Teorema lui Fubini

Teorema lui Fubini este un set de calcul integral . Acesta indică în ce condiții și cum se pot calcula integralele multidimensionale cu ajutorul integralelor unidimensionale. Această teoremă a fost dovedită pentru prima dată în 1907 de Guido Fubini (1879–1943).

Descriere

Cu ajutorul integralei Riemann sau integralei Lebesgue se poate defini integrarea funcțiilor peste arii multidimensionale. Problema aici este că aceste integrale sunt definite peste o valoare limită prin descompunerea zonei în părți mici. Cu toate acestea, aceasta nu oferă o metodă utilă și constructivă pentru a calcula astfel de integrale. În cazul integralelor unidimensionale, această formare a valorii limită poate fi evitată dacă se poate găsi un antiderivativ pentru funcția care trebuie integrată ( teorema principală a calculului diferențial și integral ).

Cu ajutorul teoremei lui Fubini, integralele multidimensionale pot fi acum reduse la cele unidimensionale, care la rândul lor pot fi calculate cu ajutorul unui antiderivativ (dacă este cunoscut). Teorema afirmă, de asemenea, că ordinea integrărilor unidimensionale nu contează. Acest truc a fost folosit naiv (înainte de o definiție exactă a calculului integrării) încă din secolul al XVI-lea și este cunoscut în cazul special al calculelor de volum bazate pe principiul Cavalieri .

Teorema lui Fubini pentru integrala Riemann

Fii constant. ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ times [c, d] \ to \ mathbb {R}}$

Apoi cu este continuu și se aplică ${\ displaystyle F \ colon [c, d] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F (y): = \ int _ {a} ^ {b} f (x, y) \, \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {d} F (y) \, \ mathrm {d} y = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {a} ^ {b} f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {c} ^ {d} f (x, y) \, \ mathrm { d} y \, \ mathrm {d} x = \ int \ limits _ {[a, b] \ times [c, d]} f (x, y) \, \ mathrm {d} (x, y)}$.

Teorema lui Fubini pentru integrala Lebesgue

Să ne fie și cu două finite spații dimensionale și o funcție măsurabilă , care pot fi integrate în ceea ce privește dimensiunile produsului , adică, se aplică ${\ displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {A}} _ {1}, \ mu _ {1})}$${\ displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {A}} _ {2}, \ mu _ {2})}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {\ mu} _ {1} \ otimes \ mu _ {2}}$

${\ displaystyle \; \ int \ limits _ {\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}} | f | \, \ mathrm {d} (\ mu _ {1} \ otimes \ mu _ {2 }) <\ infty \}$

sau se aplică aproape peste tot . ${\ displaystyle f \ geq 0}$

Atunci funcția este pentru aproape toată lumea${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle x \ mapsto f (x, y)}$

și funcția pentru aproape toată lumea${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y \ mapsto f (x, y)}$

integrabile sau non-negative. Prin urmare, puteți utiliza funcțiile definite sau definite prin integrare${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x \ mapsto \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y)}$

${\ displaystyle y \ mapsto \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x)}$

considera. Acestea sunt, de asemenea, integrabile sau non-negative și se aplică

${\ displaystyle \; \ int \ limits _ {\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}} f ~ \ mathrm {d} (\ mu _ {1} \ otimes \ mu _ {2}) = \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y) = \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ { } f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x).}$

Teorema lui Tonelli (de asemenea teorema lui Fubini-Tonelli)

O variantă utilă a acestei ultime mișcări este teorema lui Tonelli . Capacitatea de a fi integrată în ceea ce privește dimensiunea produsului nu este o condiție prealabilă aici. Este suficient ca pentru integrale iterate să existe: ${\ displaystyle | f |}$

Fie o funcție reală măsurabilă ca mai sus. Dacă una dintre cele două integrale iterate ${\ displaystyle f (x, y)}$

${\ displaystyle \; \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} | f (x, y) | ~ \ mathrm {d } \ mu _ {1} (x) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y)}$,

${\ displaystyle \; \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ {} | f (x, y) | ~ \ mathrm {d } \ mu _ {2} (y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x)}$

există, apoi există și celălalt, poate fi integrat în ceea ce privește dimensiunea produsului și se aplică următoarele: ${\ displaystyle f (x, y)}$

${\ displaystyle \; \ int \ limits _ {\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}} f ~ \ mathrm {d} (\ mu _ {1} \ otimes \ mu _ {2}) = \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y) = \ int \ limits _ {\ Omega _ {1}} ^ {} \ int \ limits _ {\ Omega _ {2}} ^ { } f (x, y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {2} (y) ~ \ mathrm {d} \ mu _ {1} (x).}$

Inferențe

Având în vedere componentele după componente, rezultă imediat că teorema lui Fubini se aplică nu numai funcțiilor cu valoare reală, ci și funcțiilor cu valori în spații vectoriale reale cu dimensiuni finite. Deoarece câmpul numerelor complexe este un spațiu vectorial bidimensional , teorema lui Fubini se aplică și funcțiilor cu valori complexe sau funcțiilor cu valori în spații vectoriale cu dimensiuni finite . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Stochastici

Cu ajutorul teoremei lui Fubini, se pot demonstra următoarele identități, care sunt utilizate, de exemplu, în stocastice.

• Fie Lebesgue integrabil, atunci:${\ displaystyle f: \ [a, b] \ times [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} {\ Biggl (} \ int \ limits _ {a} ^ {y} f (x, y) ~ \ mathrm {d} x ~ {\ Biggr) } \ mathrm {d} y = \ int \ limits _ {a} ^ {b} {\ Biggl (} \ int \ limits _ {x} ^ {b} f (x, y) ~ \ mathrm {d} y ~ {\ Biggr)} \ mathrm {d} x.}$

• Fie Lebesgue integrabil, apoi urmează inductiv:${\ displaystyle f: \ \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {x} {\ Biggl (} \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {1}} \ dots \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {n -2}} {\ Biggl (} \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {n-1}} f (x_ {n}) \ mathrm {d} x_ {n} {\ Biggr)} \ mathrm { d} x_ {n-1} \ dots \ mathrm {d} x_ {2} {\ Biggr)} \ mathrm {d} x_ {1} = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int \ limits _ {0} ^ {x} (xt) ^ {n-1} f (t) \ mathrm {d} t.}$

Convoluția a două funcții

În plus, kitul oferă o simplă dovadă a bine-definedness convoluția a două funcții: să fie în afara -spațiu . denote măsura Lebesgue . Definiți funcția ${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle F \ colon (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$, .${\ displaystyle (x, y) \ mapsto f (y) g (xy)}$

Atunci se aplică

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | F (x, y) | \, \ mathrm {d} \ lambda (x ) \, \ mathrm {d} \ lambda (y) \ leq \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | g (xy ) | \, \ mathrm {d} \ lambda (x) \ right) | f (y) | \, \ mathrm {d} \ lambda (y) = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} | f | \, \ mathrm {d} \ lambda \ right) \ cdot \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | g | \, \ mathrm {d} \ lambda \ dreapta) = \ lVert f \ rVert _ {1} \ cdot \ lVert g \ rVert _ {1} \ in \ mathbb {R}}$.

Deci, conform lui Fubini-Tonelli, există și integrala

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | f (y) g (xy) | \, \ mathrm {d} \ lambda (y) \, \ mathrm {d} \ lambda (x)}$

și este egal cu integralul de mai sus.

În special, funcțiile (măsurabile) , pentru aproape fiecare absolut integrabil. Deci convoluția funcțiilor și este dată de ${\ displaystyle F_ {x} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle y \ mapsto F (x, y)}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle (f * g) (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} F_ {x} (y) \, \ mathrm {d} \ lambda (y)}$,

bine definit.

În plus, funcția este inclusă și în și se aplică . ${\ displaystyle f * g}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ lVert f * g \ rVert _ {1} \ leq \ lVert f \ rVert _ {1} \ cdot \ lVert g \ rVert _ {1}}$

literatură

• Jürgen Elstrodt : Măsura și teoria integrării. Ediția a VII-a. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4 , Capitolul V.
• Achim Klenke: Teoria probabilității . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8 , p. 279.
• Konrad Königsberger: Analiza 2 . Ediția a V-a, Springer, Berlin 2004.

Dovezi individuale

1. ^ Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multipli", Roma. Acc. L. Rend. (5), 16 (1): 608-614.