Borel σ-algebră

Borel σ-algebra este un sistem stabilit în teorie măsură și esențială pentru structura axiomatică moderne Stochastics și teoria integrării . Σ-algebra lui Borel este o σ-algebră care conține toate seturile cărora se dorește cu naivitate să le atribuie un volum sau o probabilitate, dar exclude rezultatele negative, cum ar fi teorema lui Vitali .

Σ-algebra lui Borel este deosebit de importantă deoarece este adaptată în mod natural la structura spațiilor topologice și, astfel, atât la spațiile metrice, cât și la cele normalizate . Acest lucru se arată, printre altele, în faptul că toate funcțiile continue sunt întotdeauna măsurabile în ceea ce privește σ-algebra lui Borel .

Seturile conținute în σ-algebra lui Borel pot fi descrise pe deplin numai în cazuri foarte rare. În schimb, este dificil să construim un set care să nu se afle în σ-algebra lui Borel. Ca regulă generală, ar trebui să conțină „aproape toate cantitățile care apar” sau „fiecare cantitate care poate fi construită în mod constructiv”.

Seturile conținute în σ-algebra lui Borel se numesc seturi Borel , seturi Borel sau, de asemenea , seturi Borel măsurabile . Denumirea σ-algebrei și a cantităților urmează în onoarea lui Émile Borel , care le-a folosit implicit pentru prima dată în 1898.

definiție

Se oferă un spațiu topologic , unde sistemul de seturi este seturi deschise . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}})}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Atunci σ-algebra generată de este numită σ-algebră boreliană. Acesta este denumit sau, în cazul în care suma este evident din context, de asemenea , ca . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

Deci este

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X): = \ sigma ({\ mathcal {O}})}$,

în cazul în care aici reprezintă operatorul σ . El-algebra Borel este astfel definită ca cea mai mică σ-algebră (în ceea ce privește incluziunea seturilor) care conține toate seturile deschise. ${\ displaystyle \ sigma (\ cdot)}$

Observații

• El-algebra Borel este întotdeauna determinată în mod unic.
• O algebră Borel face astfel posibilă dotarea canonică a unui spațiu topologic cu structura suplimentară a unui spațiu de măsurare. În ceea ce privește această structură, camera este numită apoi și cameră Borel. Cu toate acestea, alte camere de măsurare sunt denumite și camere Borel.
• Pentru spațiile metrice și spațiile standardizate , topologia generată de metrică sau normă este selectată ca topologie.
• Mulțimile conținute în σ-algebra lui Borel se numesc mulțimi Borel. Clasa mulțimilor Borel este o subclasă a clasei lui Suslin sau a mulțimilor analitice .

Borel σ-algebră pe numerele reale

Setul de numere reale este de obicei prevăzut cu topologia care este cuprinsă de intervale deschise cu puncte finale raționale . Acest lucru face ca σ-algebra lui Borel să fie o σ-algebră separabilă . Deși alte topologii pe sunt , de asemenea , luate în considerare , în cazuri individuale , acest lucru este considerat topologia canonică , iar Borelian σ-algebra derivată din acesta este pur și simplu denumit Borelian σ-algebra pe . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Borel σ-algebra lui nu conține toate subseturile de . Se poate arăta chiar că algebra lui Borel este de putere egală cu , în timp ce mulțimea tuturor subseturilor de are o putere cu adevărat mai mare decât . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Producător

El-algebra Borel nu este definită direct, ci implicit prin intermediul unui generator. Acesta este un sistem dat de seturi care generează σ-algebra lui Borel în sensul că este cea mai mică σ-algebră care păstrează toate seturile generatorului. Pentru detalii vezi Creatorul unei σ-algebre . Unii dintre producătorii posibili sunt următorii: ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {0} = \ {A \ subset \ mathbb {R} \ mid A {\ text {is open}} \}}$ prin definitie
• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {1} = \ {[a, b] \ subset \ mathbb {R} \ mid a \ leq b \}}$ sau ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {2} = \ {[a, b] \ subset \ mathbb {R} \ mid a \ leq b, \; a, b \ in \ mathbb {Q} \} }$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {3} = \ {(a, b) \ subset \ mathbb {R} \ mid a <b \}}$ sau ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {4} = \ {(a, b) \ subset \ mathbb {R} \ mid a <b, \; a, b \ in \ mathbb {Q} \}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {5} = \ {(a, b] \ subset \ mathbb {R} \ mid a \ leq b \}}$ sau ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {6} = \ {(a, b] \ subset \ mathbb {R} \ mid a \ leq b, \; a, b \ in \ mathbb {Q} \} }$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {7} = \ {(- \ infty, a] \ mid a \ in \ mathbb {R} \}}$ sau ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {8} = \ {(- \ infty, a] \ mid a \ in \ mathbb {Q} \}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {9} = \ {(- \ infty, a) \ mid a \ in \ mathbb {R} \}}$ sau ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {10} = \ {(- \ infty, a) \ mid a \ in \ mathbb {Q} \}}$

În special, există în mod evident mai mulți generatori pentru algebra σ Borel. Cu toate acestea, algebra Borel este determinată în mod unic prin specificarea unui generator. Alegerea producătorului specific depinde adesea de situație. Adesea, se alege sisteme de cantitate care sunt stabile în medie ca producător, deoarece odată cu acestea, conform principiului unicității dimensiunilor, o măsură este deja clar determinată de specificarea valorilor pe producător. Atunci când utilizează funcțiile de distribuție, producătorii să se ofere . Intervalele cu limite raționale sunt adesea folosite pentru argumentele de aproximare. În special, generatoarele și jumătatea inelelor enumerate aici (dacă fiecare le definește astfel încât generatoarele să conțină setul gol). ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {7}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {10}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {5}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {6}}$ ${\ displaystyle (a, a]: = \ emptyset}$

Sumele incluse

Mulțimile conținute în σ-algebra lui Borel sunt abundente. Contine

• toate seturile deschise , toate seturile închise și toate seturile compacte
• toate intervalele formularului pentru precum și și${\ displaystyle (a, b), [a, b], (a, b], [a, b)}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (- \ infty, b), (- \ infty, b], (a, \ infty)}$${\ displaystyle [a, \ infty)}$
• toate seturile de puncte, adică seturile formei pentru și toate subseturile finite ale și toate subseturile infinit de număr${\ displaystyle \ {a \}}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Din proprietățile definitorii ale σ-algebrelor rezultă în mod direct că uniunile și tăieturile finite și infinit de numeroase ale seturilor Borel sunt din nou seturi Borel, la fel ca diferența și complementul.
• Dacă sunt continue, arhetipurile seturilor Borel sunt din nou seturi Borel, în special seturi de niveluri , seturi de sub- nivel și seturi de niveluri superioare .${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

Algebra Borel de pe numerele reale extinse

Uneori numerele reale sunt extinse de valori , apoi unul se numește în consecință ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$

extins numere reale . Ele apar, de exemplu, la examinarea funcțiilor numerice . Algebra Borel de pe numerele reale extinse este apoi explicată prin

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ overline {\ mathbb {R}}}): = \ {A \ cup E \ mid A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) , \; E \ subseteq \ {- \ infty, \ infty \} \}}$.

Prin urmare, cuprinde toate seturile Borel pe numerele reale și ale acestor seturi Borel combinate cu , sau . ${\ displaystyle \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ {- \ infty \}}$${\ displaystyle \ {\ infty, - \ infty \}}$

Alte algebre Borel

Algebra σ Borel pe spații metrice separabile

Se oferă un spațiu metric separabil . Sferele deschise creează o bază topologică, aceasta se numește topologia creată de metrică. Datorită separabilității (care în cazul metric este echivalentă cu a doua axiomă a numărabilității) fiecare set deschis trebuie scris ca o uniune numărabilă a sferelor deschise. Cea mai mică algebră care conține sferele deschise conține, prin urmare, toate seturile deschise și, prin urmare, este egală cu algebra lui Borel . ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

Cazul special și metrica euclidiană sunt discutate mai detaliat în următoarele secțiuni. ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle d}$

El-algebra Borel pe spații vectoriale reale cu dimensiuni finite

Topologia canonică a cuboizilor -dimensionali cu coordonate raționale și se întinde pe spațiile vectoriale cu dimensiuni finite . Este, de asemenea, topologia produsului de două ori a topologiei canonice . Borel-ul generat de σ-algebră este analog cu cazul unidimensional pe care se află algebra σ de Borel . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ times \ dotsb \ times (a_ {n}, b_ {n})}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Astfel se explică elegant algebra Borel a numerelor complexe: Se folosește pur și simplu izomorfismul spațiului vectorial între și . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Subseturile care nu aparțin σ-algebrei lui Borel au de obicei un caracter exotic intuitiv. În spațiul real tridimensional, mulțimile care sunt folosite în paradoxul Banach-Tarski formează un exemplu de astfel de subseturi care nu aparțin σ-algebrei lui Borel.

Borel σ-algebră pe spații topologice generale

Proprietățile σ-algebrei lui Borel în orice spațiu topologic depind în esență de structura spațiului topologic. În general, se poate spune doar că σ-algebra lui Borel conține întotdeauna toate seturile deschise (prin definiție) și toate închise (datorită stabilității complementare).

Cu cât spațiul topologic are mai multă structură, cu atât mai multe seturi conține și algebra σ Borel. Se aplică următoarele:

• Dacă spațiul topologic este un spațiu T1 , atunci toate seturile cu un singur element sunt conținute în algebra σ a lui Borel. Aceasta înseamnă că toate mulțimile finite, toate mulțimile infinit în mod considerabil și toate mulțimile cu complement finit sau infinit în mod numeros sunt conținute în σ-algebra lui Borel.
• Dacă spațiul topologic este un spațiu Hausdorff (cum ar fi un spațiu metric ), atunci toate seturile compacte sunt închise și astfel conținute în σ-algebra lui Borel.

Spațiile produsului și algebra Borel

Dacă sunt date două spații topologice și , algebra σ Borel poate fi definită în două moduri: ${\ displaystyle (X_ {1}, {\ mathcal {O}} _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, {\ mathcal {O}} _ {2})}$

• Oricare formează spațiul (topologic) al produsului , prevăzut cu topologia produsului , aici notat cu. Algebra Borel σ activă poate fi apoi definită ca algebra Borel σ a topologiei produsului, adică ca${\ displaystyle X_ {1} \ times X_ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {2}}$${\ displaystyle X_ {1} \ times X_ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X_ {1} \ times X_ {2}): = \ sigma ({\ mathcal {O}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {2 })}$

• sau una formează mai întâi algebrele Borel ale spațiilor topologice individuale și apoi produsul lor σ-algebra , aici notată cu:${\ displaystyle \ otimes}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X_ {1} \ times X_ {2}): = \ sigma ({\ mathcal {O}} _ {1}) \ otimes \ sigma ({\ mathcal {O} } _ {2})}$

De fapt, cele două construcții sunt de acord în multe cazuri, chiar dacă întrebarea este extinsă la familiile spațiilor topologice . Se aplică următoarele:${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ în I}}$

Dacă este o familie numărabilă de spații topologice, fiecare dintre ele având o bază numărabilă ( adică îndeplinește a doua axiomă a numărabilității ) și este produsul topologic al tuturor acestor spații, atunci este ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ în I}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X) = \ bigotimes _ {i \ in I} {\ mathcal {B}} (X_ {i})}$.

Prin urmare, σ-algebra boreliană a produsului este produsul σ-algebra a σ-algebrei boreliene. Afirmația se aplică în special tuturor spațiilor metrice separabile și deci și pentru . La fel este ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {2}) = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ otimes {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R })}$.

Nomenclatura pentru anumite cantități Borel

• În literatură, următoarea denumire, introdusă de Felix Hausdorff , sa stabilit pentru unele clase simple de seturi Borel:

- sunt toate uniunile de numeroase seturi închise,${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma}}$

- cu toate mediile a numeroase seturi deschise,${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta}}$

- cu toate mediile de numeroase cantități,${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma \ delta}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma}}$

- cu toate uniunile de numeroase seturi,${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta}}$

- cu toate uniunile de numeroase seturi,${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma \ delta \ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma \ delta}}$

- cu toate mediile de sume considerabil multe${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma \ delta}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma}}$

etc.

Toate , , , , , , ...- seturi sunt seturi Borel. Cu toate acestea, această schemă nu face posibilă descrierea tuturor seturilor Borel, deoarece unirea tuturor acestor clase nu este încă finalizată în general în ceea ce privește axiomele unei -algebre.${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma \ delta}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma \ delta \ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma \ delta}}$${\ displaystyle \ sigma}$

• În teoria descriptivă a mulțimilor , mulțimile deschise sunt denumite și seturi, seturile -sets, seturile -seturi etc. sunt numite complemente ale seturilor -seturi; de exemplu, cantitățile sunt exact cantitățile.${\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta \ sigma}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Pi _ {n} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta}}$

cerere

Setul împreună cu σ-algebra Borel este un spațiu de măsurare și formează baza măsurilor Borel ca atare. Toate elementele σ-algebrei lui Borel (care sunt ele însele mulțimi) se numesc măsurabile Borel; numai acestora li se atribuie valori prin intermediul unei măsuri Borel. ${\ displaystyle \ Omega}$

Dovezi individuale

1. ^ Georgii: Stochastics. 2009, p. 12.
2. ↑ Klenke: Teoria probabilității. 2013, p. 8.
3. ↑ Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2009, p. 17.
4. ↑ ^{a b} Pavel S. Alexandroff: Manual de teoria mulțimilor. Ediția a 6-a, revizuită. Harri Deutsch, Thun și colab. 1994, ISBN 3-8171-1365-X .
5. ↑ Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2009, p. 115.
6. ↑ Vladimir Kanovei, Peter Koepke: Teoria descriptivă a mulțimilor în elementele de bază ale teoriei mulțimilor de către Hausdorff. 2001, uni-bonn.de (pdf; 267 kB) .
7. ↑ Isidor P. Natanson: Teoria funcțiilor unei variabile reale. Reeditare neschimbată a ediției a IV-a. Harri Deutsch, Thun și colab. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (de asemenea, în formă digitală în limba rusă la INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELING SB RAS, Krasnoyarsk ).
8. ↑ La z. B. Este posibil doar cu ajutorul numerelor ordinale transfinite să continuăm acest sistem în așa fel încât toate seturile Borel să fie înregistrate de acesta (vezi clase Baie: conexiune la seturile Borel ). Dar există și spații topologice în care seturile - și - singure epuizează întreaga clasă a seturilor Borel, de ex. B. într-un spațiu T ₁ cu un număr numărabil de puncte. Mai multe despre acest subiect pot fi găsite în Felix Hausdorff : teoria seturilor. Ediția a doua, revizuită. de Gruyter, Berlin și colab. 1927, poate fi citit.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ operatorname {G} _ {\ delta}}$

literatură

• Sashi M. Srivastava: Un curs despre seturile Borels (= Diplomate Texte in Mathematics. Vol. 180). Springer, New York NY și colab. 1998, ISBN 0-387-98412-7 .
• Achim Klenke: Teoria probabilității . 3. Ediție. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-3 . 
• Hans-Otto Georgii: Stochastics . Introducere în teoria probabilității și statistică. Ediția a IV-a. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
• Jürgen Elstrodt : Măsura și teoria integrării . Ediția a 6-a, corectată. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , doi : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 .