octaedru

octaedru
Tipul suprafețelor laterale	triunghiuri echilaterale
Numărul fețelor	A 8-a
Numărul de colțuri	Al 6-lea
Numărul de margini	Al 12-lea
Pictograma Schläfli	{3.4}
dual la	Hexahedron (cub)
Plasa corpului
Numărul de rețele diferite	11
Numărul de margini dintr-un colț	Al 4-lea
Numărul de colțuri ale unei suprafețe	A treia
Octahedron în format STL

( De asemenea, mai ales austriac : a) octoedrul [ ɔktaeːdɐ ] (din greacă veche ὀκτάεδρος oktáedros , germană „opt fețe“ ) este una dintre cele cinci platonice solide , mai precis un regulat poliedru ( poliedru , poliedru ) cu

• 8 triunghiuri echilaterale congruente ca suprafețe laterale
• 12 margini de lungime egală și
• 6 colțuri, în care se întâlnesc patru laturi

Este atât o piramidă dublă cu patru laturi echilaterală cu o bază pătrată - în proprietatea sa de politop transversal regulat al celei de- a treia dimensiuni - cât și un antiprism echilateral cu un triunghi echilateral ca bază .

simetrie

Trei pătrate perpendiculare între ele, fiecare formând baza unei piramide duble.

Octahedron cu exemple de axe de rotație și două planuri de simetrie (roșu și verde)${\ displaystyle C_ {4}, C_ {3}, C_ {2}}$

Datorită simetriei sale ridicate - toate colțurile , muchiile și suprafețele sunt similare una cu alta - octaedrul este un poliedru regulat . Are:

• 3 axe de rotație de patru ori (prin colțuri opuse)${\ displaystyle C_ {4}}$
• 4 axe de rotație triple (prin centrele suprafețelor opuse )${\ displaystyle C_ {3}}$
• 6 axe de rotație duble (prin centrele marginilor opuse)${\ displaystyle C_ {2}}$
• 9 nivele de simetrie (3 nivele prin patru colțuri fiecare (de ex. Roșu), 6 niveluri prin două colțuri fiecare și două centre de margine (de exemplu, verde))
• 14 rotații (6 cu 90 ° cu planuri prin patru colțuri fiecare și 8 cu 60 ° cu planuri prin șase centre de margine fiecare)

si este

• punctul simetric spre centru.

În total, grupul de simetrie al octaedrului - grupul octaedru sau grupul cubului - are 48 de elemente.

Relațiile cu alte poliedre

Octaedrul este poliedrul dual la hexaedru ( cub ) (Fig. 1) și invers.

Imaginea 2: Două tetraedre regulate inscripționate într-un cub fac un tetraedru stelar

Fig. 1: Octahedron cu cub dublu . În centrele de pătrate sunt colțurile octaedru.

Două tetraedre regulate (vezi Figura 2: un tetraedru în tonuri roșii, celălalt în tonuri verzi) pot fi inscripționate într-un cub în așa fel încât colțurile să fie în același timp colțurile cubului și marginile să fie diagonale ale suprafețelor cubului. Uniunea este un tetraedru stea

Tridimensională intersecția celor două tetraedrului (fig. 3) este un octaedru cu jumătate din lungimea laterală. Dacă, pe cele opt fețe ale tetraedrului octaedrului , se creează și un tetraedru stelar.

Dacă un octaedru este circumscris de un tetraedru regulat (Fig. 4), cele 6 colțuri ale octaedrului sunt centrele celor 6 margini ale tetraedrului și 4 dintre cele 8 fețe ale octaedrului se află în fețele laterale ale uneia dintre cele două posibile tetraedre. Octaedrul este creat atunci când 4 tetraedre cu aceeași lungime laterală sunt tăiate dintr-un tetraedru cu lungime dublă a muchiei.

Cu ajutorul octaedrelor și cubului , pot fi construite numeroase corpuri care au și grupul octaedru ca grup de simetrie . Așa că primești, de exemplu

• trunchiat octaedru cu 8 hexagoane și 6 pătrate
• cuboctahedron cu 8 triunghiuri și 6 patrate, adică cu 14 fețe și 12 colțuri
• cub trunchiat cu 8 triunghiuri și 6 octogoane

ca intersecție a unui octaedru cu un cub (vezi solidele arhimedeene ) și

• dodecaedru rombic cu 8 + 6 = 14 colțuri și 12 pastile ca fețe

ca o carenă convexă a unei uniuni a unui octaedru cu un cub .

Imaginea 3: Două tetraedre din cub au un octaedru pe jumătate din lungimea laturii ca o intersecție tridimensională .

Fig. 4: Un tetraedru regulat cu dublul lungimii unei laturi descrie un octaedru. Cele 6 colțuri ale octaedrului sunt apoi centrele celor 6 margini de tetraedru.

Formule

Dimensiunile unui octaedru cu lungimea muchiei a
volum	${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \ approx 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3}}$	fără unghiuri solide în colțuri${\ displaystyle \ Omega}$
Suprafață	${\ displaystyle A_ {O} = 2 \ times a ^ {2} \ times {\ sqrt {3}} \ approx 3 {,} 464 \ times a ^ {2}}$
Umkugelradius	${\ displaystyle r_ {u} = h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} \ approx 0 {,} 707 \ cdot a}$
Raza mingii de margine	${\ displaystyle r_ {k} = {\ frac {a} {2}} = 0 {,} 5 \ cdot a}$
Inc raza sferei	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {a} {6}} \ cdot {\ sqrt {6}} \ approx 0 {,} 408 \ cdot a}$
Raportul dintre volum  și volum al sferei	${\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {UK}}} = {\ frac {1} {\ pi}} \ approx 0 {,} 318}$
Unghiul interior al triunghiului echilateral	${\ displaystyle \ alpha = 60 ^ {\ circ}}$
Unghiul dintre fețele adiacente	${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right)}$  ${\ displaystyle \ approx 109 ^ {\ circ} \; 28 ^ {\ prime} \; 16 ^ {\ prime \ prime}}$
Unghiul dintre margine și față	${\ displaystyle \ gamma = 45 ^ {\ circ}}$
Unghiuri de margine 3D	${\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ}}$
Unghiuri solide în colțuri	${\ displaystyle \ Omega = \ arccos \ left ({\ frac {17} {81}} \ right) \ approx 1 {,} 3594 \; \ mathrm {sr}}$
Sfericitate	${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}} \ approx 0 {,} 846}$

Calculul octaedrului regulat

volum

Practic, octaedrul este format din două piramide asamblate cu o bază pătrată și o lungime a muchiei${\ displaystyle A_ {Gp}}$${\ displaystyle a.}$

Pentru piramide și deci pentru jumătate din volumul octaedrului se aplică

${\ displaystyle V_ {p} = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G_ {p}} \ cdot h_ {p},}$

acolo este zona de bază ( pătrat )

${\ displaystyle A_ {G} = a ^ {2},}$

și înălțimea piramidei

${\ displaystyle h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}},}$

cu variabile inserate și factorul 2

${\ displaystyle {\ begin {align} V & = 2 \ cdot \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ frac {a} {\ sqrt {2}} } \ right) \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ approx 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3} \ end { aliniat}}}$

Dacă volumul unui tetraedru regulat este cunoscut ca o funcție a lungimii muchiei, atunci volumul octaedrului poate fi calculat și ca diferență între volumul unui tetraedru circumscris cu lungimea muchiei și 4 tetraedri congruenți cu lungimea muchiei . În mod logic, rezultatul este același volum ${\ displaystyle 2 \ cdot a}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V & = {\ frac {(2 \ cdot a) ^ {3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} - 4 \ cdot {\ frac {a ^ {3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ approx 0 { ,} 471 \ cdot a ^ {3} \ end {align}}}$

Suprafață

Următoarele se aplică suprafeței octaedrului (opt triunghiuri echilaterale) ${\ displaystyle A_ {O}}$

${\ displaystyle A_ {O} = 8 \ cdot {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} \ cdot a ^ {2} = 2 \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ sqrt {3}} \ approx 3 {,} 464 \ cdot a ^ {2}.}$

Înălțimea piramidei

Înălțimea piramidei poate fi determinată folosind următorul triunghi dreptunghiular. ${\ displaystyle h_ {p}}$

La lungimile laterale ale acestui triunghi sunt (vezi imaginea în formule ): înălțimea laturilor ca ipotenuza, piramidă înălțime ca o parte mare și jumătate din lungimea marginii piramidei ca o parte mică. ${\ displaystyle h_ {s}}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ cdot a}$

Următoarele se aplică înălțimii triunghiului echilateral ${\ displaystyle h_ {s}}$

 ${\ displaystyle h_ {s} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a}$

iar conform teoremei lui Pitagora se aplică

${\ displaystyle {\ begin {align} \; h_ {p} ^ {2} & = h_ {s} ^ {2} - \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot a \ right) ^ {2} = h_ {s} ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} = {\ frac {3} {4}} \ cdot a ^ {2} - { \ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} \; \ Rightarrow \\ & = {\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2} \ Rightarrow \\ h_ {p} & = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ cdot a = {\ frac {a} { \ sqrt {2}}} \; \ approx 0 {,} 707 \ cdot a. \; \ end {align}}}$

Unghiul dintre fețele adiacente

Acest unghi, marcat cu (a se vedea imaginea din formule ), are vârful la o margine a octaedrului. Poate fi determinat folosind următorul triunghi dreptunghiular. ${\ displaystyle \ beta}$

Lungimile laterale ale acestui triunghi sunt: ​​raza sferei de margine ca o hipotenuză, raza incisferei ca un catet mare și o treime din înălțimea laterală ca un catet mic. Această valoare este determinată de poziția centrului de greutate al zonei triunghiulare, deoarece centrul de greutate geometric împarte înălțimea triunghiului într-un raport de 2: 1. ${\ displaystyle r_ {k}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}}$

Următoarele se aplică unghiului${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \; \ cos {\ frac {\ beta} {2}} & = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}} {r_ { k}}} = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot \ left ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \ cdot a} {\ frac {a } {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {6}} \ cdot {\ sqrt {3}}} {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {1} { \ sqrt {3}}} \; \ Rightarrow \\\ cos \ beta & = \ cos \ left (\ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ cdot 2 \ dreapta) = - {\ frac {1} {3}} \ Rightarrow \\\ beta & = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) \ approx 109 ^ {\ circ} \ ; 28 ^ {\ prime} \; 16 ^ {\ prime \ prime}. \; \ End {aliniat}}}$

Unghiul dintre margine și față

Acest unghi, notat cu , are vârful la un colț al octaedrului. Unghiul poate fi determinat folosind următorul triunghi dreptunghiular. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Lungimile laterale ale acestui triunghi sunt (a se vedea imaginea din formule ): marginea piramidei ca hipotenuză , înălțimea piramidei ca un catet mare și jumătatea diagonalei unui pătrat cu lungimea laturii / marginea ca un catet mic. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle {\ tfrac {d} {2}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

Următoarele se aplică unghiului${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \; \ cos \ gamma & = {\ frac {h_ {p}} {\ frac {d} {2}}} = {\ frac {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}} = 1 \\\ gamma & = \ arccos \ left (1 \ right) = 45 ^ {\ circ}. \; \ End { aliniat}}}$

Unghi de margine 3D

Acest unghi, marcat cu (vezi imaginea din formule ), are vârful la un colț al octaedrului și corespunde unghiului de două ori d. H. unghiul interior al unui pătrat . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ gamma,}$

Astfel se aplică unghiului de margine 3D al octaedrului

${\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ}.}$

Unghiuri solide în colțuri

Următoarea formulă, descrisă în Solidele Platonice , arată o soluție pentru unghiul solid${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi -2n \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) - \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}} \ right)}$

Cu numărul de muchii / suprafețe dintr-un colț și unghiul interior al triunghiului echilateral, se aplică următoarele ${\ displaystyle {n = 4}}$${\ displaystyle {a = 60 ^ {\ circ}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(1)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -2 \ cdot 4 \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi } {4}} \ right) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) - \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ}} {2}} \ right)}} \ right) \ Rightarrow \\ & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arcsin \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ right) \ approx 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \\\ end {align}}}$

din cauza asta ${\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(2)}} \; \ cos (\ arcsin x) & = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ Rightarrow \\\ end {align}}}$

folosit în și format ${\ displaystyle {\ mathsf {(2)}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {(1)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(3)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ left ({\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ right) \ approx 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \; \ end {align}}}$

simplificare

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(4)}} \; \ cos \ Omega & = \ cos \ left (2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ left ({\ frac {\ sqrt { 6}} {3}} \ right) \ right) = {\ frac {17} {81}} \ Rightarrow \\\ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(5)}} \; \ Omega & = \ arccos \ left ({\ frac {17} {81}} \ right) \ approx 1 {,} 359347638 \ ; \ mathrm {sr}. \; \ end {align}}}$

Definiția ca un set de puncte

Octaedru poate fi definit ca un set de puncte în tridimensional spațiu euclidian , în cazul în care suma a valorilor absolute ale celor 3 coordonate în sistemul de coordonate cartezian este cel mai mare ca raza sferei . În mod oficial, această sumă poate fi notată ca ${\ displaystyle r_ {u} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ right \} = \ left \ {( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {2} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {3 } \ right \ vert \ leq r_ {u} \ right \}}$

Aici, sume norma sau 1 norma a vectorului . Pentru interiorul octaedrului se aplică și pentru suprafață se aplică . Conform acestei definiții, punctul central al octaedru al originii coordonatelor și sale colțuri , , , , , sunt situate pe cele 3 axe ale sistemului de coordonate cartezian . ${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1} <r_ {u}}$${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1} = r_ {u}}$ ${\ displaystyle (r_ {u}, 0,0)}$${\ displaystyle (-r_ {u}, 0,0)}$${\ displaystyle (0, r_ {u}, 0)}$${\ displaystyle (0, -r_ {u}, 0)}$${\ displaystyle (0,0, r_ {u})}$${\ displaystyle (0,0, -r_ {u})}$

Mai general, un octaedru care are orice poziție în spațiul euclidian tridimensional poate fi definit folosind vectori . Este vectorul de poziție al centrului și sunt , , ortogonale vectori de direcție care leagă centrul octaedru cu 3 colturi, deci un sistem ortogonal al tridimensional spatiul vectorial , atunci frunzele cantitatea de punctele de octaedru definit ca suma a vectorilor${\ displaystyle {\ vec {m}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot { \ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ | t \ right \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ right \} = \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot {\ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ vert t_ {1} \ right \ vert + \ left \ vert t_ {2} \ right \ vert + \ left \ vert t_ {3} \ right \ vert \ leq r_ {ai dreptate \}}$

generalizare

Analogii octaedrului din orice dimensiune se numesc politopi transversali -dimensionali și sunt, de asemenea, politopi reguli . -Dimensional politopii cruce are colțuri și este mărginită de -dimensionale simplexes (ca fațete ). Patru dimensiuni politopii cruce are 8 colturi, 24 margini de lungime egală, 32 triunghiuri echilaterale ca suprafețe laterale și 16 tetraedre ca fațete. Unidimensionale politopii transversală este un segment , bidimensional politopii cruce este pătrat și tridimensională politopii cruce este octaedru. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ cdot n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle n-1}$

Un model pentru politopul transversal -dimensional este sfera unitară în raport cu norma de sumă${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1} = \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ cdots + \ left \ vert x_ {n} \ right \ vert}$ Pentru ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

în spațiul vectorial . Politopul încrucișat (închis) este, așadar ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• cantitatea

${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq 1 \ right \} = \ left \ {(x_ {1 }, \ dots, x_ {n}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ cdots + \ left \ vert x_ {n} \ right \ vert \ leq 1 \ right \}}$.

• convex coca a nodurilor , unde sunt cei versorii .${\ displaystyle 2 \ cdot n}$${\ displaystyle \ pm e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$
• intersecția celor jumătate spațiile împărțit de hiperplane a formei${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

${\ displaystyle \ pm x_ {1} \ pm \ cdots \ pm x_ {n} = 1}$

poate fi determinată și conține originea.

Volumul -dimensional cross-politopii este , unde raza sferei este în jurul originii a coordonatelor în raport cu norma suma. Relația poate fi dovedită folosind recursivitatea și teorema lui Fubini .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tfrac {(2 \ cdot r) ^ {n}} {n!}}}$${\ displaystyle r> 0}$

Rețelele octaedrului

Octaedrul are unsprezece plase . Asta înseamnă că există unsprezece moduri de a desfășura un octaedru gol tăind 5 margini deschise și întinzându-l în plan . Celelalte 7 margini leagă cele 8 triunghiuri echilaterale ale ochiurilor. Pentru a colora un octaedru astfel încât nici o față vecină să nu aibă aceeași culoare, aveți nevoie de cel puțin 2 culori.

O rețea a octaedrului

Animația unei rețele de octaedru

Grafice, grafice duale, cicluri, culori

Colorarea este ilustrată de
octaedrul înscris de cubul dual

Octaedrul are un grafic plan neorientat cu 6 noduri , 12 margini și 8 regiuni atribuite acestuia, care este 4- regulat , adică 4 margini încep de la fiecare nod, astfel încât gradul este 4 pentru toate nodurile. În cazul graficelor plane, dispunerea geometrică exactă a nodurilor este nesemnificativă. Cu toate acestea, este important ca marginile să nu se intersecteze. Nodurile acestui grafic octaedric corespund colțurilor cubului.

În nodurile octaedrala Graficul poate fi colorat cu 3 culori , astfel încât nodurile învecinate sunt întotdeauna colorate diferit. Aceasta înseamnă că numărul cromatic al acestui grafic este 3. În plus, marginile pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât marginile adiacente să fie întotdeauna colorate diferit. Acest lucru nu este posibil cu 3 culori, deci indicele cromatic pentru colorarea marginilor este de 4 (imaginea din dreapta ilustrează aceste colorări).

Graficul dual ( grafic cub) cu 8 noduri , 12 margini și 6 zone este util pentru a determina numărul necesar de culori pentru suprafețe sau zone . Nodurile acestui grafic sunt atribuite unu-la-unu (bijectiv) zonelor grafului octaedric și invers (vezi funcția bijectivă și figura de mai sus). Nodurile graficului cubului pot fi colorate cu 2 culori, astfel încât nodurile vecine să fie întotdeauna colorate diferit, astfel încât numărul cromatic al graficului cubului să fie egal cu 2. Din aceasta se poate concluziona indirect: Deoarece numărul cromatic este egal cu 2, sunt necesare 2 culori pentru o astfel de colorare a suprafeței octaedrului sau o colorare a zonelor grafului octaedrului.

Colorarea nodului graficului octaedric

Colorarea marginilor grafului octaedric

Colorarea zonei a graficului octaedru cu colorarea dublă a nodului a graficului cubului

Cele 5 margini tăiate ale fiecărei rețele (vezi mai sus) împreună cu colțurile ( nodurile ) formează un copac întins al graficului octaedru. Fiecare rețea corespunde exact unui copac care se întinde și invers, astfel încât să existe o atribuire unu-la-unu ( bijectiv ) între rețele și copaci care se întind. Dacă considerați o rețea de octaedru fără zona exterioară ca un grafic, obțineți un grafic dual cu un arbore cu 8 noduri și 7 margini și gradul maxim de nod 3. Fiecare zonă a octaedrului este atribuită unui nod al copac. Nu fiecare constelație teoretică a graficului (vezi izomorfismul graficelor ) al acestor arbori apare, dar unii apar de mai multe ori .

Graficul octaedric are 32 de cercuri Hamilton și 1488 cercuri Euler .

Grafic octaedru cu unul dintre cele 32 de cercuri Hamilton

Umpluturile camerei cu octaedre

Spațiul euclidian tridimensional poate fi complet umplut cu solide platonice sau solide arhimediene de aceeași lungime a muchiei. O astfel de placare tridimensională se numește umplutură de cameră . Următoarele umpluturi de spațiu conțin octaedre:

• 

  Umplerea camerei cu octaedru și tetraedru

• 

  Umplerea camerei cu cuboctaedru și octaedru

• 

  Umplerea camerei cu hexaedru trunchiat și octaedru

Tetraedrul Sierpinski

Sierpinski tetraedru . Numărul de tetraedre parțiale cvadruplează cu fiecare pas de iterație , volumul se apropie de 0, aria suprafeței rămâne constantă .
Cavitățile decupate ( poliedre ) sunt octaedre de diferite lungimi laterale.

Octaedrul este în mod indirect legat de tetraedrul Sierpinski . Tetraedrul Sierpinski este generalizarea tridimensională a triunghiului Sierpinski . Figura de plecare este un tetraedru . În fiecare etapă de iterație, un octaedru cu jumătate din lungimea muchiei este tăiat din centrul său . Ceea ce rămâne sunt 4 tetraedre, din care se decupează câte un octaedru etc.

După etapa de iterație , au apărut evident tetraedre parțiale cu aceeași lungime laterală. Numărul octaedrelor decupate cu lungimi laterale diferite este . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 4 ^ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {4 ^ {k} -1} {3}}}$

Dimensiunea acestei structuri este , deși este o figură în trei-dimensional spațiu. Cu un număr tot mai mare de pași de iterație, volumul figurii tinde la zero, dar aria suprafeței rămâne constantă, deoarece numărul suprafețelor laterale ale tetraedrului parțial congruent cvadruplează cu fiecare pas de iterație, în timp ce lungimea laterală a acestor suprafețe laterale , care sunt toate triunghiuri congruente sunt înjumătățite. ${\ displaystyle D = {\ frac {\ log (4)} {\ log (2)}} = 2}$

Aplicații

Cristale octaedrice de alun

În chimie , predicția geometriilor moleculare conform modelului VSEPR poate duce la molecule octaedrice . Octaedrul apare și în structurile cristaline , cum ar fi structura clorurii de sodiu cubice centrate pe față (numărul de coordonare 6), în celula unitară , precum și în chimia complexă dacă 6 liganzi sunt localizați în jurul unui atom central .

Unele minerale naturale , de ex. B. alum , cristalizează sub formă octaedrică.

În jocurile de rol, zarurile octaedrice sunt folosite și denumite „D8”, adică un zar cu 8 fețe.

Vezi si

• Numere octaedrice
• Diederwinkel
• poliedru
• Solid platonic

Link-uri web

Wikționar: octaedru  - explicații privind semnificațiile, originea cuvintelor, sinonime, traduceri

• Euclid: Stoicheia. Cartea XIII.14. Octahedron al unei sfere ...
• Octahedron . - Matematică

Dovezi individuale

1. ^ Wilhelm Pape , Max Sengebusch (aranjament): Dicționar concis al limbii grecești . Ediția a 3-a, a 6-a impresie. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 ( zeno.org [accesat la 12 martie 2020]). 
2. ↑ Eric Weisstein: Octahedron obișnuit. Formula Umkugelradius (12). În: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, accesat pe 27 iunie 2020 . 
3. ↑ Harish Chandra Rajpoot: unghiuri solide subtinse de solidele platonice (poliedre regulate) la vârfurile lor. SlideShare, martie 2015, accesat pe 27 iunie 2020 . 
4. ↑ Expresie alternativă pentru . ${\ displaystyle \ cos \ Omega}$WolramAlpha, accesat pe 27 iunie 2020 . 
5. ↑ Susumu Onaka, Departamentul de Știința și Ingineria Materialelor, Institutul de Tehnologie din Tokyo: ecuații simple care oferă forme ale diferitelor poliedre convexe: poliedrele regulate și poliedrele compuse din plan cu index cristalografic scăzut
6. ^ Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Proprietăți de bază ale politopilor conveși
7. ↑ Eric Weisstein: Octahedron obișnuit. Rețele. În: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, accesat pe 27 iunie 2020 . 
8. ↑ Mike Zabrocki: HOMEWORK # 3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) Universitatea York, Matematică și Statistică, Toronto, 2003, p. 3 , accesat la 31 mai 2020 . 
9. ↑ Eric Weisstein: Octahedral Graph. În: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, accesat pe 27 iunie 2020 . 
10. ^ Wolfram MathWorld: Tetrix
11. ↑ Gayla Chandler, Hideki Tsuiki: Fotografii: Tetraedrul Sierpinski și complementul său