Masura Borel

O măsură Borel este un termen din teoria măsurătorilor , o ramură a matematicii care se ocupă de concepte de volum generalizate. Măsurile Borel se disting clar prin faptul că fiecare punct poate fi învăluit într-un set de măsuri finite și că sunt definite pe o algebră σ specială. Măsurile Borel sunt concepte de bază importante atunci când examinăm măsuri în spații topologice. Ele poartă numele lui Émile Borel .

Se recomandă prudență atunci când se utilizează măsuri Borel, deoarece acestea nu sunt definite uniform în literatură, în special în zona limbii anglo-saxone.

definiție

Este dat un spațiu Hausdorff cu algebra σ Borel . O masura ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ sigma (\ tau)}$

{\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {B}} \ to [0, \ infty]}

se numește o măsură Borel dacă pentru fiecare există un mediu deschis de cu . ${\ displaystyle x \ în X}$ ${\ displaystyle U_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mu (U_ {x}) <\ infty}$

Astfel, măsurile Borel sunt măsuri finite local pe σ-algebra lui Borel. Un caz special al acestui lucru este măsura Lebesgue-Borel .

Alte semnificații

Termenul nu este utilizat în mod consecvent în literatura de specialitate. Uneori, de asemenea

Dimensiunile exterioare în raport cu care toate Borel cantități Carathéodory măsurabile sunt
măsuri arbitrare pe algebra Borel σ a unui spațiu topologic

măsura pe Borel σ-algebra , care atribuie măsurii pentru fiecare interval ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ displaystyle ba}$

denumită măsură Borel. Măsura în al treilea caz se numește de obicei măsura Borel-Lebesgue .

Dacă nu se specifică altfel, acest articol discută proprietățile măsurilor Borel în sensul dat în definiția de mai sus.

caracteristici

Pentru un spațiu Hausdorff compact local , finitudinea locală este echivalentă cu faptul că fiecare set compact are măsură finită. ${\ displaystyle X}$

Deoarece , datorită compactității locale față de un mediu, există un mediu compact și deschis de cu . Finitudinea locală urmează acum din monotonia măsurii; este atunci și este deschisă după cum este necesar. ${\ displaystyle x \ în X}$ ${\ displaystyle U_ {x}}$ ${\ displaystyle K_ {x}}$ ${\ displaystyle O_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle O_ {x} \ subset K_ {x} \ subset U_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mu (O_ {x}) \ leq \ mu (K_ {x}) <\ infty}$ ${\ displaystyle O_ {x}}$

Pe de altă parte , rezultă din finitudine locale că fiecare set compact are măsură finită: Să fie o vecinătate deschisă cu . Apoi, există un capac deschis de . Din definiția compactității rezultă că există o acoperire parțială finită ; la fel este . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle x \ în K}$ ${\ displaystyle O_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mu (O_ {x}) <\ infty}$ ${\ displaystyle (O_ {x}) _ {x \ în K}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (O_ {x_ {i}}) _ {i \ in I}, \; | I | <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (K) \ leq \ sum _ {i \ in I} \ mu (O_ {x}) <\ infty}$

Această proprietate este, de asemenea, utilizată pentru a defini măsurile Borel pe spații Hausdorff compacte la nivel local, dar, în general, nu este de acord cu limitățile locale.

Concepte conexe

Dimensiuni moderate

O măsură Borel se numește măsură moderată dacă există o succesiune de seturi deschise astfel încât ${\ displaystyle (O_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} O_ {n}}

este și se aplică tuturor . Măsurile moderate sunt de un interes deosebit, deoarece li se aplică criterii mai generale, printre care o măsură Borel este o măsură obișnuită . ${\ displaystyle \ mu (O_ {n}) <\ infty}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Măsuri de radon

Măsurile Borel se numesc măsuri cu radon dacă sunt regulate din interior , deci aplică acest lucru

{\ displaystyle \ mu (A) = \ sup \ {\ mu (K) \ mid K \ subset A, \ K \ {\ textrm {compact}} \}}

pentru toată lumea . La fel ca măsurile Borel, termenul „măsură radon” nu este utilizat în mod uniform în literatură și, prin urmare, ar trebui să fie întotdeauna comparat cu definiția exactă în contextul dat. ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {B}}}$

Dimensiuni Borel regulate

O măsură Borel se numește măsură Borel obișnuită dacă este și o măsură regulată . Astfel, fiecare măsură de radon regulată extern este o măsură Borel regulată. Cu toate acestea, deoarece există termeni de regularitate separați pentru fiecare utilizare a termenului „măsură Borel”, este necesară prudență și aici și este necesară o comparație cu definițiile din contextul respectiv.

literatură

Jürgen Elstrodt : Măsura și teoria integrării . Ediția a 6-a, corectată. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , doi : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 .

Dovezi individuale

↑ Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2009, p. 313.
^ VV Sazonov: Borel Measure . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ).
^ Lawrence C. Evans , Ronald F. Gariepy: Măsurați teoria și proprietățile fine ale funcțiilor . CRC-Press, Boca Raton FL și colab. 1992, ISBN 0-8493-7157-0 .
↑ Eric W. Weisstein : Borel Measure . În: MathWorld (engleză).

[1] Elstrodt: Măsura și teoria integrării. 2009, p. 313.

[2] VV Sazonov: Borel Measure . În: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopedia matematicii . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engleză, online ).

[3] Lawrence C. Evans , Ronald F. Gariepy: Măsurați teoria și proprietățile fine ale funcțiilor . CRC-Press, Boca Raton FL și colab. 1992, ISBN 0-8493-7157-0 .

[4] Eric W. Weisstein : Borel Measure . În: MathWorld (engleză).

Languages