Teoria măsurătorilor

Teoria măsurii este o ramură a matematicii care se ocupă cu proiectarea și studiul măsurilor utilizate. Este vorba despre generalizări ale termenilor geometrici elementari, cum ar fi lungimea traseului, suprafața și volumul la cantități mai complexe . Teoria măsurii formează baza integrării moderne și a teoriei probabilității .

În teoria măsurătorilor, măsura se înțelege a fi o mapare care atribuie numere reale anumitor subseturi ale unui set de bază . Subseturile trebuie să formeze un sistem set cu anumite proprietăți, iar atribuirea însăși trebuie să îndeplinească anumite cerințe. În practică, adesea se cunoaște din timp doar o sarcină parțială. De exemplu, se atribuie produsul lungimilor marginilor lor ca aria dreptunghiurilor din plan . Teoria măsurătorilor examinează acum, pe de o parte, dacă această atribuire poate fi extinsă în mod constant și fără echivoc la sisteme mai mari de subseturi și, pe de altă parte, dacă proprietățile dorite suplimentare sunt păstrate. În exemplul planului, s-ar dori, desigur, să atribuiți o zonă semnificativă discurilor circulare și, în același timp, pe lângă proprietățile care sunt în general necesare dimensiunilor, este necesară și invarianța traducerii , adică conținutul a unui subset al planului este independent de poziția sa.

motivare

Structura complicată a teoriei măsurătorilor este cauzată de faptul că nu este posibil să se găsească o funcție de măsură pe care orice subset arbitrar al planului numărului real atribuie un nivel care este aria clasică corespunzătoare sensibilului. Această încercare eșuează chiar și cu linia numerică unidimensională și nu reușește nici măcar cu dimensiuni superioare. Întrebarea dacă acest lucru este posibil a fost formulată pentru prima dată în 1902 de Henri Lebesgue în Paris Thèse ca o problemă de măsurare .

Următoarele cerințe sunt făcute dintr- o corespondență semnificativă a suprafeței (pentru a începe de la cazul bidimensional):

Un pătrat cu o lungime de margine de unul are o suprafață de unul ( „normalizare” ).
Mișcarea, rotirea sau oglindirea oricărei suprafețe nu își modifică suprafața ( „invarianța mișcării” ).
Suprafața unui finit sau numărabil infinit unire a perechilor disjuncte zone este suma ariilor zonelor parțiale ( σ-aditivitate ).

În 1905 Giuseppe Vitali a reușit să arate că această problemă nu poate fi rezolvată pentru niciun subset. Este logic să slăbești una dintre cerințe. Dacă a treia cerere a slăbit și s-a limitat la uniuni finite, acest lucru duce la problema conținutului lui Felix Hausdorff . Hausdorff a reușit să arate în 1914 că această problemă de conținut în general (dimensiunea mai mare sau egală cu 3) nu poate fi rezolvată. Excepție fac numerele reale și nivelul real, pentru care există o soluție la problema conținutului, așa-numita funcție de conținut (a se vedea definiția conținutului ). Cu toate acestea, dacă se restricționează cantitățile care trebuie măsurate și se ia în considerare doar un anumit sistem de subseturi în loc de subseturi arbitrare, atunci se poate rezolva în general problema de măsurare pentru orice dimensiuni spațiale și se poate defini o dimensiune cu proprietățile dorite pe acest sistem de mărimi (vezi definiția dimensiunii ). O restricție a cerinței de σ-aditivitate nu mai este necesară.

Teoria măsurătorilor tratează diferite sisteme de seturi și funcțiile de conținut care pot fi definite pe ele. Nu sunt luate în considerare doar sisteme reale de seturi, ci sisteme abstracte de seturi pe seturi de bază arbitrare. Acest lucru permite ca rezultatele să fie mai bine utilizate în analiza funcțională și teoria probabilității cu puțin efort suplimentar .

σ-aditivitate

Proprietatea aditivității, care este esențială pentru conceptul modern de măsură , a fost introdusă de Émile Borel în 1909 și a fost privită inițial cu unele critici. În special, se dovedește că -aditivitatea este o cerință atât de puternică încât nici măcar existența unei funcții -additive pe setul de putere al unui set nenumărat nu este dată, în afară de cerințele suplimentare, cum ar fi invarianța traducerii ( problema măsurii lui Ulam ). ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Construcția iordaniană conduce, de asemenea, la numai conținut aditiv finit, aditivitatea finită (o proprietate mai slabă decât aditivitatea) este o consecință a definiției conținutului. Borel, pe de altă parte, postulează aditivitatea măsurii și determină astfel măsurile mulțimilor care sunt conținute într-o algebră care este completă sub aplicații numărabile ale anumitor operații de mulțime . Definiția integrală a lui Henri Lebesgue în 1902 a păstrat însă aditivitatea. Restricția aditivității la un număr finit sau numărabil de seturi poate fi văzută ca o ieșire din paradoxul (stilizat) al dimensiunilor Zenon . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Teoria măsurătorilor ca bază a calculului probabilității, așa cum a fost stabilită de Kolmogorow , folosește în general măsuri standardizate la una ca probabilități și nu conținuturi standardizate la una. Acest lucru este în general justificat de marile avantaje tehnice, cum este cazul Kolmogorow. Abateri de la aceasta se fac ocazional în interpretările subiectiviste ale probabilității, în special în mod evident în Bruno de Finetti . Pe de altă parte, există argumente ale cărții olandeze pentru aditivitatea gradelor de convingere personală ( gradul de convingere în limba engleză ). ${\ displaystyle \ sigma}$

Definiții și exemple

Ierarhia sistemelor de cantități utilizate în teoria măsurătorilor

Cantitățile care trebuie măsurate sunt rezumate în sisteme de cantități care sunt închise la diferite grade în raport cu operațiile de cantitate. Exemple semnificative teoretice de masă ale sistemelor de seturi sunt:

Set de puteri , σ-algebră , semicerc , inel , algebră , sistem Dynkin , clase monotonice sau sistem de seturi cu stabilitate medie constantă .

Setul de putere este cel mai cuprinzător dintre toate sistemele setate și conține orice subset al setului de bază. Σ-algebra, care este cel mai important sistem de mulțimi în teoria măsurătorilor, conține în general mai puține mulțimi decât setul de puteri.

Incluziuni importante pentru teoria măsurătorilor:

Fiecare set de putere este o σ-algebră și un sistem Dynkin.
Fiecare σ-algebră este o algebră.
Fiecare algebră este un inel.
Fiecare inel este o jumătate de inel.
Fiecare jumătate de inel este un sistem mediu stabil de cantități.

Funcțiile setului , cum ar fi conținutul, premăsurile, dimensiunile sau dimensiunile externe sunt definite pe aceste sisteme de seturi , care atribuie o valoare în ( axa reală pozitivă extinsă ) fiecărui set al sistemului setat . ${\ displaystyle [0, \ infty]}$

Trebuie remarcat faptul că termenii menționați (conținut, pre-măsură, măsură) sunt definiți inconsecvent în literatura de specialitate, în special în ceea ce privește sistemul de cantități subiacent. De exemplu, termenul de conținut este parțial definit pe un inel, jumătate de inel sau pentru orice set de sisteme care conțin setul gol. În cele ce urmează, prin urmare, varianta generală este dată cu referire la consecințele asupra alegerii sistemelor speciale de seturi.

conţinut

Aditivitate finită pentru un conținut : conținutul unei uniuni finite disjuncte este egal cu suma conținutului subgrupurilor individuale.

{\ displaystyle \ mu}

O funcție pe care fiecare lot din sistemul de loturi cu mai mult de o hartă valorică , in se numește conținut , dacă pentru această mapare se aplică: ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mu (A)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathcal {C}} \ rightarrow [0, \ infty]}$

Vidă are o valoare nulă: . ${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$
Funcția este aditiv finit . Deci, dacă există finit multe seturi disjuncte perechi formate din și , atunci avem ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ în {\ mathcal {C}}}$

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mu (A_ {i})} }

.

În special, conținutul poate fi extins de la jumătăți de inele la inele în anumite circumstanțe.

Cantitate zero

Un set de la se numește un set nul dacă este păstrat. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$

Premăsură

Un conținut σ-aditiv (sau aditiv numărabil ) se numește premăsură. Fie un conținut, atunci este o premăsură dacă, pentru fiecare secvență, în mod considerabil, multe seturi disjuncte perechi din cu deține: ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathcal {C}} \ rightarrow [0, \ infty]}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ în {\ mathcal {C}}}$

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i}) .}

Pre-măsurile sunt deosebit de importante pentru setul de extensii Carathéodory . Se spune că o premăsură poate fi continuată până la o măsură pe algebra generată de inel . Dacă premăsura este -finită , această continuare este clară. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Măsura

Aditivitatea numărabilă a unei măsuri : măsura unei uniuni disjunctibile numărabile este egală cu suma peste măsurile subgrupurilor individuale.

{\ displaystyle \ mu}

Să fie o funcție care cesionarilor fiecare set de σ-algebra de peste o valoare din setul de numere reale extinse ( a se vedea mai jos pentru posibile generalizări ). O măsură se numește dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: ${\ displaystyle \ mu \ colon {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mu (A)}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Vidă are dimensiune de zero: . ${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$
Pozitivitate: pentru toată lumea . ${\ displaystyle \ mu (A) \ geq 0}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$
Măsura este aditivă în mod considerabil (de asemenea, σ-aditiv ): Dacă există în mod considerabil multe seturi disjuncte perechi , atunci se aplică următoarele: ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dotsc}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

{\ displaystyle \ mu {} \ left (\ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ mu {} ( A_ {k})}}

.

Aceasta înseamnă că măsura este finit aditivă alegând secvența seturilor disjuncte perechi .

{\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n} \ neq \ emptyset, A_ {n + 1}: = \ emptyset, \ dotsc}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Astfel, fiecare măsură este o premăsură asupra unei σ-algebre, în special toate proprietățile se aplică conținutului și premăsurilor. Rețineți că o măsură a modului în care premăsura este definită în părți ale literaturii și a sistemului de volum subiacent cu peste este arbitrară. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Camera de măsurare, cantități măsurabile, funcții măsurabile

Fie o σ-algebră formată din subseturi de . Apoi , cuplul este numit un spațiu măsurabil sau camera de măsurare . Elementele de sunt numite mărimi măsurabile . O funcție între două spații de măsurare și se numește măsurabilă (mai precis - -măsurabilă) dacă arhetipul fiecărei mărimi măsurabile este măsurabil. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ Omega '}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (\ Omega ', {\ mathcal {A}}')}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} '}$

Trebuie remarcat faptul că, în teoria măsurătorilor , pe de o parte , se vorbește despre măsurabilitatea în ceea ce privește un spațiu de măsurare și, pe de altă parte, despre măsurabilitatea conform Carathéodory în ceea ce privește o dimensiune externă . Totuși, acesta din urmă poate fi privit în mod echivalent ca măsurabilitate în ceea ce privește spațiul de măsurare indus de dimensiunea externă.

Spațiul dimensional

O structură matematică se numește spațiu de măsurare dacă există un spațiu de măsurare și o măsurare definită pe acest spațiu de măsurare. Un exemplu de spațiu de măsură este spațiul probabilității din teoria probabilității . Se compune din setul de rezultate , algebra evenimentului și măsura probabilității . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle P}$

Aproape peste tot

O proprietate se aplică aproape peste tot (sau -Aproape peste tot, sau -most toate elementele) , în cazul în care există un set nul astfel încât toate elementele din complementul au proprietatea. ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Rețineți că setul tuturor pentru care nu se aplică proprietatea nu trebuie neapărat să fie măsurabil, ci trebuie să fie conținut doar într-un set măsurabil de măsură zero. ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

În stocastici , proprietatea este, de asemenea, menționată aproape peste tot pe spațiul probabilității ca o proprietate aproape sigură (sau aproape sigură ). ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle P}$

completare

Subseturile de seturi zero sunt numite neglijabile . Un spațiu de măsurare se numește complet dacă toate cantitățile neglijabile sunt măsurabile. Să denotăm setul tuturor seturilor neglijabile. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Triplul se numește finalizarea dacă unul pune: ( în cazul în care este diferența simetrică ) și . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}} ', \ mu')}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} ': = \ {A \ bigtriangleup N: A \ in {\ mathcal {A}}, N \ in {\ mathcal {N}} \}}$ ${\ displaystyle \ bigtriangleup}$ ${\ displaystyle \ mu '(A \ bigtriangleup N): = \ mu (A)}$

Exemple

Dimensiunea zero care atribuie valoarea fiecărei cantități . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$
Un exemplu de conținut este conținutul Jordan , care poate fi utilizat pentru a defini integralul Riemann multidimensional .
Cele măsură de numărare atribuie fiecare subset al unui finit sau infinit numărabilă stabilit numărul elementelor sale . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = | A |}$
Măsura Lebesgue pe platourile de filmare de numere reale cu σ-algebra Borel , definită ca o măsură de traducere invariantă cu . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu (\ left [0,1 \ right]) = 1}$
Măsura de păr pe grupuri local compacte .
O măsură de probabilitate sau măsură normalizată este o măsură cu . ${\ displaystyle \ mu (\ Omega) = 1}$
Măsura de numărare pe mulțimea numerelor naturale este infinită, dar σ-finită. ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
Măsura canonică Lebesgue pe mulțimea numerelor reale este, de asemenea, infinită, dar σ-finită, deoarece poate fi reprezentată ca o uniune de numeroase intervale finite . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ left [k, k + 1 \ right]}$

Generalizări

O posibilă generalizare se referă la gama de valori a funcției . ${\ displaystyle \ mu}$

Puteți permite valori reale sau complexe negative ( măsură semnată sau măsură complexă ).
Un alt exemplu de generalizare este măsura spectrală , ale cărei valori sunt operatori liniari . Această măsură este utilizată în special în analiza funcțională pentru teorema spectrală .
În general, pot fi luate în considerare dimensiunile spațiale Banach. Vezi măsura vectorială . Ultimele două sunt exact la fel.

O altă posibilitate de generalizare este definirea unei măsuri pe setul de putere.

Vezi dimensiunea exterioară
O altă generalizare sunt dimensiunile aleatorii (măsuri aleatorii) . De exemplu, un proces punctual , cum ar fi un proces general Poisson , poate fi privit ca o măsură de numărare aleatorie care atribuie numărul aleatoriu de puncte din cadrul său unui set.

Rezultate

Setul de Hadwiger clasificat toate dimensiunile posibile invariabilă în : a măsura Lebesgue este , de asemenea , un caz special ca caracteristica Euler . Există, de asemenea, conexiuni cu funcționalitățile Minkowski și măsurile încrucișate . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Vezi si

literatură

Jürgen Elstrodt : Măsura și teoria integrării. Ediția a 4-a, corectată. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2 .
Heinz Bauer : Teoria măsurii și integrării. Ediția a doua, revizuită. de Gruyter, Berlin și colab. 1992, ISBN 3-11-013626-0 .
David H. Fremlin: Teoria măsurii. Volumul 1-5.

Dovezi individuale

↑ Jürgen Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2005, pp. 3-6.
↑ David Fremlin: Cardinali măsurabili cu valoare reală. În: Haim Judah (ed.): Set Theory of the reals = = Israel Mathematical Conference Proceedings. Vol. 6, ISSN 0792-4119 ). American Mathematical Society, Providenc RI 1993, ISBN, pp. 151-304.
^ ^A^b Brian Skyrms: Paradoxul măsurii lui Zenon. În: Robert S. Cohen, Larry Laudan (Eds.): Fizică, filosofie și psihanaliză. Eseuri în onoarea lui Adolf Grünbaum (= Boston Studies in the Philosophy and History of Science. Vol. 76). Reidel, Dordrecht și colab. 1983, ISBN 90-277-1533-5 , pp. 223-254.
^ Colin Howson: De Finetti, aditivitate, consistență și coerență. În: British Journal for the Philosophy of Science. Vol. 59, nr. 1, 2008, pp. 1-23, doi : 10.1093 / bjps / axm042 .
↑ ^a^b Heinz Bauer: Măsura și teoria integrării. 1992, pp. 9-10.
↑ Jürgen Elstrodt: Măsura și teoria integrării. Ediția a 6-a, corectată. Springer, Berlin și colab. 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , p. 27.
↑ Klaus D. Schmidt: Măsură și probabilitate. Springer, Berlin și colab., 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 , p. 43.

[1] Jürgen Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2005, pp. 3-6.

[2] David Fremlin: Cardinali măsurabili cu valoare reală. În: Haim Judah (ed.): Set Theory of the reals = = Israel Mathematical Conference Proceedings. Vol. 6, ISSN 0792-4119 ). American Mathematical Society, Providenc RI 1993, ISBN, pp. 151-304.

[Skyrms-3] A^b Brian Skyrms: Paradoxul măsurii lui Zenon. În: Robert S. Cohen, Larry Laudan (Eds.): Fizică, filosofie și psihanaliză. Eseuri în onoarea lui Adolf Grünbaum (= Boston Studies in the Philosophy and History of Science. Vol. 76). Reidel, Dordrecht și colab. 1983, ISBN 90-277-1533-5 , pp. 223-254.

[4] Colin Howson: De Finetti, aditivitate, consistență și coerență. În: British Journal for the Philosophy of Science. Vol. 59, nr. 1, 2008, pp. 1-23, doi : 10.1093 / bjps / axm042 .

[Bauer-5] Heinz Bauer: Măsura și teoria integrării. 1992, pp. 9-10.

[6] Jürgen Elstrodt: Măsura și teoria integrării. Ediția a 6-a, corectată. Springer, Berlin și colab. 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , p. 27.

[7] Klaus D. Schmidt: Măsură și probabilitate. Springer, Berlin și colab., 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 , p. 43.

Languages