simplă a principiului identității leibniziene.

În logica predicatelor de ordinul întâi, se poate da o definiție atunci când o teorie formală conține un număr finit de predicate nedefinite . Să considerăm cazul unei teorii de mulțimi cu elementul predicat ca singurul predicat nedefinit. Apoi identitatea trebuie definită după cum urmează: ${\ displaystyle \ in}$

${\ displaystyle a = b \ equiv _ {def} \ forall x (a \ in x \ equiv b \ in x) \ wedge \ forall x (x \ in a \ equiv x \ in b)}$

Dacă există mai multe predicate, ar trebui adăugate clauze corespunzătoare pentru acestea.

Cu toate acestea, în logica predicatelor de ordinul întâi, nu există o definiție generală care să fie independentă de predicatele utilizate. Dar există posibilitatea unei introduceri generale fie prin reguli, fie prin axiome .

Identitatea poate fi introdusă prin reguli după cum urmează

Eliminarea identității

Afară și urmează ${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi [a \ leftarrowtail b]}$

(unde este o formulă în care unele sau toate aparițiile au fost înlocuite cu). ${\ displaystyle \ phi [a \ leftarrowtail b]}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Introducere identitate

Se aplică următoarele: ${\ displaystyle a = a}$

Intuiția din spatele acestor reguli este că, odată ce ați arătat că a = b, puteți înlocui a (în unele sau în toate locurile) cu b în orice teoremă dintr-o dovadă. Mai mult, se poate seta întotdeauna a = a într-o dovadă, deoarece acest lucru nu este niciodată greșit.

Introducerea axiomatică folosește următoarea schemă axiomatică (așa-numita formulă Hao-Wang ):

${\ displaystyle \ phi \ equiv \ forall b (a = b \ supset \ phi [a \ leftarrowtail b])}$ ,

Citiți: este adevărat dacă și numai dacă pentru tot faptul că este identic cu , condiții care . Axioma implică imediat eliminarea identității; cu toate acestea, este de asemenea foarte ușor să derivăm introducerea identității ,, din ea. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ phi [a \ leftarrowtail b]}$ ${\ displaystyle a = a}$

Link-uri web

Identitatea indiscernibililor. Intrare în Edward N. Zalta (Ed.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .

Languages