Conjectură catalană

Catalană conjectura este o propunere din ramura matematică a teoriei numerelor . Se bazează pe observația că, în afară de puteri și nu se cunosc alte puteri reale care diferă cu exact 1. În 1844, Eugène Charles Catalan a prezentat supoziția catalană numită după el, potrivit căreia nu există alte potențiale reale cu această proprietate: ${\ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$${\ displaystyle 3 ^ {2} = 9}$

Singura soluție întreagă a ecuației cu este , , și .${\ displaystyle x ^ {p} -y ^ {q} = 1}$${\ displaystyle x, p, y, q> 1}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle p = 2}$${\ displaystyle y = 2}$${\ displaystyle q = 3}$

Abia după 150 de ani această presupunere a fost dovedită de Preda Mihăilescu în 2002 .

istorie

Chiar înainte de catalană, problemele conexe erau tratate. În jurul anului 1320 Levi ben Gershon a demonstrat : Dacă puterile 2 și 3 diferă cu 1, atunci 8 și 9 sunt singurele soluții.

Leonhard Euler (1707–1783) a arătat că există o singură soluție și există. ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {3} = 1}$${\ displaystyle a = 3}$${\ displaystyle b = 2}$

Conjectura lui Catalan generalizează ecuația lui Euler la puterile generale. Conjectura sa a fost publicată în 1844 în Journal for Pure and Applied Mathematics ca scrisoare către editor.

Ulterior s-au găsit câteva rezultate parțiale interesante pentru cazul în care afirmația catalană nu se aplică, adică că există alte soluții netriviale la ecuație.

În 1976, Robert Tijdeman a arătat că cel mult finit multe cifre satisfac ecuația.

În 1998, Ray Steiner a arătat următoarea proprietate pentru o posibilă soluție: Fie și îndeplinesc anumite condiții de divizibilitate ( condiția numărului clasei ) sau și sunt numere prime Wieferich duble , adică îndeplinesc condiția ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle p ^ {q-1} \ equiv 1 \ {\ rm {mod}} \ q ^ {2}}$ și ${\ displaystyle q ^ {p-1} \ equiv 1 \ {\ rm {mod}} \ p ^ {2}}$

În 2000, Maurice Mignotte a dat o limită superioară pentru soluții și : q <7,15 × 10 ¹¹ , p <7,78 × 10 ¹⁶ . ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$

În aprilie 2002, Preda Mihăilescu , care era atunci angajată la Universitatea din Paderborn , a reușit în cele din urmă să demonstreze conjectura catalană, care i-a conferit statutul de teoremă matematică.

generalizare

Se poate extinde conjectura catalană acum dovedită folosind ecuația

${\ displaystyle x ^ {p} -y ^ {q} = n}$cu naturale ,${\ displaystyle x, y> 0}$${\ displaystyle p, q, n> 1}$

considerat. Se presupune că această ecuație are, de asemenea, soluții finite pentru toți , astfel încât pentru fiecare număr natural există doar finit multe perechi de puteri reale a căror diferență este. ${\ displaystyle x, y> 0}$${\ displaystyle p, q, n> 1}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n}$

Următoarea listă renunță la toate soluțiile la această ecuație, care sunt ( din motive de completitudine, acest lucru este permis): ${\ displaystyle n \ leq 64}$${\ displaystyle \ leq 10 ^ {18}}$${\ displaystyle q = 0}$

Lista toate soluțiile ecuației prin utilizarea naturale , ,${\ displaystyle x ^ {p} -y ^ {q} = n}$${\ displaystyle 1 \ leq n \ leq 64}$${\ displaystyle 10 ^ {18} \ geq x, y> 0}$${\ displaystyle p, n> 1}$${\ displaystyle q \ geq 0}$

n Număr de soluții (secvența A076427 în OEIS ) Numere astfel încât și sunt ambele puteri (secvența A103953 în OEIS ) ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k + n}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle x ^ {p} -y ^ {q} = n}$ 1 1 A 8-a ${\ displaystyle 3 ^ {2} -2 ^ {3} = 1}$ 2 1 25 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -5 ^ {2} = 2}$ 3 2 1, 125 ${\ displaystyle 2 ^ {2} -y ^ {0} = 3}$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} -5 ^ {3} = 3}$ Al 4-lea 3 4, 32, 121 ${\ displaystyle 2 ^ {3} -2 ^ {2} = 4}$ ${\ displaystyle 6 ^ {2} -2 ^ {5} = 4}$ ${\ displaystyle 5 ^ {3} -11 ^ {2} = 4}$ 5 2 4, 27 ${\ displaystyle 3 ^ {2} -2 ^ {2} = 5}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} -3 ^ {3} = 5}$ Al 6-lea 0 nu există nicio soluție - Al 7-lea 5 1, 9, 25, 121, 32761 ${\ displaystyle 2 ^ {3} -y ^ {0} = 7}$ ${\ displaystyle 4 ^ {2} -3 ^ {2} = 7}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} -5 ^ {2} = 7}$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} -11 ^ {2} = 7}$ ${\ displaystyle 32 ^ {3} -181 ^ {2} = 7}$ A 8-a 3 1, 8, 97336 ${\ displaystyle 3 ^ {2} -y ^ {0} = 8}$ ${\ displaystyle 2 ^ {4} -2 ^ {3} = 8}$ ${\ displaystyle 312 ^ {2} -46 ^ {3} = 8}$ 9 Al 4-lea 16, 27, 216, 64000 ${\ displaystyle 5 ^ {2} -2 ^ {4} = 9}$ ${\ displaystyle 6 ^ {2} -3 ^ {3} = 9}$ ${\ displaystyle 15 ^ {2} -6 ^ {3} = 9}$ ${\ displaystyle 253 ^ {2} -40 ^ {3} = 9}$ 10 1 2187 ${\ displaystyle 13 ^ {3} -3 ^ {7} = 10}$ 11 Al 4-lea 16, 25, 3125, 3364 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -2 ^ {4} = 11}$ ${\ displaystyle 6 ^ {2} -5 ^ {2} = 11}$ ${\ displaystyle 56 ^ {2} -5 ^ {5} = 11}$ ${\ displaystyle 15 ^ {3} -58 ^ {2} = 11}$ Al 12-lea 2 4, 2197 ${\ displaystyle 2 ^ {4} -2 ^ {2} = 12}$ ${\ displaystyle 47 ^ {2} -13 ^ {3} = 12}$ 13 3 36, 243, 4900 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -6 ^ {2} = 13}$ ${\ displaystyle 2 ^ {8} -3 ^ {5} = 13}$ ${\ displaystyle 17 ^ {3} -70 ^ {2} = 13}$ 14 0 nu există nicio soluție - 15 3 1, 49, 1295029 ${\ displaystyle 2 ^ {4} -y ^ {0} = 15}$ ${\ displaystyle 2 ^ {6} -7 ^ {2} = 15}$ ${\ displaystyle 1138 ^ {2} -109 ^ {3} = 15}$ 16 3 9, 16, 128 ${\ displaystyle 5 ^ {2} -3 ^ {2} = 16}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} -2 ^ {4} = 16}$ ${\ displaystyle 12 ^ {2} -2 ^ {7} = 16}$ 17 Al 7-lea 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 ${\ displaystyle 5 ^ {2} -2 ^ {3} = 17}$ ${\ displaystyle 7 ^ {2} -2 ^ {5} = 17}$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} -2 ^ {6} = 17}$ ${\ displaystyle 23 ^ {2} -2 ^ {9} = 17}$ ${\ displaystyle 282 ^ {2} -43 ^ {3} = 17}$ ${\ displaystyle 375 ^ {2} -52 ^ {3} = 17}$ ${\ displaystyle 378661 ^ {2} -5234 ^ {3} = 17}$ 18 3 9, 225, 343 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -3 ^ {2} = 18}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5} -15 ^ {2} = 18}$ ${\ displaystyle 19 ^ {2} -7 ^ {3} = 18}$ 19 5 8, 81, 125, 324, 503284356 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -2 ^ {3} = 19}$ ${\ displaystyle 10 ^ {2} -3 ^ {4} = 19}$ ${\ displaystyle 12 ^ {2} -5 ^ {3} = 19}$ ${\ displaystyle 7 ^ {3} -18 ^ {2} = 19}$ ${\ displaystyle 55 ^ {5} -22434 ^ {2} = 19}$ 20 2 16, 196 ${\ displaystyle 6 ^ {2} -2 ^ {4} = 20}$ ${\ displaystyle 6 ^ {3} -14 ^ {2} = 20}$ 21 2 4, 100 ${\ displaystyle 5 ^ {2} -2 ^ {2} = 21}$ ${\ displaystyle 11 ^ {2} -10 ^ {2} = 21}$ 22 2 27, 2187 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -3 ^ {3} = 22}$ ${\ displaystyle 47 ^ {2} -3 ^ {7} = 22}$ 23 Al 4-lea 4, 9, 121, 2025 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -2 ^ {2} = 23}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} -3 ^ {2} = 23}$ ${\ displaystyle 12 ^ {2} -11 ^ {2} = 23}$ ${\ displaystyle 2 ^ {11} -45 ^ {2} = 23}$ 24 5 1, 8, 25, 1000, 542939080312 ${\ displaystyle 5 ^ {2} -y ^ {0} = 24}$ ${\ displaystyle 2 ^ {5} -2 ^ {3} = 24}$ ${\ displaystyle 7 ^ {2} -5 ^ {2} = 24}$ ${\ displaystyle 2 ^ {10} -10 ^ {3} = 24}$ ${\ displaystyle 736844 ^ {2} -8158 ^ {3} = 24}$ 25 2 100, 144 ${\ displaystyle 5 ^ {3} -10 ^ {2} = 25}$ ${\ displaystyle 13 ^ {2} -12 ^ {2} = 25}$ 26 3 1, 42849, 6436343 ${\ displaystyle 3 ^ {3} -y ^ {0} = 26}$ ${\ displaystyle 35 ^ {3} -207 ^ {2} = 26}$ ${\ displaystyle 2537 ^ {2} -23 ^ {5} = 26}$ 27 3 9, 169, 216 ${\ displaystyle 6 ^ {2} -3 ^ {2} = 27}$ ${\ displaystyle 14 ^ {2} -13 ^ {2} = 27}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5} -6 ^ {3} = 27}$ 28 Al 7-lea 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 ${\ displaystyle 2 ^ {5} -2 ^ {2} = 28}$ ${\ displaystyle 6 ^ {2} -2 ^ {3} = 28}$ ${\ displaystyle 2 ^ {6} -6 ^ {2} = 28}$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} -10 ^ {2} = 28}$ ${\ displaystyle 2 ^ {9} -22 ^ {2} = 28}$ ${\ displaystyle 37 ^ {3} -225 ^ {2} = 28}$ ${\ displaystyle 2 ^ {17} -362 ^ {2} = 28}$ 29 1 196 ${\ displaystyle 15 ^ {2} -14 ^ {2} = 29}$ 30 1 6859 ${\ displaystyle 83 ^ {2} -19 ^ {3} = 30}$ 31 2 1, 225 ${\ displaystyle 2 ^ {5} -y ^ {0} = 31}$ ${\ displaystyle 16 ^ {2} -15 ^ {2} = 31}$ 32 Al 4-lea 4, 32, 49, 7744 ${\ displaystyle 6 ^ {2} -2 ^ {2} = 32}$ ${\ displaystyle 2 ^ {6} -2 ^ {5} = 32}$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} -7 ^ {2} = 32}$ ${\ displaystyle 6 ^ {5} -88 ^ {2} = 32}$

n Număr de soluții (secvența A076427 în OEIS ) Numere astfel încât și sunt ambele puteri (secvența A103953 în OEIS ) ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k + n}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle x ^ {p} -y ^ {q} = n}$ 33 2 16, 256 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -2 ^ {4} = 33}$ ${\ displaystyle 17 ^ {2} -2 ^ {8} = 33}$ 34 0 nu există nicio soluție - 35 3 1, 289, 1296 ${\ displaystyle 6 ^ {2} -y ^ {0} = 35}$ ${\ displaystyle 18 ^ {2} -17 ^ {2} = 35}$ ${\ displaystyle 11 ^ {3} -36 ^ {2} = 35}$ 36 2 64, 1728 ${\ displaystyle 10 ^ {2} -2 ^ {6} = 36}$ ${\ displaystyle 42 ^ {2} -12 ^ {3} = 36}$ 37 3 27, 324, 14348907 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -3 ^ {3} = 37}$ ${\ displaystyle 19 ^ {2} -18 ^ {2} = 37}$ ${\ displaystyle 3788 ^ {2} -243 ^ {3} = 37}$ 38 1 1331 ${\ displaystyle 37 ^ {2} -11 ^ {3} = 38}$ 39 Al 4-lea 25, 361, 961, 10609 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -5 ^ {2} = 39}$ ${\ displaystyle 20 ^ {2} -19 ^ {2} = 39}$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} -31 ^ {2} = 39}$ ${\ displaystyle 22 ^ {3} -103 ^ {2} = 39}$ 40 Al 4-lea 9, 81, 216, 2704 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -3 ^ {2} = 40}$ ${\ displaystyle 11 ^ {2} -3 ^ {4} = 40}$ ${\ displaystyle 2 ^ {8} -6 ^ {3} = 40}$ ${\ displaystyle 14 ^ {3} -52 ^ {2} = 40}$ 41 3 8, 128, 400 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -2 ^ {3} = 41}$ ${\ displaystyle 13 ^ {2} -2 ^ {7} = 41}$ ${\ displaystyle 21 ^ {2} -20 ^ {2} = 41}$ 42 0 nu există nicio soluție - 43 1 441 ${\ displaystyle 22 ^ {2} -21 ^ {2} = 43}$ 44 3 81, 100, 125 ${\ displaystyle 5 ^ {3} -3 ^ {4} = 44}$ ${\ displaystyle 12 ^ {2} -10 ^ {2} = 44}$ ${\ displaystyle 13 ^ {2} -5 ^ {3} = 44}$ 45 Al 4-lea 4, 36, 484, 9216 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -2 ^ {2} = 45}$ ${\ displaystyle 9 ^ {2} -6 ^ {2} = 45}$ ${\ displaystyle 23 ^ {2} -22 ^ {2} = 45}$ ${\ displaystyle 21 ^ {3} -96 ^ {2} = 45}$ 46 1 243 ${\ displaystyle 17 ^ {2} -3 ^ {5} = 46}$ 47 Al 6-lea 81, 169, 196, 529, 1681, 250000 ${\ displaystyle 2 ^ {7} -3 ^ {4} = 47}$ ${\ displaystyle 6 ^ {3} -13 ^ {2} = 47}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5} -14 ^ {2} = 47}$ ${\ displaystyle 24 ^ {2} -23 ^ {2} = 47}$ ${\ displaystyle 12 ^ {3} -41 ^ {2} = 47}$ ${\ displaystyle 63 ^ {3} -500 ^ {2} = 47}$ 48 Al 4-lea 1, 16, 121, 21904 ${\ displaystyle 7 ^ {2} -y ^ {0} = 48}$ ${\ displaystyle 2 ^ {6} -2 ^ {4} = 48}$ ${\ displaystyle 13 ^ {2} -11 ^ {2} = 48}$ ${\ displaystyle 28 ^ {3} -148 ^ {2} = 48}$ 49 3 32, 576, 274576 ${\ displaystyle 3 ^ {4} -2 ^ {5} = 49}$ ${\ displaystyle 25 ^ {2} -24 ^ {2} = 49}$ ${\ displaystyle 65 ^ {3} -524 ^ {2} = 49}$ 50 0 nu există nicio soluție - 51 2 49, 625 ${\ displaystyle 10 ^ {2} -7 ^ {2} = 51}$ ${\ displaystyle 26 ^ {2} -5 ^ {4} = 51}$ 52 1 144 ${\ displaystyle 14 ^ {2} -12 ^ {2} = 52}$ 53 2 676, 24336 ${\ displaystyle 27 ^ {2} -26 ^ {2} = 53}$ ${\ displaystyle 29 ^ {3} -156 ^ {2} = 53}$ 54 2 27, 289 ${\ displaystyle 3 ^ {4} -3 ^ {3} = 54}$ ${\ displaystyle 7 ^ {3} -17 ^ {2} = 54}$ 55 3 9, 729, 175561 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -3 ^ {2} = 55}$ ${\ displaystyle 28 ^ {2} -27 ^ {2} = 55}$ ${\ displaystyle 56 ^ {3} -419 ^ {2} = 55}$ 56 Al 4-lea 8, 25, 169, 5776 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -2 ^ {3} = 56}$ ${\ displaystyle 3 ^ {4} -5 ^ {2} = 56}$ ${\ displaystyle 15 ^ {2} -13 ^ {2} = 56}$ ${\ displaystyle 18 ^ {3} -76 ^ {2} = 56}$ 57 3 64, 343, 784 ${\ displaystyle 11 ^ {2} -2 ^ {6} = 57}$ ${\ displaystyle 20 ^ {2} -7 ^ {3} = 57}$ ${\ displaystyle 29 ^ {2} -28 ^ {2} = 57}$ 58 0 nu există nicio soluție - 59 1 841 ${\ displaystyle 30 ^ {2} -29 ^ {2} = 59}$ 60 Al 4-lea 4, 196, 2515396, 2535525316 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -2 ^ {2} = 60}$ ${\ displaystyle 2 ^ {8} -14 ^ {2} = 60}$ ${\ displaystyle 136 ^ {3} -1586 ^ {2} = 60}$ ${\ displaystyle 76 ^ {5} -50354 ^ {2} = 60}$ 61 2 64.900 ${\ displaystyle 5 ^ {3} -2 ^ {6} = 61}$ ${\ displaystyle 31 ^ {2} -30 ^ {2} = 61}$ 62 0 nu există nicio soluție - 63 Al 4-lea 1, 81, 961, 183250369 ${\ displaystyle 2 ^ {6} -y ^ {0} = 63}$ ${\ displaystyle 12 ^ {2} -9 ^ {2} = 63}$ ${\ displaystyle 2 ^ {10} -31 ^ {2} = 63}$ ${\ displaystyle 568 ^ {3} -13537 ^ {2} = 63}$ 64 Al 4-lea 36, 64, 225, 512 ${\ displaystyle 10 ^ {2} -6 ^ {2} = 64}$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} -2 ^ {6} = 64}$ ${\ displaystyle 17 ^ {2} -15 ^ {2} = 64}$ ${\ displaystyle 24 ^ {2} -2 ^ {9} = 64}$

Vezi si

• Conjectura Pillai

literatură

• Preda Mihailescu: Unități ciclotomice primare și o dovadă a conjecturii catalane. J. Reine Angew. Matematica 572 (2004), 167-195
• Christoph Pöppe: Dovada conjecturii catalane. În: Omega. Revista pentru matematică, logică și calculatoare. ( Spectrum of Science Special 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, pp. 64-67
• Yuri Bilu: Conjectura catalană (după Mihailescu). Seminaire Bourbaki, nr. 909, 2002, ( PDF ).
• Jeanine Daems: o dovadă ciclotomică a conjecturii catalane. Teza de diplomă, Universitatea din Leiden 2003, ( PDF ).
• Maurice Mischler, Jacques Boéchat despre Adormirea Catalană, franceză ( Arxiv ).
• Henri Cohen despre dovada conjecturii catalane, franceză ( online ).

Link-uri web

• Eric Weisstein: Conjectura catalană . În: MathWorld (engleză).
• https://www.welt.de/print-wams/article604626/Geniestreich-eines-spaet-Berufenen.html

Dovezi individuale

1. ^ Eugène Charles Catalan : Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Jurnal pentru matematică pură și aplicată 27, 192.1844 (scanarea originalului online) (accesat la 16 aprilie 2019)