Transformare de undă

Ca transformare wavelet ( WT , wavelet engleză transformă o familie de transformări liniare) în timp - frecvență - transformări în științele matematicii și ingineriei (primar: telecomunicații , informatică ), respectiv. WT este alcătuit din analiza wavelet, care denotă tranziția de la reprezentarea timpului la reprezentarea spectrală sau wavelet, și sinteza wavelet, care denotă transformarea inversă a waveletului transformat în reprezentarea timpului.

Termenul wavelet descrie funcția de bază utilizată pentru transformare , cu care semnalul sau imaginea de analizat - în general o funcție N-dimensională - este „comparată”.

Rădăcinile școlii wavelet sunt în Franța, unde a fost inventat termenul inițial francez ondelette , dar omologul său wavelet a devenit ulterior numele jocului. Tradus în limba germană, înseamnă ceva de genul wavelet val mic sau ondulație și exprimă faptul că, spre deosebire de transformarea Fourier, valuri sau funcții sunt localizate temporal utilizate ca bază, care permite timpul și rezoluția de frecvență menționate mai sus. La fel ca toate transformările liniare timp-frecvență, transformata de undă este, de asemenea, supusă relației de incertitudine a ingineriei comunicațiilor , adică H. un eveniment nu poate fi localizat în același timp în termeni de timp și frecvență. Există întotdeauna un singur compromis între rezoluția temporală bună sau rezoluția bună în domeniul frecvenței.

Transformarea undelor este în primul rând împărțită în două tabere, și anume transformarea continuă a undelor, care are principala sa aplicație în matematică și analiza datelor, și transformarea undelor discrete, care este mai probabil să se regăsească în inginerie și aplicarea sa în zona de reducerea datelor, compresia datelor și prelucrarea semnalului minciuni (a se vedea).

funcționalitate

Transformata wavelet poate fi văzută ca o îmbunătățire a transformatei Fourier pe termen scurt (STFT).

Deficiențele transformate de Fourier pe termen scurt

Cu STFT, o funcție de fereastră este aplicată semnalului care urmează să fie examinat - de exemplu curba clopot Gaussian ca în transformarea Gabor . Pentru fiecare punct al STFT, fereastra este deplasată la punctul de timp care trebuie luat în considerare și la frecvența de luat în considerare (modulație în domeniul timpului). Durata absolută și lățimea de bandă a ferestrei („lățimea” în domeniile de timp și frecvență) - și, astfel, rezoluția - nu se modifică ca urmare.

Rezoluțiile din domeniile de timp și frecvență depind doar de forma ferestrei. Datorită incertitudinii timp-frecvență, rezoluția în domeniul timpului este invers proporțională cu rezoluția din domeniul frecvenței. Prin urmare, cea mai bună rezoluție posibilă nu poate fi atinsă în același timp în domeniul timpului și în domeniul frecvenței. Dacă un semnal conține componente de frecvență atât la frecvențe înalte, cât și la frecvențe joase, s-ar dori să se obțină o rezoluție bună (absolută) a frecvenței la frecvențe joase , deoarece o mică schimbare de frecvență absolută este foarte importantă aici. Cu o frecvență înaltă, o rezoluție bună a timpului este mai importantă, deoarece o oscilație completă necesită mai puțin timp și frecvența instantanee se poate schimba mai rapid.

Pentru un semnal cu componente de frecvență la 1 Hz și 1 kHz, pentru care frecvența ar trebui rezolvată la 10%, este necesară o rezoluție de frecvență de 0,1 Hz la 1 Hz. La 1 kHz, aceasta corespunde unei rezoluții de 0,01% - o rezoluție atât de bună nu este necesară aici. Pe de altă parte, la 1 kHz, semnalul efectuează zece oscilații complete în 10 ms. Pentru a putea rezolva modificările de frecvență în această perioadă, este necesară o rezoluție de timp mai mare de 10 ms. La 1 Hz acest timp corespunde doar unei sutimi de oscilație. Prin urmare, o astfel de rezoluție temporală bună nu este necesară aici. La frecvențe joase, se dorește o rezoluție de frecvență bună, acceptând o rezoluție de timp slabă și la frecvențe înalte o rezoluție de timp bună, cu o rezoluție de frecvență mai slabă. Transformarea Fourier pe termen scurt nu face acest lucru.

Rezumatul modului în care funcționează

La fel ca în cazul STFT, o funcție de fereastră este aplicată semnalului investigat. Cu toate acestea, în loc să mișcați și să modulați fereastra (schimbarea în domeniul frecvenței) (ca și în cazul STFT), fereastra este deplasată și scalată. Ca și în cazul modulației, scalarea are ca rezultat și o schimbare de frecvență, dar în același timp cu creșterea frecvenței, durata („lățimea” în domeniul timp) a ferestrei este redusă. Acest lucru are ca rezultat o rezoluție temporală mai bună la frecvențe mai mari. La frecvențe joase, rezoluția de frecvență este mai bună, dar rezoluția de timp este mai proastă.

Transformare continuă a undelor

Morlet wavelet , exemplu de funcție wavelet (definit în mod similar cu un pachet de unde Gaussian )${\ displaystyle \ psi (t)}$

Transformarea continuă a undelor unui semnal sinusoidal cu o schimbare bruscă a frecvenței

Transformarea ondulată continuă (CWT, engl. Transformarea ondulată continuă ) este dată de

${\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {\ psi} x (a, b) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} { \ overline {\ psi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right)}} x (t) \; dt.}$

Este

• ${\ displaystyle x (t)}$: funcția care urmează să fie transformată, de exemplu un semnal audio sau imagine
• ${\ displaystyle \ psi (t)}$: Funcția Wavelet ( wavelet mama engleză ) care poate fi selectată diferit în funcție de aplicație
• ${\ displaystyle b}$: Parametri de traducere pentru scanarea datelor în dimensiunea temporală sau spațială${\ displaystyle x (t)}$
• ${\ displaystyle a}$: Parametru de scalare care scanează datele pe diferite intervale de frecvență

Cu familia wavelet derivată din wavelet-ul Mamei${\ displaystyle \ psi (t)}$

${\ displaystyle \ psi _ {ab} = {\ frac {1} {a}} \ psi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right)}$

transformarea continuă a undelor poate fi exprimată compact ca un produs scalar

${\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {\ psi} x (a, b) = \ langle \ psi _ {ab}, x \ rangle}$

scrie.

Proprietățile undelor

O wavelet este o funcție pătrată integrabilă care poate fi selectată relativ liber. În general, există o altă cerință tehnică pentru un wavelet, condiția de admisibilitate : ${\ displaystyle \ psi (t)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {| {\ hat {\ psi}} (\ omega) | ^ {2}} {| \ omega |}} d \ omega < \ infty}$

Aici numită transformată Fourier a . Condiția de admisibilitate este necesară pentru demonstrarea unor teoreme și proprietăți centrale, motiv pentru care este adesea inclusă în definiția unui wavelet. ${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ omega)}$${\ displaystyle \ psi (t)}$

O consecință directă a admisibilității este că transformata Fourier a ondulei dispare la punctul 0:

${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ omega = 0) = 0}$

De asemenea, rezultă că primul moment al waveletului, adică valoarea sa medie, dispare:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) \; dt = 0}$

Sinteza undelor

Funcția originală x (t) poate fi recuperată din transforma de undă până la o constantă aditivă folosind formula de reconstrucție

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {c _ {\ phi \ psi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \! {\ frac {da} {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \! \! db \; {\ mathcal {W}} _ {\ psi} x (a, b) {\ frac {1} {a}} \ phi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right),}$

Cu

${\ displaystyle c _ {\ phi \ psi} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {d \ omega} {\ omega}} {\ overline {{\ hat {\ phi}} (\ pm \ omega)}} {\ hat {\ psi}} (\ pm \ omega) \; d \ omega.}$

Este funcția de undă dublă . ${\ displaystyle \ phi (t)}$${\ displaystyle \ psi (t)}$

Reproducerea nucleului

Wavelet a wavelet în sine este denumit nucleul de reproducere . Astfel desemnat

${\ displaystyle K _ {\ psi} (a, b) = \ langle \ psi _ {ab}, \ psi \ rangle}$

miezul ondulei . ${\ displaystyle \ psi}$

Nucleul poartă atributul care se reproduce, deoarece transforma wavelet este reprodusă sub convoluția cu nucleul, adică transforma wavelet este invariantă sub convoluția cu nucleul. Această pliere este dată de

${\ displaystyle (K _ {\ psi} * {\ mathcal {W}} _ {\ psi} x) (a, b) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! {\ frac {da ' } {a '}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \! \! db' \; {\ frac {1} {a '}} K _ {\ psi} \ left ({ \ frac {a} {a '}}, {\ frac {b-b'} {a '}} \ right) ({\ mathcal {W}} _ {\ psi} x) (a, b).}$

Aceasta nu este o convoluție obișnuită, deoarece nu este comutativă; cu toate acestea, este asociativ.

Nucleului de reproducere i se dă o altă semnificație importantă, deoarece specifică corelația minimă dintre două puncte (a, b) și (a ', b') în spațiul wavelet. Acest lucru poate fi demonstrat prin luarea în considerare autocorelare de zgomot alb în spațiul wavelet. Dacă notăm un zgomot alb gaussian cu varianța 1, atunci autocorelația sa este dată de . Corelația în spațiul de undă este atunci (fără a efectua calculul) ${\ displaystyle \ xi (t)}$${\ displaystyle \ langle \ xi (t) \ xi (t ') \ rangle = \ delta (t, t')}$

${\ displaystyle \ langle ({\ overline {{\ mathcal {W}} _ {\ psi} \ xi (a ', b')}} {\ mathcal {W}} _ {\ psi} \ xi (a, b) \ rangle = {\ frac {1} {a '}} K _ {\ psi} \ left ({\ frac {1} {a'}}, {\ frac {bb '} {a'}} \ dreapta),}$

deci tocmai dat de miezul reproducător.

Transformată discretă de undă

• Transformarea discretă a undelor sau DWT este o transformare a undelor care se efectuează într-un mod discret de timp și frecvență.
• S - a demonstrat că informațiile în ciuda reducerii la un subset discret în rămân intacte.${\ displaystyle \ {(a, b) = (\ alpha ^ {k}, l \, \ beta \, \ alpha ^ {- k}): \; k, l \ in \ mathbb {Z} \} \ subset \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ alpha> 1, \ beta> 0}$
• Un DWT poate fi implementat foarte eficient ca o serie de filtre discrete în timp ; transformarea continuă a undelor este practic calculată în acest fel.

Transformare rapidă a undelor

• Rapid wavelet (Engl. Aproape wavelet , FWT ) este un algoritm care utilizează teoria de analiză multi-scară unelte discrete wavelet. Formarea produsului interior al semnalului cu fiecare undă este înlocuită de împărțirea succesivă a semnalului în benzi de frecvență . Aceasta reduce complexitatea transformării undelor de la (cf. transformare Fourier rapidă ) la .${\ displaystyle O (N \ log N)}$${\ displaystyle O (N)}$

Transformarea pachetelor Wavelet și cele mai bune algoritmi de bază

Wavelet Transformarea pachetelor este o extensie a transformarii wavelet rapide (FWT) , în care nu numai canalul de trecere joasă , dar , de asemenea , canalul trece-bandă este împărțită în continuare prin intermediul băncii de filtru wavelet. Aceasta poate fi utilizată pentru a converti un DWT standard cu 2 canale, cum ar fi B. undele Daubechies pentru a obține un canal M DWT, unde M este o putere de 2; exponentul se numește adâncimea arborelui de pachete. Această metodă este utilizată în transmisia de date în bandă largă ca alternativă la transformarea Fourier rapidă .

Dacă zgomotul alb este transformat ca semnal de intrare în FWT într-o etapă de recursivitate , rezultatul este din nou zgomot alb datorită naturii ortogonale a DWT, energia (= suma pătrată a probelor) fiind distribuită uniform între canale de trecere și band-pass. Dacă se ia cea mai mare abatere posibilă de la acest comportament, i. H. cea mai completă concentrație posibilă a energiei semnalului pe unul dintre cele două canale, ca criteriu de decizie dacă canalul de intrare ar trebui să fie împărțit și dacă această metodă este continuată pentru canalele împărțite, o variantă a unei metode best-base este creată.

Aplicații importante

• Compresia imaginilor și a compresiei video : compresia cu undă
• Rezolvarea ecuațiilor diferențiale
• Procesare semnal

poveste

• First wavelet ( Haar wavelet ) de Alfréd Haar (1909)
• Din anii 1950: Jean Morlet și Alex Grossmann
• Din anii 1980: Yves Meyer , Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies , Ronald Coifman , Victor Wickerhauser

Vezi si

• Transformarea discretă a cosinusului
• Transformată Fourier discretă
• Transformată Fourier
• Transformarea staționară a undelor
• Transformare rapidă a undelor

Link-uri web

• Wavelets for Kids - Introducere (engleză; PDF; 2,77 MB)
• Ghidul final al inginerului pentru analiza wavelet de Robi Polikar (engleză) - Explicația transformării wavelet cu motivație, care este ușor de înțeles pentru persoanele cu cunoștințe despre transformata Fourier
• Colecție de linkuri către wavelets
• Pagina principală Wavelet Digest

Dovezi individuale

1. ↑ Strutz: Comprimarea datelor de imagine. SpringerVieweg, 2009