Simbolismul lui Hermann Mauguin

Notația Hermann-Mauguin este folosit pentru a descrie elemente de simetrie și grupurile de simetrie folosite. Acesta poartă numele cristalografilor Carl Hermann și Charles-Victor Mauguin . Domeniul său principal de aplicare este descrierea celor 32 de grupuri de puncte cristalografice și a celor 230 de grupuri spațiale cristalografice . Este, de asemenea, folosit pentru a descrie grupuri plane bidimensionale , grupuri subperiodice bidimensionale și tridimensionale ( ornamente pe panglică , grupuri de tije și straturi ) și grupuri necristalografice. Este standardizat în tabelele internaționale pentru cristalografie . Pe lângă simbolismul conform lui Hermann-Mauguin, există o ortografie conform lui Arthur Moritz Schoenflies , simbolismul Schoenflies . Cu toate acestea, este rar folosit pentru a descrie o stare cristalină, ci mai degrabă pentru a descrie simetria moleculelor .

Simboluri ale elementelor de simetrie

Centrul de inversiune

• ${\ displaystyle {\ bar {1}}}$: Centrul inversiunii. Înmulțirea unei particule prin reflectarea punctelor . Se creează în total două particule echivalente cu simetria.

Axele de rotație

O rotație în jurul este reprezentată de (pronunțată "rotație n-fold"). Cazurile speciale sunt , o rotație cu 360 °, în funcție de identitate și , o rotație cu orice unghi mic. ${\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}}}$${\ displaystyle n \}$${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle \ infty {}}$

Următoarele rotații pot apărea în grupuri de puncte și spațiu cristalografic.

• ${\ displaystyle 1 \}$: Identitatea este un element al fiecărui grup.
• ${\ displaystyle 2 \}$: axa de rotație dublă, adică rotație cu 180 °. Se creează în total două particule echivalente cu simetria.
• ${\ displaystyle 3 \}$: axa de rotație triplă, adică rotație cu 120 °. Se creează în total trei particule echivalente cu simetria.
• ${\ displaystyle 4 \}$: axa de rotație de patru ori, adică rotație cu 90 °. Se creează în total patru particule echivalente cu simetria.
• ${\ displaystyle 6 \}$: axa de rotație de șase ori, adică rotație cu 60 °. Se creează un total de șase particule echivalente cu simetria.

Avion oglindă

• ${\ displaystyle m \}$: Plan oglindă. Înmulțirea unei particule prin oglindirea ei pe un plan . Se creează în total două particule echivalente cu simetria.

Operații de simetrie cuplate (axe de inversare a rotației)

• ${\ displaystyle {\ bar {2}}}$: axa de inversare a rotației de două ori, adică rotația cu 180 ° și reflecția punctului ulterioară. Se creează în total două particule echivalente cu simetria. Deoarece această operație duce la același rezultat ca oglindirea pe un plan, acest simbol nu este utilizat, dar este întotdeauna specificat ca plan oglindă .${\ displaystyle m \}$
• ${\ displaystyle {\ bar {3}}}$: axa de inversare a rotației de trei ori, adică rotație cu 120 ° și reflecția punctului ulterioară. Se creează un total de șase particule echivalente cu simetria.
• ${\ displaystyle {\ bar {4}}}$: axa de inversare a rotației de patru ori, adică rotația cu 90 ° și reflecția punctului ulterior Se creează în total patru particule echivalente cu simetria.
• ${\ displaystyle {\ bar {6}}}$: axa de inversare a rotației de șase ori, adică rotația cu 60 ° și reflecția punctuală ulterioară. Se creează un total de șase particule echivalente cu simetria.

Operații de simetrie combinate (axe de rotație perpendiculare pe planurile oglinzii)

Ambele notații date sunt echivalente. Primul este comun în literatura mai veche.

• ${\ displaystyle {\ frac {2} {m}}}$sau : axul de rotație dublu perpendicular pe un plan oglindă (pronunțat „două peste m”). Se creează în total patru particule echivalente cu simetria.${\ displaystyle 2 / m \}$
• ${\ displaystyle {\ frac {3} {m}}}$sau : axa de rotație de trei ori perpendiculară pe un plan oglindă (pronunțat „trei peste m”). Se creează un total de șase particule echivalente cu simetria. Deoarece această operațiune duce la același rezultat ca axa de inversare a rotației de șase ori, acest simbol nu este folosit, dar este specificat întotdeauna ca axa de inversare a rotației de șase ori .${\ displaystyle 3 / m \}$${\ displaystyle {\ bar {6}}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {4} {m}}}$sau : axul de rotație de patru ori perpendicular pe un plan oglindă (pronunțat „patru peste m”). Se creează un total de opt particule echivalente cu simetria.${\ displaystyle 4 / m \}$
• ${\ displaystyle {\ frac {6} {m}}}$sau : axa de rotație de șase ori perpendiculară pe un plan oglindă (pronunțat „șase peste m”). Se creează în total douăsprezece particule echivalente cu simetria.${\ displaystyle 6 / m \}$

Simboluri ale grupurilor de puncte

Grupurile de 32 de puncte (clase de cristale) pot fi descrise cu simbolurile descrise mai sus , deoarece operațiile de simetrie ale claselor de cristale nu conțin nicio traducere (a se vedea secțiunea despre grupurile spațiale).

În sistemul de cristal triclinic există grupuri punctuale (absența centrelor de inversiune) și (prezența centrelor de inversiune). Pentru alte sisteme cristaline, operațiile de simetrie sunt date în raport cu trei direcții cristalografice date. ${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$

Sistem de cristal	1 poziție	Poziția a 2-a	Poziția a 3-a
monoclinic	${\ displaystyle [100] \;}$	${\ displaystyle [010] \;}$	${\ displaystyle [001] \;}$
ortorombic	${\ displaystyle [100] \;}$	${\ displaystyle [010] \;}$	${\ displaystyle [001] \;}$
tetragonal	${\ displaystyle [001] \;}$	${\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 110 \ rangle}$
trigonal	${\ displaystyle [00.1] \;}$	${\ displaystyle \ langle 10.0 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 12.0 \ rangle}$
hexagonal	${\ displaystyle [00.1] \;}$	${\ displaystyle \ langle 10.0 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 12.0 \ rangle}$
aranjament trigonal , romboedric	${\ displaystyle [111] \;}$	${\ displaystyle \ langle 1 {\ bar {1}} 0 \ rangle}$
cub	${\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 111 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 110 \ rangle}$

(Direcțiile evidențiate în culori nu sunt, în general, specificate în simbolurile grupului de puncte, deoarece nu există niciodată alte elemente de simetrie decât sau . Cu toate acestea, acestea sunt necesare ocazional pentru simbolurile grupului spațial.) ${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$

Axele de rotație și inversare a rotației sunt specificate paralel și planurile oglinzii perpendiculare pe aceste direcții. În cazul grupurilor de puncte trigonale, trebuie remarcat faptul că direcțiile din prima linie sunt date în raport cu dispunerea hexagonală a sistemului de coordonate. Informațiile redundante sunt omise din notația prescurtată a simbolurilor Hermann Mauguin. În schimb , de exemplu, este scris. ${\ displaystyle 4 / m \ 2 / m \ 2 / m}$${\ displaystyle 4 / m \ m \ m}$

Simboluri de grup spațial

Desemnarea pentru grupurile de camere funcționează în principiu ca cea a grupurilor de puncte. În plus, grila Bravais este pregătită:

• P: Primitiv
• A, B sau C: centrat pe față
• Î: Centrat pe toate laturile
• I: Centrat în interior
• R: Grilă hexagonală cu centrare romboedrică

Există, de asemenea, simboluri suplimentare:

• ${\ displaystyle n_ {m} \}$: -numera ax de șurub cu translație în jurul părților unui vector grilă.${\ displaystyle n \}$${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}}$
• ${\ displaystyle a \}$, Sau : Alunecare plane oglindă cu translație de-a lungul unui vector jumătate grilă.${\ displaystyle b \}$${\ displaystyle c \}$
• ${\ displaystyle n \}$: Planul oglinzii glisante cu translație de-a lungul a jumătate de diagonală a suprafeței
• ${\ displaystyle d \}$: Planul oglinzii glisante cu translație de-a lungul unui sfert de diagonală.
• ${\ displaystyle e \}$: Două oglinzi glisante cu același plan oglindă glisantă și translație de-a lungul a doi vectori (diferiți) cu jumătate de rețea.

Un exemplu de grup spațial tetragonal în formă prescurtată este . ${\ displaystyle I \ 4_ {1} / a \ m \ d}$

literatură

• Hahn, Theo (Ed.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2