Mediană (stocastice)

În stochastics, mediana , de asemenea , numit centrală valoare, este o măsură a poziției de distribuții de probabilitate și distribuții ale variabilelor aleatoare . Astfel, la fel ca valoarea așteptată și modul, este un indicator al locului în care se află „mijlocul” unei distribuții de probabilitate. Mediana este în mod clar numărul pentru care

• probabilitatea de a primi o valoare mai mică sau egală cu mediana și
• probabilitatea de a primi o valoare mai mare sau egală cu mediana

este egal cu. Există mai multe formalizări ale acestei noțiuni intuitive care diferă în ceea ce privește existența și unicitatea medianei.

În statisticile descriptive care este mediana pentru eșantionare definită. Cei doi termeni diferă prin faptul că unul este o figură cheie a unui eșantion (similar cu media aritmetică ), celălalt este o figură a unei distribuții de probabilitate (similară cu valoarea așteptată ). Cele două sunt diferite în sine, dar pot fi legate prin distribuția empirică .

Prima definiție

Pentru distribuțiile de probabilitate

Se dă o distribuție de probabilitate , adică numerele reale , prevăzute cu algebra σ a lui Borel . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$

Atunci un număr real se numește mediană (de ) dacă:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P ((- \ infty, m]) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$și .${\ displaystyle P ([m, + \ infty)) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Pentru variabile aleatorii

Se dă o variabilă reală aleatorie . ${\ displaystyle X}$

Atunci un număr real se numește mediană (de ) dacă:${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle P (X \ leq m) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$și .${\ displaystyle P (m \ leq X) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$

Mediana variabilei aleatorii este deci exact mediana distribuției sale . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {X}}$

Definiție prin funcții de distribuție

Mediana poate fi de asemenea definită folosind funcțiile de distribuție . Dacă funcția de distribuție este de la sau de la , atunci o mediană (de la sau de la ) se numește if ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle F (m) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \ quad}$și .${\ displaystyle \ quad \ lim _ {t \ uparrow m} F (t) \ leq {\ tfrac {1} {2}}}$

Iată valoarea limită din stânga . ${\ displaystyle \ lim _ {t \ uparrow m} F (t)}$

Determinare și exemple

Cu o funcție de distribuție continuă

Dacă funcția de distribuție este continuă , atunci este o mediană dacă și numai dacă există o soluție a ecuației ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle F (m) = {\ tfrac {1} {2}}}$

este.

Aceasta se bazează pe faptul că valoarea limită din stânga coincide atunci cu valoarea funcției.

Exemple

Dacă privim distribuția exponențială ca exemplu , are funcția de distribuție

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1- \ mathrm {e} ^ {- \ lambda x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end {cases}}}$

pentru un parametru . Echivalarea cu conduce la ecuație ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda m}}$,

care este soluția

${\ displaystyle m = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}}$

detine. În acest caz, mediana este clară.

Dar mediana poate fi ambiguă chiar și cu o funcție de distribuție constantă. De exemplu, dacă ne uităm la distribuția Cantor , a cărei funcție de distribuție este afișată în dreapta, aceasta își asumă valoarea pe întregul interval datorită construcției sale . Fiecare punct din acest interval este deci o mediană. Cu o funcție de distribuție constantă, mediana este neechivocă, de exemplu, atunci când funcția de distribuție crește într-un mod strict monoton. Mai precis, unicitatea se aplică deja atunci când funcția de distribuție în mediul în care își asumă valoarea crește strict monoton. ${\ displaystyle [{\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {2} {3}})}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Cu densități de probabilitate

Dacă variabila aleatorie sau distribuția probabilității are o funcție de densitate a probabilității (este deci o distribuție absolut continuă ), mediana este soluția ecuației ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {m} f (x) \ mathrm {d} x = {\ tfrac {1} {2}}}$.

Acest lucru rezultă direct din faptul că distribuțiile absolut continue au întotdeauna o funcție de distribuție continuă care poate fi determinată prin integral și afirmația din secțiunea de mai sus.

Mai multe mediane apar aici, de exemplu, dacă funcția densității probabilității este constant zero pe un interval.

exemplu

Privind funcția de probabilitate

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ quad x \ leq -1 {\ text {or}} x> 1 \\ {\ tfrac {1} {2 }} & {\ text {if}} \ quad x \ in (-1, - {\ tfrac {1} {2}}] {\ text {or}} x \ in ({\ tfrac {1} {2 }}, 1] \\ 0 & {\ text {if}} \ quad x \ in (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}] \\\ end { cazuri}}}$,

deci acesta este zero constant în interval . Folosind regulile elementare de integrare, rezultă apoi că fiecare valoare se află într- o mediană. Rezolvarea ecuației integrale corespunde de obicei determinării funcției de distribuție corespunzătoare și, prin urmare, poate fi privită ca un caz special al procedurii din secțiunea de mai sus. ${\ displaystyle (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$${\ displaystyle [- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$

Definiție clară

Se dă o distribuție de probabilitate sau o variabilă reală aleatorie . Fie funcția de distribuție a sau . Atunci se numește ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle m = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid F (x) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \}}$

mediana or . Aceasta corespunde cu următoarea definiție: Este funcția cuantila a , mediana este definit ca ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle m: = Q ({\ tfrac {1} {2}})}$.

Datorită continuității juridice a funcției de distribuție, cel mai mic poate fi înlocuit și cu un minim în partea superioară a celor două definiții .

caracteristici

Mediana este o cuantilă , mai exact cuantila de 50%.

Dacă distribuția este simetrică , adică zero este o mediană. Mai general, axa de simetrie este o mediană pentru orice distribuție simetrică. ${\ displaystyle P _ {- X} = P_ {X}}$

Fiecare mediană minimizează abaterea absolută, adică dacă este o variabilă aleatorie cu , aceasta se aplică întotdeauna ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X |) <\ infty}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (| Xa |) \ geq \ operatorname {E} (| Xm |)}$ pentru toți ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$

iar egalitatea este valabilă dacă și numai dacă este și o mediană. ${\ displaystyle a}$

Relația cu mediana statisticilor descriptive

Mediana din statisticile descriptive (ca figură cheie a unui eșantion) poate fi legată de mediana unei distribuții de probabilitate prin distribuția empirică : Dacă se dă un eșantion și distribuția empirică este atunci o mediană (în sensul teoriei probabilității) a unei mediane (în sensul statisticilor descriptive) a . Datorită diferitelor definiții, totuși, pot exista ușoare abateri. ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Alte definiții

Mediana este considerată a fi cea mai directă valoare pentru care

${\ displaystyle P (X \ leq m) = {\ frac {1} {2}} = P (X \ geq m)}$

se aplică sau se definește. Cu toate acestea, existența medianei nu este garantată în ambele definiții. La fel este și pentru ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}})}$

${\ displaystyle P (X = 0) = 0 {,} 2 = 1-P (X = 1)}$

întotdeauna , deoarece funcția de distribuție nu ia niciodată valoarea . La fel, nu există , astfel încât lanțul de ecuații de mai sus este îndeplinit: pentru toate este , ca și pentru toate se aplică încă . ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = \ emptyset}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m <1}$${\ displaystyle P (X \ leq m) <{\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle m \ geq 1}$${\ displaystyle P (X \ leq m) = 1}$

În plus, trebuie remarcat faptul că funcțiile de distribuție din literatura rusă mai veche sunt definite ca continuu la stânga și nu la fel de drept-continuu ca în zona de limbă germană. De exemplu, în cazul unei aruncări corecte de monede, o dată în loc de . ${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = (0,1]}$${\ displaystyle F ^ {- 1} ({\ tfrac {1} {2}}) = [0,1)}$

Link-uri web

• Mediană (în statistici) . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ). 
• VV Senatov: Quantiles . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ). 
• Eric W. Weisstein : Mediană statistică . În: MathWorld (engleză).

literatură

• Christian Hesse : Teoria aplicată a probabilității . Ediția I. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 , doi : 10.1007 / 978-3-663-01244-3 . 
• Norbert Kusolitsch: Măsura și teoria probabilității . O introducere. Ediția a doua, revizuită și extinsă. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 . 

Dovezi individuale

1. ^ Hans-Otto Georgii: Stochastics . Introducere în teoria probabilității și statistică. Ediția a IV-a. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , p. 101 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
2. ^ ^{A b} Hans-Otto Georgii: Stochastics . Introducere în teoria probabilității și statistică. Ediția a IV-a. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , p. 233 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
3. ↑ Norbert Kusolitsch: Măsura și teoria probabilității . O introducere. Ediția a doua, revizuită și extinsă. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , p. 113 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 .