hexagon
Un hexagon sau hexagon [ hɛksaˈgoːn ] (din greacă ἑξα , héxa , „șase” și γωνία , gonía , „unghi; colț”) este un poligon , format din șase colțuri și șase laturi. Dacă toate cele șase laturi au aceeași lungime, se vorbește despre un hexagon echilateral . În plus, dacă toate unghiurile de la cele șase colțuri sunt aceleași, atunci hexagonul se numește regulat sau regulat .
Relații matematice
Relațiile care stau la baza hexagonului obișnuit au fost descrise pentru prima dată de Euclid în cea de-a 15-a teoremă matematică a cărții a 4-a Elementele . Dacă colțurile opuse ale hexagonului sunt conectate între ele, există șase triunghiuri echilaterale . Dacă, pe de altă parte, toate colțurile non-opuse sunt conectate între ele, se obține o hexagramă .
Formule
Formule matematice pentru hexagonul regulat | ||
---|---|---|
Zonă | ||
Lungimea diagonalelor | ||
Raza în cerc sau dimensiunea unei jumătăți de cheie |
||
Raza perimetrală | ||
Unghiul interior |
Construcție pentru un anumit perimetru
Un hexagon regulat poate fi ușor reprezentată ca o construcție cu busolă și rigla dintr - un cerc prin trasarea raza cercului de șase ori pe marginea cercului ( a se vedea construcție 1). Cele Punctele obținute sunt colțurile hexagonului. Alternativ, conform lui Euclid, este suficient să-l îndepărtați de două ori pe marginea cercului. Colțurile care lipsesc pot fi apoi construite folosind liniile drepte prin centrul circumferinței și deja cunoscute colțuri ( a se vedea de construcție 2 conform cu Euclid, ca un grafic animat).
Construcție pentru o lungime laterală dată
Un hexagon obișnuit poate fi, de asemenea, construit dacă o linie existentă trebuie folosită ca lungime laterală .
- Desemnați punctele finale ale traseului cu A și B.
- Desenați un arc în jurul punctului A cu raza AB .
- Desenați un arc în jurul punctului B cu raza AB , rezultă punctul de intersecție M, centrul circumferinței ulterioare .
- Desenați un cerc în jurul punctului M cu raza AM , aceasta este circumferința hexagonului ulterior.
- Marcați distanța AB de la punctul B de patru ori cu busola pe circumferință.
- Conectați punctele de colț vecine între ele, rezultând hexagonul ABCDEF.
Construcție aproximativă
O aproximare la un hexagon regulat, care este adesea suficientă în scopuri practice, se obține dacă hexagonul este construit din triunghiuri aproximativ echilaterale , care au un raport înălțime / bază de 7: 8. Această aproximare este utilizată în cazul în care o eroare de puțin sub 1% poate fi tolerată. De exemplu, hărțile sau terenurile de joc pot fi împărțite în sectoare ușor de desenat și ușor de calculat.
Punctele P i (x | y) sunt numerotate în următoarele în funcție de cifrele unui ceas, centrul este (0 | 0):
- Coordonatele unui hexagon culcat
- P 1 (4 | 7), P 3 (8 | 0), P 5 (4 | −7), P 7 (−4 | −7), P 9 (−8 | 0), P 11 (−4 | 7)
- Coordonatele unui hexagon inversat
- P 2 (7 | 4), P 4 (7 | −4), P 6 (0 | −8), P 8 (−7 | −4), P 10 (−7 | 4), P 12 (0 | A 8-a)
O aproximare mai bună se obține prin înlocuirea numerelor 4, 7 și 8 din coordonatele de mai sus cu 15, 26 și respectiv 30. Alte tripluri posibile sunt (56, 97, 112) sau (209, 362, 418). În toate aceste tripluri, triunghiurile formate din lungimile laterale corespunzătoare deviază foarte puțin de la un triunghi unghiular cu unghiuri acute de 30 ° și 60 °. Alte triunghiuri de acest tip pot fi găsite iterativ prin formarea de noi catete din „catete” și (cu ) un astfel de triunghi deja cunoscut . „Hipotenuza” este întotdeauna de două ori catetul scurt datorită proprietății de 30 °.
Gresie hexagonală
Pe lângă triunghiul echilateral și diamantul (cu pătratul drept caz special), hexagonul regulat este singurul poligon echilateral cu care un plan poate fi placat fără goluri. Spre deosebire de faianța cu triunghiuri sau romburi, poligonul individual dintr-o faianță hexagonală are doar vecini care sunt conectați prin margini complete, dar niciunul care este conectat numai prin colțuri sau părți de margine. Distanța dintre cele centrele de două hexagoane direct adiacente este
Posibilitatea formării plăcilor hexagonale este unul dintre motivele pentru care hexagoanele sunt semnificativ mai frecvente decât pentagonele obișnuite , heptagonii și poligonele superioare.
Numerele de mai jos cifrele indică cât de multe colțuri în poligoane regulate au, fiecare dintre care se întâlnesc într - un punct . Cele Unghiurile interioare adăuga până la 360 °.
Poliedru cu hexagoane regulate
Unii poliedre au hexagoane regulate ca fețe , de exemplu trunchiat tetraedru , The trunchiată octaedru , mare cuboctahedron rombic , The icosaedru trunchiat și rhombicosidodecahedron mare . Poliedrele menționate sunt solide arhimedeice .
Apariția hexagonelor și a structurilor hexagonale
Hexagoanele obișnuite sunt frecvente în artă, cultură, natură și tehnologie. Următoarea listă prezintă doar câteva exemple.
natură
- Fagure : Forma hexagonală a pereților are ca rezultat un raport optim dintre materialul de perete și volum și oferă o stabilitate ridicată. Este practic ca o legătură între forma circulară și avantajele sale, dar fără a lăsa spații neutilizate.
- Datorită orbitalilor electronici , legăturile covalente ale unei molecule formează adesea unghiul de 120 ° unul față de celălalt, care sunt prezente într-un hexagon echilateral, ceea ce înseamnă că formele moleculare hexagonale sunt deosebit de stabile și apar deseori inele hexagonale sau forme moleculare.
- Structuri cristaline : Multe cristale formează forme hexagonale . Exemple bine cunoscute sunt gheața naturală (de apă ) și fulgii de zăpadă cu șase colțuri , deoarece atomii de hidrogen din molecula de apă formează, de asemenea, un unghi de aproximativ 120 ° față de oxigen.
- În structura cristalină a grafitului , carbonul formează suprafețe plane formate din hexagoane. Alte forme elementare de carbon - grafen , fuleren și nanotuburi de carbon - constau, de asemenea, din inele cu șase membri, posibil ușor curbate.
- O structură de bază importantă a moleculelor organice este inelul benzenic ( aromatic ) , care formează un hexagon regulat cu atomi de carbon ca puncte de colț. Spre deosebire de inelul hidrocarbonat alifatic , cum ar fi ciclohexanul , benzenul formează chiar un hexagon plat atunci când este văzut spațial.
- Când se solidifică încet, bazaltul formează deseori coloane hexagonale de un metru.
- În cazul superfluidității lichidelor: dispunerea vârtejurilor mecanice cuantificate
- Polul nord al planetei Saturn este centrul unei structuri atmosferice stabile sub forma unui hexagon aproape regulat . Are un diametru de aproape 25.000 de kilometri.
- Celulele de convecție din experimentul Bénard se pot dezvolta ca hexagoane obișnuite.
- Celulele de loc din hipocamp , care codifică poziția unui animal în mediul spațial, pot fi reprezentate ca puncte de colț ale hexagonelor.
- De iarnă Hexagon este o constelație care se întâmplă pentru a forma hexagon neregulat atunci când este privit de pe Pământ.
Arte și cultură
În arhitectura, pictura și grafica iudaismului și creștinismului, utilizarea hexagonului se bazează pe simbolismul numărului 6 , a cărui semnificație rezultă din suma primelor trei numere (1 + 2 + 3) și numărul lor simbolism. Ei și, astfel, hexagonul echilateral simbolizează atotputernicia lui Dumnezeu în ambele religii. Dar ele reprezintă, de asemenea, echilibrul și armonia divinului și lumii, care se află și în echilateralismul hexagonului și în compoziția sa din șase triunghiuri echilaterale imaginare sau vizibile geometric, adică conțin și simbolismul numărului 3. În funcție de context, numărul 6 și hexagonul pot fi, de asemenea, simboluri ale lucrării de creație de șase zile ( Geneza ).
Un exemplu din pictura creștină din Evul Mediu târziu este masa hexagonală din „ Paradiesgärtlein ” a maestrului Rinului superior (în jurul anului 1410; Frankfurt, Städelsches Kunstinstitut): domină tabloul cu culori strălucitoare în forma și puterea simbolică a hexagonal și este un factor decisiv pentru înțelegerea imaginii, care este subliniat și de rolul său în componența imaginii .
Alte exemple de utilizare a hexagonului, dar numai cu semnificație simbolică limitată:
- Arhitectură : în multe culturi, hexagonul este un element fundamental în proiectarea ferestrelor, plăcilor și mozaicurilor . Exemple sunt frescele de pe catedrala din Pisa sau elementele de zid ale unor clădiri din Pompei ; Abația Glastonbury este, de asemenea, situată într-un hexagon (imaginar). În vila privată Kentuck Knob a arhitectului Frank Lloyd Wright , hexagonul este principiul construcției continue, Turnul Lantern din Scoția se ridică deasupra unui plan hexagonal, la fel ca și templul muzelor din Parcul Castelului Tiefurt din Turingia, precum și Turnul de apă Zörbig din Saxonia-Anhalt. Mai multe hexagoane formează planul etajului Rank-Xerox-Haus din Düsseldorf .
- MC Escher : Multe dintre variațiile sale de mozaic se bazează pe hexagoane.
- Franța : Datorită formei sale aproximativ hexagonale, teritoriul Franței pe Europa continentală este cunoscut și sub numele de hexagon . Prin urmare, pe reversul monedelor franceze de 1 și 2 euro, se află un copac stilizat într-un hexagon, iar Mareșalul Franței își poartă cele șapte stele pe piesele de umăr dispuse într-un hexagon.
- Muzică electronică: primele truse electronice comerciale de la compania britanică Simmons aveau o formă hexagonală.
tehnologie
- Capetele șuruburilor sunt adesea hexagonale, fie ca hexagon extern, fie ca hexagon intern ( Allen ). De asemenea, piulițele hexagonale sunt comune.
- Un panou sandwich cu un miez de fagure , adică o structură compozită cu un miez de susținere în formă de fagure , este utilizat în structuri care necesită rezistență ridicată cu greutate redusă sau consum de material.
- Structurile de suport ale multor imprimante 3D care se bazează pe procesul de modelare a depunerii topite pot fi tipărite în multe modele ca o structură de tip fagure, care, asemănător cu construcția sandwich menționată mai sus, combină stabilitatea ridicată cu greutatea redusă și consumul de filament.
Jocuri
În multe jocuri , în special jocurile de simulare a conflictelor , tabla de joc constă dintr-o grilă hexagonală . Aceasta înseamnă că, printre altele, distanțele dintre două câmpuri pot fi determinate mai ușor decât cu o grilă pătrată (de exemplu, o tablă de șah). Jocul The Settlers of Catan este deosebit de proeminent aici , în care atât tabla de joc în sine, cât și plăcile de peisaj individuale sunt hexagonale.
Vezi si
Link-uri web
- Mathworld (engleză)
- Poligon, faianță și geometrie sacră - exemple ilustrate de hexagoane în artă și arhitectură (engleză)
Note și referințe individuale
- ^ Johann Friedrich Lorenz : Elementele lui Euclid, cincisprezece cărți . Ed.: În editura librăriei des Waysenhauses. Sala 1781, S. 65 ff . ( Elementele lui Euclid, Cartea a patra, Mișcarea a 15-a. , Într-un cerc dat, ABCDEF, pentru a descrie un hexagon echilateral și echiangular. [Accesat la 17 iunie 2017]).
- ↑ Dr. Lupul creștin: dorit și găsit: celule de orientare 2014 vezi Strange Pattern și sistemul de coordonate mentale . Adus la 17 iunie 2017.