In medie

O valoare medie (de asemenea, doar medie ; un alt cuvânt înseamnă ) este un număr care este determinat din numere date conform unei anumite reguli aritmetice . Regulile de calcul pentru media aritmetică , geometrică și pătratică sunt comune . Cuvântul medie sau medie este folosit mai ales pentru a se referi la media aritmetică.

Valorile medii sunt cele mai des utilizate în statistici . Valoarea medie este o valoare caracteristică pentru tendința centrală a unei distribuții. Media aritmetică este strâns legată de valoarea așteptată a unei distribuții. În timp ce valoarea medie este determinată din valorile numerice specifice disponibile, valoarea așteptată se bazează pe frecvența teoretic așteptată.

poveste

În matematică, valorile medii, în special cele trei valori medii clasice (media aritmetică, geometrică și armonică), au apărut deja în antichitate. Pappos din Alexandria denotă zece valori medii diferite a două numere și ( ) prin valori speciale ale raportului distanței . Inegalitatea dintre media armonică, geometrică și aritmetică este, de asemenea, cunoscută și interpretată geometric în antichitate. În secolele al XIX-lea și al XX-lea, valorile medii joacă un rol special în analiză, în principal în legătură cu inegalități celebre și proprietăți funcționale importante precum convexitatea ( inegalitatea Hölder , inegalitatea Minkowski , inegalitatea lui Jensen etc.). Mijloacele clasice au fost generalizate în mai mulți pași, mai întâi la valorile de potență (a se vedea secțiunea medie generalizată de mai jos) și acestea la rândul lor la cvasi-medii aritmetice . Inegalitatea clasică între media armonică, geometrică și aritmetică se transformă în inegalități mai generale între mijloacele de putere sau mijloacele cvasiaritmetice. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle (bm) :( ma)}$

Vizualizarea mediei aritmetice

Vizualizarea mediei aritmetice cu un basculant.
Recalcularea fără dimensiune :
greutatea mingii este egală cu distanța până la punctul de pivot egalii și rezultate${\ displaystyle 5,}$${\ displaystyle \ triangle}$${\ displaystyle 2.1}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 5 \ times 2 + 5 \ times 1 = 5 \ times 3}$

Cea mai utilizată medie, media aritmetică, poate de ex. B. vizualizați cu bile la fel de grele pe un balansoar, care sunt echilibrate printr-un triunghi (punct de pivotare) datorită legilor pârghiei . Presupunând că greutatea fasciculului poate fi neglijată, poziția triunghiului care creează echilibrul este media aritmetică a pozițiilor mingii.

Definițiile celor trei valori medii clasice

În cele ce urmează, date reale , în statistici, de exemplu , valorile măsurate , a căror valoare medie trebuie calculată.${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$

Media aritmetică

Media aritmetică este suma valorilor date împărțită la numărul de valori.

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {arithm}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ dotsb + x_ {n}} {n}}}$

Media geometrică

În cazul numerelor care sunt interpretate nu pe baza sumei lor, ci pe baza produsului lor, se poate calcula media geometrică. Pentru a face acest lucru, numerele sunt înmulțite între ele și se ia rădăcina a n-a, unde n corespunde numărului de numere care trebuie mediat.

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {geom}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}} = { \ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ dotsm x_ {n}}}}$

Media armonică

Media armonică este utilizată atunci când numerele sunt definite în raport cu o unitate. Pentru a face acest lucru, numărul de valori este împărțit la suma valorilor reciproce ale numerelor.

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {harm}} = {\ frac {n} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i }}}}} = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + \ dotsb + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}$

Exemple de utilizare a diferitelor mijloace

Transportator de caracteristici ${\ displaystyle x}$	valoare
${\ displaystyle x _ {(1)}}$	3
${\ displaystyle x _ {(2)}}$	2
${\ displaystyle x _ {(3)}}$	2
${\ displaystyle x _ {(4)}}$	2
${\ displaystyle x _ {(5)}}$	3
${\ displaystyle x _ {(6)}}$	Al 4-lea
${\ displaystyle x _ {(7)}}$	5

Diagramă cu bare pentru exemple

Următorul este un exemplu al celor șapte intrări din dreapta în tabelul valorilor pentru a arăta unde este definită media.

Media aritmetică este utilizată, de exemplu, pentru a calcula viteza medie, astfel încât valorile sunt interpretate ca viteze: Dacă o broască țestoasă rulează mai întâi trei metri pe oră timp de o oră, apoi doi metri timp de trei ore și accelerează din nou la trei, patru și o oră cinci metri pe oră, media aritmetică pentru o distanță de 21 de metri în 7 ore este:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {x}} _ {\ mathrm {arithm}} & = {\ frac {1} {7}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {7} {x_ {i}} \\ & = {\ frac {(3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5) \, \ mathrm {m}} {7 \, \ mathrm {h}}} = { \ frac {21 \, \ mathrm {m}} {7 \, \ mathrm {h}}} = 3 \, \ mathrm {\ frac {m} {h}} \ end {align}}}$

Media armonică poate fi, de asemenea, utilă pentru calcularea unei viteze medii dacă măsurătorile nu sunt efectuate în același timp, dar pe aceleași distanțe. În acest caz, valorile din tabel indică momentele în care este parcursă o distanță uniformă: broasca țestoasă rulează primul metru la 3 metri pe oră, încă 3 m la 2 m / h fiecare și accelerează din nou pe ultimele 3 metri până la 3, 4 și respectiv 5 m / h. Viteza medie are ca rezultat o distanță de 7 metri în  ore: ${\ displaystyle {\ tfrac {157} {60}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {x}} _ {\ mathrm {harm}} & = {\ frac {7} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {7} {\ frac {1} {x_ {i}}}} \\ & = {\ frac {7 \, \ mathrm {m}} {\ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + { \ frac {1} {5}} \ right) \, \ mathrm {h}}} = {\ frac {7 \, \ mathrm {m}} {{\ frac {157} {60}} \, \ mathrm {h}}} \ approx 2 {,} 68 \, \ mathrm {\ frac {m} {h}} \ end {align}}}$

Media geometrică este utilizată pentru a calcula factorul mediu de creștere. Tabelul valorilor este astfel interpretat ca specificând factorii de creștere. De exemplu, o cultură bacteriană crește de cinci ori în prima zi, de patru ori în a doua, apoi de trei ori de două ori, iar în ultimele trei zile se dublează zilnic. Stocul după a șaptea zi este calculat utilizând alternativa, stocul final poate fi determinat cu media geometrică, deoarece ${\ displaystyle {\ text {Inventar inițial}} \ ori 5 \ ori 4 \ ori 3 \ ori 3 \ ori 2 \ ori \ ori 2 \ ori 2 = {\ text {Inventar final}}.}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {geom}} = {\ sqrt [{7}] {5 \ ori 4 \ ori 3 \ ori 3 \ ori 2 \ ori 2 \ ori 2}} = {\ sqrt [{7}] {1440}} \ approx 2 {,} 83}$

și așa este

${\ displaystyle {\ text {Stoc de deschidere}} \ cdot ({\ bar {x}} _ {\ mathrm {geom}}) ^ {7} = {\ text {Stoc de închidere}}.}$

O creștere zilnică a culturii bacteriene de 2,83 ori ar fi dus la același rezultat după șapte zile.

Definiția comună a celor trei valori medii clasice

Ideea pe care se bazează cele trei valori medii clasice poate fi formulată în termeni generali după cum urmează:

Cu media aritmetică căutați numărul pentru care ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m + m + \ dotsb + m = n \ cdot m = x_ {1} + x_ {2} + \ dotsb + x_ {n}}$

se aplică, prin care suma se extinde peste sumandele din stânga . Prin urmare, media aritmetică se referă la legătura aritmetică „sumă”. Folosind media aritmetică a barelor de diferite lungimi, se poate determina în mod clar una cu o lungime medie sau medie. ${\ displaystyle n}$

În media geometrică se caută numărul pentru care ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m \ cdot m \ dotsm m = m ^ {n} = x_ {1} \ cdot x_ {2} \ dotsm x_ {n}}$

se aplică, produsul din stânga extinzându-se asupra factorilor. Prin urmare, media geometrică se referă la legătura aritmetică „produs”. ${\ displaystyle n}$

Cele armonice medii rezolvă ecuația ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {m}} + {\ frac {1} {m}} + \ dotsb + {\ frac {1} {m}} = {\ frac {n} {m}} = {\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + \ dotsb + {\ frac {1} {x_ {n}}}}$

Conexiuni

Conexiune cu valoarea așteptată

Diferența generală dintre o valoare medie și valoarea așteptată este că valoarea medie se aplică unui set de date specific, în timp ce valoarea așteptată oferă informații despre distribuția unei variabile aleatorii . Important este legătura dintre acești doi parametri. Dacă setul de date la care se aplică media este un eșantion al distribuției variabilei aleatorii, media aritmetică este estimarea imparțială și consecventă a valorii așteptate a variabilei aleatoare. Deoarece valoarea așteptată corespunde primului moment al unei distribuții, valoarea medie este, prin urmare, adesea utilizată pentru a restricționa distribuția pe baza datelor empirice. În cazul distribuției normale utilizate frecvent, care este complet determinată de primele două momente, valoarea medie este deci de o importanță decisivă.

Relația dintre media aritmetică, armonică și geometrică

Reciprocitatea mediei armonice este egală cu media aritmetică a valorilor reciproce ale numerelor.

Căci valorile medii sunt legate între ele în felul următor: ${\ displaystyle n = 2}$

${\ displaystyle x _ {\ mathrm {harm}} = {\ frac {x _ {\ mathrm {geom}} ^ {2}} {x _ {\ mathrm {arithm}}}}}$

sau rezolvate în funcție de media geometrică

${\ displaystyle x _ {\ text {geom}} = {\ sqrt {x _ {\ text {arithm}} \ cdot x _ {\ text {harm}}}}.}$

Inegalitatea mijloacelor

Inegalitatea dintre media aritmetică și geometrică compară valorile media aritmetică și geometrică a două numere date: Întotdeauna se aplică variabile pozitive

${\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \ leq {\ bar {x}} _ {\ text {geom}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ text { aritm}} \ leq \ max (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}).}$

Inegalitatea poate fi extinsă și la alte valori medii, de ex. B. (pentru variabila pozitiva)

${\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \ leq {\ bar {x}} _ {\ text {harm}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ text { geom}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ text {arithm}} \ leq \ max (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}).}$

Există, de asemenea, o ilustrație grafică pentru două variabile (pozitive):

Dovada geometrică a inegalității pentru mijloacele a două variabile

Media geometrică urmează direct din teorema euclidiană a înălțimii și media armonică din teorema catetului euclidian cu relația

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ text {geom}} ^ {2} = {\ bar {x}} _ {\ text {harm}} \ cdot {\ bar {x}} _ {\ text {aritm}}.}$

Comparativ cu alte măsuri de tendință centrală

Comparație între mod, mediană și „medie” (de fapt: valoarea așteptată ) a două distribuții log-normale

O valoare medie este adesea utilizată pentru a descrie o valoare centrală a unui set de date. Există și alți parametri care îndeplinesc și această funcție, mediană și mod . Mediana descrie o valoare care împarte setul de date la jumătate, în timp ce modul specifică valoarea cu cea mai mare frecvență din setul de date. Comparativ cu mediana, media este mai susceptibilă la valori aberante și, prin urmare, mai puțin robustă . De asemenea, este posibil, deoarece mediana descrie o cuantilă a distribuției, ca aceasta să descrie o valoare din cantitatea inițială. Acest lucru este deosebit de interesant dacă numerele dintre datele date nu sunt semnificative pentru alte considerații - de exemplu fizice. Mediana este determinată în general folosind următoarea regulă de calcul.

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {med}} = {\ begin {cases} x _ {\ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}, și n {\ text {odd,}} \\ {\ frac {1} {2}} \ left (x _ {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)} + x _ {\ left ( {{\ frac {n} {2}} + 1} \ right)} \ right), & n {\ text {even.}} \ end {cases}}}$

Alte valori medii și funcții similare

Pondere înseamnă

Cele mai ponderate sau și medie ponderată valorile apar atunci când valorile individuale sunt atribuite ponderi diferite , cu care se varsă în ansamblu media ; De exemplu, dacă performanța orală și scrisă la un examen au diferite grade de influență în nota generală.

Definițiile exacte pot fi găsite aici:

• Media aritmetică ponderată
• Media geometrică ponderată
• Media armonică ponderată

Media pătrată și cubică

Alte mijloace care pot fi utilizate sunt media pătrată și media cubică . Pătratul mediu rădăcină este calculat utilizând următoarea regulă de calcul:

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {quadr}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dotsb + x_ {n} ^ {2}} {n}}} }$

Media cubică este determinată după cum urmează:

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {cubic}} = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {3}}}} = {\ sqrt [{3}] {\ frac {x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + \ dotsb + x_ {n} ^ {3}} {n}}}}$

Media logaritmică

Media logaritmică a și este definită ca ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {a, b, \ ln}}$${\ displaystyle x_ {a}}$${\ displaystyle x_ {b}}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {a, b, \ ln} = {\ frac {x_ {b} -x_ {a}} {\ ln ({\ frac {x_ {b}} {x_ { a}}})}}} = {\ frac {x_ {b} -x_ {a}} {\ ln (x_ {b}) - \ ln (x_ {a})}}}$

Pentru valoarea medie logaritmică se află între valoarea medie geometrică și aritmetică (pentru că nu este definită din cauza împărțirii la zero ). ${\ displaystyle x_ {a} \ neq x_ {b}}$${\ displaystyle x_ {a} = x_ {b}}$

Mediu câștigat și tăiat

Dacă se poate presupune că datele sunt contaminate de „ valori outliers ”, adică de câteva valori care sunt prea mari sau prea mici, datele pot fi fie tăiate, fie prin „winsorize” (numit după Charles P. Winsor ) iar media tăiată (sau trunchiată) (engl. medie trunchiată ) sau winsorisierten mean (engl. medie Winsorizată calculată). În ambele cazuri , valorile observației sunt mai întâi sortate în ordine crescătoare. Când tundeți, tăiați un număr egal de valori la începutul și la sfârșitul secvenței și calculați valoarea medie din valorile rămase. Pe de altă parte, când „câștigă dimensiunea”, valorile aberante de la începutul și sfârșitul secvenței sunt înlocuite cu următoarea valoare mai mică (sau mai mare) a datelor rămase. ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {t \ alpha}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {w \ alpha}}$

Exemplu: Dacă aveți 10 numere reale sortate în ordine crescătoare , media redusă de 10% este aceeași ${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {10}}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {t0 {,} 1} = {\ frac {x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} + x_ {5} + x_ {6} + x_ { 7} + x_ {8} + x_ {9}} {8}}.}$

Cu toate acestea, media winsorizată de 10% este aceeași

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {w0 {,} 1} = {\ frac {x_ {2} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} + x_ {5} + x_ { 6} + x_ {7} + x_ {8} + x_ {9} + x_ {9}} {10}}.}$

Aceasta înseamnă că media tăiată se află între media aritmetică (fără trunchiere) și mediana (trunchiere maximă). De obicei se utilizează o medie de 20% tăiată; Adică, 40% din date nu sunt luate în considerare pentru calcularea valorii medii. Procentul se bazează, în esență, pe numărul de valori anormale suspectate din date; pentru condiții pentru o reducere mai mică de 20%, se face referire la literatură.

Cuartila medie

Media quartilei este definită ca media primei și a treia quartile :

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {q} = {\ frac {{\ tilde {x}} _ {0 {,} 25} + {\ tilde {x}} _ {0 {,} 75} } {2}}.}$

Aici se referă la 25 -% - cuantilă (prima quartilă) și în conformitate cu 75 -% - cuantilă (a treia quartilă) a valorilor măsurate. ${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {0 {,} 25}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {0 {,} 75}}$

Media quartilei este mai robustă decât media aritmetică, dar mai puțin robustă decât mediana .

Mijlocul celei mai scurte jumătăți

Dacă cel mai scurt interval dintre toate intervalele este cu , atunci mijlocul său este (mijlocul celei mai scurte jumătăți). În cazul distribuțiilor simetrice unimodale , această valoare converge la media aritmetică.${\ displaystyle [a, b [}$${\ displaystyle F (b) -F (a) \ geq {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {ba} {2}}}$

Fonduri Gastwirth-Cohen

Media Gastwirth-Cohen utilizează trei cuantile din date: cuantila și cuantila cu greutate și mediana cu greutate : ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (1- \ alpha)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle 1-2 \ lambda}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {gc} = \ lambda {\ tilde {x}} _ {\ alpha} + (1-2 \ lambda) {\ tilde {x}} _ {0 {,} 5} + \ lambda {\ tilde {x}} _ {1- \ alpha}}$

cu și . ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 0 {,} 5}$${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 0 {,} 5}$

Sunt cazuri speciale

• media cvartilei cu , și${\ displaystyle \ alpha = 0 {,} 25}$${\ displaystyle \ lambda = 0 {,} 5}$
• Trimean cu , .${\ displaystyle \ alpha = 0 {,} 25}$${\ displaystyle \ lambda = 0 {,} 25}$

Zona înseamnă

Media intervalului ( engleză Mid-range ) este definită ca media aritmetică a celei mai mari și cele mai mici valori de observație:

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {b} = {\ frac {\ min _ {i} x_ {i} + \ max _ {i} x_ {i}} {2}}}$

Acest lucru este echivalent cu:

${\ displaystyle | {\ min _ {i} x_ {i} - {\ bar {x}} _ {b}} | = | {\ max _ {i} x_ {i} - {\ bar {x}} _ {b}} |}$

„A-înseamnă”

Pentru un vector real dat cu expresia ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n})}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 1}$

${\ displaystyle [a] = {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma} x _ {\ sigma (1)} ^ {a_ {1}} \ dotsm x _ {\ sigma (n )} ^ {a_ {n}},}$

unde se rezumă toate permutările lui , denumită „ medie” [ ] a numerelor reale nenegative . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {1, \ dotsc, n \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$

În acest caz , oferă exact media aritmetică a numerelor ; în acest caz , media geometrică rezultă exact. ${\ displaystyle a = (1,0, \ dotsc, 0)}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$${\ displaystyle a = \ left ({\ tfrac {1} {n}}, \ dotsc, {\ tfrac {1} {n}} \ right)}$

Inegalitatea Muirhead se aplică mijloacelor . ${\ displaystyle a}$

Exemplu: Fii și ${\ displaystyle a = \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {1} {6}} \ right)}$

${\ displaystyle x_ {1} = 4, \, x_ {2} = 5, \, x_ {3} = 6,}$apoi se ține și setul de permutări (în notare stenogramă) a este${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {6}} = 1}$${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$

${\ displaystyle S_ {3} = \ {1 \, 2 \, 3.1 \, 3 \, 2.2 \, 1 \, 3.2 \, 3 \, 1.3 \, 1 \, 2, 3 \, 2 \, 1 \ }.}$

Acest lucru are ca rezultat

${\ displaystyle {\ begin {align} {[a]} & = {\ frac {1} {3!}} \ left (x_ {1} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {2} ^ {\ frac {1} {3}} x_ {3} ^ {\ frac {1} {6}} + x_ {1} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {3} ^ {\ frac { 1} {3}} x_ {2} ^ {\ frac {1} {6}} + x_ {2} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {1} ^ {\ frac {1} {3 }} x_ {3} ^ {\ frac {1} {6}} + x_ {2} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {3} ^ {\ frac {1} {3}} x_ { 1} ^ {\ frac {1} {6}} + x_ {3} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {1} ^ {\ frac {1} {3}} x_ {2} ^ { \ frac {1} {6}} + x_ {3} ^ {\ frac {1} {2}} x_ {2} ^ {\ frac {1} {3}} x_ {1} ^ {\ frac {1 } {6}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {6}} \ left (4 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 5 ^ {\ frac {1} { 3}} {\ cdot} 6 ^ {\ frac {1} {6}} + 4 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 6 ^ {\ frac {1} {3}} {\ cdot} 5 ^ {\ frac {1} {6}} + 5 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 4 ^ {\ frac {1} {3}} {\ cdot} 6 ^ { \ frac {1} {6}} + 5 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 6 ^ {\ frac {1} {3}} {\ cdot} 4 ^ {\ frac {1} {6}} + 6 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 4 ^ {\ frac {1} {3}} {\ cdot} 5 ^ {\ frac {1} {6}} + 6 ^ {\ frac {1} {2}} {\ cdot} 5 ^ {\ frac {1} {3}} {\ cdot} 4 ^ {\ frac {1} {6}} \ right) \\ & \ approx 4 {,} 94. \ end {align}}}$

Medii mobile

Mediile mobile sunt utilizate în analiza dinamică a valorilor măsurate . Ele sunt, de asemenea, un mijloc comun de analiză tehnică în matematica financiară . Cu medii mobile, zgomotul stocastic poate fi filtrat din semnalele care progresează în timp . Adesea acestea sunt filtre FIR . Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că cele mai multe medii mobile vor întârzia semnalul real. Pentru filtrele predictive vezi de ex. B. Filtre Kalman .

Mediile mobile necesită de obicei o variabilă independentă care denotă mărimea eșantionului final sau greutatea valorii anterioare pentru mediile mobile exponențiale.

Mediile mobile obișnuite sunt:

• medii mobile aritmetice (medie mobilă simplă - SMA),
• medii mobile exponențiale ( Media mobilă exponențială - EMA)
• medii mobile duble exponențiale ( EMA dublă , DEMA),
• medii mobile triple, triple exponențiale ( Triple EMA - TEMA),${\ displaystyle n}$
• medii mobile ponderate liniare (ponderare liniară descrescătoare),
• medii mobile ponderate pătrate și
• alte ponderări: sinusoidală, triunghiulară, ...

În literatura financiară, pot fi găsite și așa-numitele medii mobile adaptive, care se adaptează automat la un mediu în schimbare ( volatilitate / răspândire diferită etc.):

• De asemenea, media mobilă adaptivă (KAMA) a lui Kaufmann
• Media dinamică a indexului variabil (VIDYA).

Pentru aplicarea mediilor mobile, a se vedea, de asemenea, medii mobile (Analiza diagramelor) și modelul MA .

Mijloace combinate

Valorile medii pot fi combinate; așa apare media aritmetică-geometrică , care se află între media aritmetică și cea geometrică.

Mijloace generalizate

Există o serie de alte funcții cu care pot fi generate valorile medii cunoscute și alte.

Titular înseamnă

Pentru numerele pozitive care definesc -Potenzmittelwert, de asemenea, media generalizată ( engleză -th power mean ) și ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (k) = {\ sqrt [{k}] {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {k}}}}.}$

Pentru că valoarea este definită prin adăugare continuă : ${\ displaystyle k = 0}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (0) = \ lim _ {k \ to 0} {\ bar {x}} (k)}$

Rețineți că atât notația, cât și eticheta sunt inconsistente.

De exemplu, rezultă media armonică, geometrică, aritmetică, pătratică și cubică. Căci există minimul, pentru maximul numerelor. ${\ displaystyle k = -1,0,1,2,3}$${\ displaystyle k \ to - \ infty}$${\ displaystyle k \ to + \ infty}$

În plus, următoarele se aplică numerelor fixe : cu cât este mai mare , cu atât este mai mare ; inegalitatea generalizată a valorilor medii rezultă apoi din aceasta ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ bar {x}} (k)}$

${\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm {harm}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm { geom}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm {arithm}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm {quadr}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm {cubic}} \ leq \ max (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}).}$

Loamer înseamnă

Media Lehmer este o altă medie generalizată; la stadiul prin care este definit ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle L_ {p} (a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc, a_ {n}) = {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p }} {\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p-1}}}.}$

Are cazurile speciale

• ${\ displaystyle \ lim _ {p \ to - \ infty} L_ {p} (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) = \ min (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}); }$
• ${\ displaystyle L_ {0} (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n})}$ este media armonică;
• ${\ displaystyle L_ {1/2} (a_ {1}, a_ {2})}$este media geometrică a și ;${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$
• ${\ displaystyle L_ {1} (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n})}$ este media aritmetică;
• ${\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ + \ infty} L_ {p} (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) = \ max (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) .}$

Stolarsky înseamnă

Media Stolarsky a două numere este definită de ${\ displaystyle a, c}$

${\ displaystyle S_ {p} (a, c) = \ left ({\ frac {a ^ {p} -c ^ {p}} {p (ac)}} \ right) ^ {1 / p-1} .}$

Reprezentare integrală conform lui Chen

Functia

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} x ^ {t + 1} \, \ mathrm {d} x} {\ int _ {a} ^ {b} x ^ {t} \, \ mathrm {d} x}}}$

rezultă pentru diverse argumente valorile medii cunoscute ale și :${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

• ${\ displaystyle f (-3) = {\ frac {2ab} {a + b}}}$ este media armonică.
• ${\ displaystyle f \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right) = {\ sqrt {ab}}}$ este media geometrică.
• ${\ displaystyle f (0) = {\ frac {a + b} {2}}}$ este media aritmetică.

Ecuația valorii medii rezultă din continuitatea și monotonia funcției astfel definite${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ underbrace {\ frac {2ab} {a + b}} _ {{\ text {prejudiciu. }} = f (-3)} \ leq \ underbrace {\ sqrt {ab}} _ {{\ text {geom. }} = f \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} \ leq \ underbrace {\ frac {ba} {\ ln b- \ ln a}} _ {{\ text {log. }} = f (-1)} \ leq \ underbrace {\ frac {a + {\ sqrt {ab}} + b} {3}} _ {{\ text {heron. }} = f \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right)} \ leq \ underbrace {\ frac {a + b} {2}} _ {{\ text {aritm. }} = f (0)}}$

Media unei funcții

Media aritmetică a unei funcții continue într-un interval închis este ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {N} f (x_ {i})} {N}} = {\ frac {1} {ba }} \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}$, unde este numărul de puncte de sprijin.${\ displaystyle N = {\ frac {ba} {\ Delta x}}}$

Pătratul mediu rădăcină al unei funcții continue este

${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \ mathrm {d} x}}.}$

Acestora li se acordă o atenție considerabilă în tehnologie, vezi echivalența și valoarea efectivă .

literatură

• F. Ferschl: statistici descriptive. 3. Ediție. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7 .
• PS Bulls: Manual de mijloace și inegalitățile lor. Kluwer Acad. Pub., 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (discuții ample despre valorile medii și inegalitățile asociate acestora).
• GH Hardy, JE Littlewood, G. Polya: Inegalități. Cambridge Univ. Presă, 1964.
• E. Beckenbach, R. Bellman: Inegalități. Springer, Berlin 1961.
• F. Sixtl: Mitul răutății . R. Oldenbourg Verlag, München / Viena 1996, ediția a II-a, ISBN 3-486-23320-3

Link-uri web

Wikționar: Valoare medie  - explicații privind semnificațiile, originea cuvintelor, sinonime, traduceri

Wiktionary: mean  - explicații ale semnificațiilor, originea cuvintelor, sinonime, traduceri

• Medie pe Scholarpedia (engleză)

Dovezi individuale

1. ↑ ^{a b} F. Ferschl: statistici descriptive. 3. Ediție. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7 . Pp. 48-74.
2. ↑ RK Kowalchuk, HJ Keselman, RR Wilcox, J. Algina: Procedee de comparație multiple, statistici reduse și Means Transformed . În: Journal of Modern Applied Statistical Methods . bandă 5 , 2006, p. 44-65 , doi : 10.22237 / jmasm / 1146456300 . 
3. ↑ RR Wilcox, HJ Keselman: Analiza puterii la compararea mijloacelor tăiate . În: Journal of Modern Applied Statistical Methods . bandă 1 , 2001, p. 24-31 , doi : 10.22237 / jmasm / 1020254820 . 
4. ↑ L. Davies: Caracteristici de date . În: Statistica Neerlandica . bandă 49 , 1995, pp. 185-245 , doi : 10.1111 / j.1467-9574.1995.tb01464.x . 
5. ↑ Gastwirth JL, Cohen ML (1970) Comportamentul eșantionului mic al unor estimatori lineari robusti de localizare . J Amer Statist Assoc 65: 946-973, doi : 10.1080 / 01621459.1970.10481137 , JSTOR 2284600
6. ↑ Eric W. Weisstein : Lehmer Mean . În: MathWorld (engleză).
7. ^ H. Chen: Mijloace generate de un integrant. În: Revista de matematică. Vol. 78, nr. 5 (decembrie 2005), pp. 397-399, JSTOR 30044201 .