Paradoxul Banach-Tarski

O sferă poate fi împărțită într-un număr finit de părți, din care pot fi puse împreună două sfere de aceeași dimensiune cu originalul.

Paradoxul Banach-Tarski sau , de asemenea, Banach și Tarski teorema este o declarație de matematică care demonstrează că noțiunea de volum nu poate fi generalizat la orice set de punct . Apoi puteți împărți o sferă în trei sau mai multe dimensiuni astfel încât părțile sale să poată fi unite din nou pentru a forma două sfere fără sudură, fiecare dintre acestea având același diametru ca și cea originală. Volumul se dublează fără a arăta clar modul în care ar trebui creat volumul din nicăieri prin acest proces. Acest paradox demonstrează că modelul matematic al spațiului ca punct stabilit în matematică are aspecte care nu pot fi găsite în realitatea fizică.

Explicaţie

Paradoxul este explicat formal matematic prin faptul că părțile sferice sunt atât de complicate încât volumul lor nu mai poate fi definit într-un sens adecvat. Mai precis: este imposibil să se definească un conținut care este invariant în mișcare pe setul tuturor subseturilor de spațiu tridimensional , care atribuie un volum inegal la zero sau infinit bilelor. Un conținut este o funcție care atribuie un număr real pozitiv sau infinit fiecărui set dintr-un interval dat de seturi , numit volumul setului, astfel încât, în special, volumul unirii a două seturi care nu se suprapun este egal cu suma volumelor seturilor individuale. Un conținut este invariant de mișcare dacă volumul unui set nu se modifică atunci când este rotit, deplasat și oglindit. Fiecare concept matematic de volum care se presupune a fi un conținut invariant de mișcare sau chiar o măsură invariantă de mișcare trebuie, prin urmare, să fie restricționat în așa fel încât să nu fie definit pentru anumite seturi, cum ar fi aceste seturi în care sfera poate fi descompusă. Volumul este apoi definit doar pentru mulțimile care se află în σ-algebra lui Borel sau sunt măsurabile în Lebesgue . Aceste cantități nu contează pentru acest lucru. Într-un anumit sens, ele sunt infinit filigranate și poroase sau ca un nor de praf. Existența matematică a unor astfel de seturi nu este de la sine înțeles: Pentru a dovedi existența unor subseturi incomensurabile în - dimensionale , reale spațiu unul are nevoie de axioma de alegere sau mai slabe forme ale acesteia, care nu pot fi derivate din teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel . Seturile de puncte măsurabile, totuși, se comportă aditiv în ceea ce privește volumul lor. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Matematicienii polonezi Stefan Banach și Alfred Tarski au efectuat o dovadă matematică a existenței în 1924 și au arătat că, în cazul sferei, este suficientă descompunerea ei în doar șase părți. Ceea ce este imposibil, cu toate acestea, este o dovadă constructivă în sensul unei instrucțiuni despre cum o sferă este de fapt tăiată în șase părți pentru a le putea pune împreună în două sfere de același volum.

Formulare generală

Într-o formulare mai generală a acestei teoreme, corpurile de început și de sfârșit pot diferi prin orice factor de volum și, în afară de anumite restricții, pot avea, de asemenea, orice formă diferită. Formularea generală a acestei teoreme matematice în spații cu trei sau mai multe dimensiuni este:

Să fie un număr întreg și să fie seturi mărginite cu interioare ne-goale . Apoi, există un număr natural și o descompunere disjunctă a mișcărilor asociate, astfel încât este uniunea disjunctă a mulțimilor . ${\ displaystyle d \ geq 3}$${\ displaystyle X, Y \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ dots, \ beta _ {n}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ beta _ {1} (X_ {1}), \ dots, \ beta _ {n} (X_ {n})}$

Schiță de dovezi

Nucleul demonstrației se bazează pe teoria grupurilor, deoarece rotațiile în spațiu pot fi descrise matematic ca elemente ale unui grup care sunt legate între ele și pot opera pe alte obiecte:

Combinația mai multor rotații este la rândul ei o rotație.

Operațiunea de legătură este asociativă.

Într-un lanț de verigă , elementele învecinate sunt eliminate și pentru că sunt inverse între ele. Acest lucru se aplică și rotațiilor.${\ displaystyle g_ {1} \ dots g_ {i} g_ {i} ^ {- 1} \ dots g_ {n}}$${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i} ^ {- 1}}$

Rotațiile funcționează pe puncte sau seturi de puncte din spațiu schimbându-și poziția.

Un subset al unui grup creează un subgrup legând elementele subsetului și inversele acestora în toate combinațiile posibile. Dacă subsetul este finit, se spune că un astfel de subgrup este generat finit. Rotația cu 120 ° ( ), de exemplu, creează un subgrup de trei elemente și este izomorfă pentru grupul ciclic . În principiu, este posibil ca elementele subgrupurilor create în acest mod să aibă reprezentări multiple în ceea ce privește legătura dintre producători. Cu toate acestea, pentru dovada paradoxului Banach-Tarski este nevoie de un grup în care acest lucru nu este cazul. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ {1, \ phi, \ phi ^ {2} \}}$${\ displaystyle C_ {3}}$

Grupul liber cu generatoarele sale și este format în mod abstract din cuvinte deasupra alfabetului în care nu există inversuri adiacente. Conexiunea grupului reprezintă concatenarea, prin care orice perechi inverse care au apărut sunt eliminate în mod iterativ până când astfel de perechi nu mai apar în cuvântul conectat. Cuvântul gol reprezintă elementul neutru al grupului. Reprezentarea fiecărui element ca un cuvânt scurtat este clară. ${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle E: = \ {a, a ^ {- 1}, b, b ^ {- 1} \}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle F_ {2}}$

(În cele din urmă) grupurile create pot fi vizualizate cu ajutorul unui grafic Cayley. Colțurile graficului sunt elemente ale grupului, marginile sunt asociate cu un generator. În graficul Cayley există o margine direcționată etichetată de la colț la colț dacă și numai dacă un generator este și se aplică. Graficul lui Cayley este un triunghi, deci este finit și are un cerc, în timp ce graficul lui Cayley are un număr infinit de colțuri și margini, dar nu are cercuri. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle xg = y}$${\ displaystyle C_ {3}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

Acum definim seturile și . ${\ displaystyle S (a), S (a ^ {- 1}), S (b)}$${\ displaystyle S (b ^ {- 1})}$

${\ displaystyle S (a)}$scoateți setul tuturor cuvintelor care încep cu în stânga , în mod analog cu celelalte seturi S. Este important să ne dăm seama că pentru fiecare cuvânt , reprezentarea este abreviată conform cerințelor de mai sus. ${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle ag_ {1} \ dots \ în S (a), g_ {1} \ neq a ^ {- 1}}$

Mulțimile S ( a ), S ( a ⁻¹ ) și aS ( a ⁻¹ ) din graficul Cayley al lui F ₂

Se aplică următoarea descompunere disjunctă:

${\ displaystyle F_ {2} = \ {e \} \ cup S (a) \ cup S (a ^ {- 1}) \ cup S (b) \ cup S (b ^ {- 1})}$

Dar se aplică și

${\ displaystyle F_ {2} = aS (a ^ {- 1}) \ cup S (a), \,}$

și

${\ displaystyle F_ {2} = bS (b ^ {- 1}) \ cup S (b) \,}$,

Acolo

${\ displaystyle {\ begin {align} aS (a ^ {- 1}) &: = \ {ax | x \ in S (a ^ {- 1}) \} = \ {aa ^ {- 1} \} \ cup \ {ax | x = a ^ {- 1} g_ {0} \ dots, a \ neq g_ {0} \ in E \} \\ & = \ {e \} \ cup \ {aa ^ {- 1} g_ {0} \ dots | a \ neq g_ {0} \ in E \} = \ {e \} \ cup S (b) \ cup S (b ^ {- 1}) \ cup S (a ^ {-1}) \ end {align}}}$

și

${\ displaystyle {\ begin {align} bS (b ^ {- 1}) &: = \ {bx | x \ in S (b ^ {- 1}) \} = \ {bb ^ {- 1} \} \ cup \ {bx | x = b ^ {- 1} g_ {0} \ dots, b \ neq g_ {0} \ in E \} \\ & = \ {e \} \ cup \ {bb ^ {- 1} g_ {0} \ dots | b \ neq g_ {0} \ in E \} = \ {e \} \ cup S (a) \ cup S (b ^ {- 1}) \ cup S (a ^ {-1}). \ End {aliniat}}}$

Această descompunere paradoxală a este esențială pentru dublarea ulterioară a sferei. ${\ displaystyle F_ {2}}$

Dar mai întâi trebuie să găsim rotații care se comportă ca grupul liber . Grupurile de rotație ca acestea nu sunt potrivite, iar generatoarele care reprezintă o rotație în jurul unghiului sunt, de asemenea , inadecvate , deoarece dacă da , atunci grupul creat are cel mult elemente. Să întoarcem o fracție irațională de , de ex. B. cu și să fie o rotație corespunzătoare în jurul axei x, precum și una în jurul axei y, atunci se poate arăta că grupul creat este izomorf . ${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle C_ {3}}$${\ displaystyle q \ pi, q \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle q = {\ tfrac {k} {n}}}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ tfrac {1} {3}} \ right)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle F_ {2}}$

Elementele grupului pot opera pe obiecte și seturi de obiecte; aici se presupune că rotațiile fac acest lucru pe puncte din spațiu. Fii o mulțime pe care acționează un grup . Atunci operația este o funcție și, pentru una solidă, calea de jos . Transferat la rotații este setul tuturor punctelor care pot fi atinse din punctul de plecare prin toate rotațiile imaginabile . Deși graficul Cayley descrie relațiile dintre elementele grupului, ajută la vizualizarea căii unui obiect. Dacă considerați intersecția elementului neutru ca un obiect pe care operează, atunci setul tuturor intersecțiilor din graficul Cayley este, ca să spunem așa, traiectoria (în anumite condiții, a se vedea mai jos). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M \ to M: m \ mapsto gm}$${\ displaystyle Gm: = \ {gm | g \ în G \}}$${\ displaystyle m \ în M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F_ {2} m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle m}$

Să H fie grupul izomorfe de rotație , care este pe unitatea de sferă , adică H. suprafața sferei unitare funcționează. Mulțimea tuturor orbitelor din H pe o partiție . Toate orbitele sunt disjuncte în perechi și unirea lor se produce singură. Axioma de alegere ne permite să alegem un reprezentant din fiecare orbită, deci să fie ansamblul acestor reprezentanți. Fii mai departe ${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle S (a) M = \ {gm | g \ in S (a), m \ in M ​​\}}$, analog pentru ${\ displaystyle S (b), \ dots}$

${\ displaystyle B = a ^ {- 1} M \ cup a ^ {- 2} M \ cup \ dots}$

${\ displaystyle A_ {1} = S (a) M \ cup M \ cup B}$

${\ displaystyle A_ {2} = S (a ^ {- 1}) M \ setminus B}$

${\ displaystyle \ displaystyle A_ {3} = S (b) M}$

${\ displaystyle \ displaystyle A_ {4} = S (b ^ {- 1}) M}$

Seturile care sunt disjuncte în perechi și formează sfera completă (cu excepția unui set zero) . Se aplică următoarele: ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {4}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$

${\ displaystyle \ displaystyle aA_ {2} = A_ {2} \ cup A_ {3} \ cup A_ {4}}$

${\ displaystyle \ displaystyle bA_ {4} = A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup A_ {4}}$

Triplarea cantităților și rezultatele din proprietatea cantităților S definite anterior, care se reflectă și în graficul Cayley. Dacă elementele roșii sunt „rotite spre dreapta”, cantitatea de elemente albastre se obține din . ${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {4}}$${\ displaystyle S (a ^ {- 1})}$${\ displaystyle aS (a ^ {- 1})}$

În cele din urmă, conectăm fiecare punct al sferei cu o rază la originea sferei unitare. Descompunerea sferei induce o descompunere a sferei (până la origine), care poate fi rotită la două sfere ale volumului sferei originale. ${\ displaystyle S ^ {2}}$

Alte aspecte

Schița de dovezi de mai sus a ascuns unele aspecte care trebuie luate în considerare pentru o dovadă completată. Setul de puncte transversale din graficul Cayley este doar traiectoria punctului central de mai jos dacă operația nu are puncte fixe, adică H. dacă pentru toate . Pentru rotații, aceasta este aproape corectă, cu excepția celor doi poli de rotație. Cu toate acestea, deoarece H este numărabil și fiecare H are exact două puncte fixe, numai un număr numărabil de puncte nu sunt rotite atunci când se rotesc. Se poate arăta, totuși, că dacă (pentru ceva numărabil ) are o descompunere paradoxală, există și pentru unul (paradoxul Hausdorff). ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle gm \ neq m}$${\ displaystyle g \ în F_ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle g \ in}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2} \ setminus D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle S ^ {2}}$

Situația într-una și în două dimensiuni

Această teoremă nu este valabilă în plan și pe linia dreaptă. Există un conținut invariant de mișcare pe setul tuturor subseturilor, care atribuie cercuri sau linii zonelor sau lungimilor lor obișnuite. Cu toate acestea, acestea cu greu joacă un rol în matematică, deoarece nu sunt clar definite de ariile cercurilor sau lungimile liniilor și nu sunt dimensiuni, adică H. unirea numărabil multe seturi care nu se suprapun pot avea un conținut diferit decât suma (în sensul unei serii ) a conținutului individuale. Cu toate acestea, această proprietate a dimensiunilor este necesară în foarte multe situații, motiv pentru care unul este de obicei mulțumit cu conținut în dimensiunea unică și bidimensională, care sunt definite doar pe anumite subseturi, dar sunt chiar dimensiuni. Inexistența unei măsuri invariante de mișcare pe ansamblul tuturor subseturilor de linie dreaptă sau plan este arătată (folosind axioma de alegere) de teorema lui Vitali cu existența așa-numitelor mulțimi Vitali .

În 1990, Miklós Laczkovich a reușit să arate că pentru unele suprafețe se aplică cel puțin o propoziție similară cu cea de mai sus, dar fără „paradoxul” unei schimbări de volum. În conformitate cu aceasta, două suprafețe de aceeași dimensiune cu o margine suficient de netedă au, de asemenea, aceeași descompunere. În acest sens, este posibil, de exemplu, să pătrăm cercul , deși nu cu busolă și riglă. Numărul de piese necesare pentru o soluție constructivă a fost estimat de Laczkovich în jur , deși dimensiunile părților mai mari nu au fost clar definite în conformitate cu Laczkovich. ${\ displaystyle 10 ^ {50}}$

Cu toate acestea, fără o formă de axiomă de alegere, teorema nu poate fi dovedită. În 1970 , Robert M. Solovay a fost în măsură să demonstreze, presupunând existența unui număr cardinal imposibil de găsit , că un model al teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel există în care toate seturile sunt Lebesgue măsurabile . Este chiar posibil să se mențină valabilitatea unei versiuni slăbite a axiomei alegerii, și anume axioma alegerii dependente (DC), care este suficientă pentru multe dovezi ale analizei elementare. În plus, s-ar putea realiza în acest model că fiecare subset al numerelor reale are proprietatea Baire și că fiecare subset mult nenumărat al numerelor reale conține un subset perfect ne-gol . Aceste două afirmații contrazic și axioma generală a alegerii.

literatură

• Leonard M. Wapner: Faceți 2 din 1 . Cum dublează bilele matematicienii. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-8274-1851-7 ( Articol despre spectru despre carte [accesat la 5 mai 2012] Engleza americană: Mazărea și soarele. Traducere de Harald Höfner și Brigitte Post, solicitant , dar pentru non-matematicieni prezentarea ușor de înțeles a teoremei lui Banach-Tarski, inclusiv elementele de bază necesare teoretice). 
• Stefan Banach, Alfred Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes . În: Fundamenta Mathematicae . bandă 6 , 1924, ISSN  0016-2736 , pp. 244-277 ( text integral [PDF; accesat la 5 mai 2012]). 

Link-uri web

• Reinhard Winkler: Cum faci 2 din 1? - Derivarea utilizând mijloacele de matematică școlară, în versiuni html și pdf .
• Miracolul sferei - Paradoxul Banach-Tarski pe planeta matematică, printre altele, cu o construcție a descompunerii necesare a sferei.
• Thomas Neukirchner Paradoxul Banach-Tarski , fișier PDF
• Vsauce.Paradoxul Banach - Tarski. Explicații de știință populară în limba engleză . pe YouTube

Dovezi individuale

1. ↑ Jürgen Elstrodt : Măsura și teoria integrării . Springer , Berlin, Heidelberg 1996, ISBN 3-540-15307-1 , pp. 4 .