Hexagon

Un hexagon obișnuit

Un hexagon sau hexadecagon este un poligon cu 16 laturi și 16 colțuri. La fel ca toate poligoanele cu cel puțin patru laturi, hexagonele pot fi împărțite în hexagone răsturnate și neinversate (simple). Cele simple se transformă în hexagone concave și convexe. Acestea din urmă pot fi diferențiate în funcție de alte criterii, cum ar fi lungimile laturilor, simetriile sau poziția colțurilor.

În cele ce urmează, acest articol se referă la hexagonul obișnuit - care este convex , are șaisprezece laturi de lungime egală și colțurile cărora se află pe un perimetru comun - precum și la hexagonele care se suprapun regulat .

Hexagon regulat

Deja matematicienii greci din antichitate erau cunoscuți că un hexadecagon obișnuit cu rigla și busola este construibil . Acest lucru este posibil deoarece poate fi generat și dintr-un pătrat sau octogon prin (continuarea) dublării numărului de colțuri.

Mărimi

Dimensiunile unui hexagon obișnuit
Unghiul interior	${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ frac {n-2} {n}} \ times 180 ^ {\ circ} = {\ frac {14} {16}} \ times 180 ^ {\ circ} \\ & = 157 {,} 5 ^ {\ circ} \ end {align}}}$
Unghiul central (Unghi central)	${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu & = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {16}} = 22 {,} 5 ^ {\ circ} \ end {align}}}$
Lungime laterală	${\ displaystyle {\ begin {align} a & = 2 \ cdot R \ cdot \ sin \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {16}} \ right) \\ & = 2 \ cdot R \ cdot \ sin (11 {,} 25 ^ {\ circ}) \\ a & = R \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} \ end {aliniat }}}$
Raza perimetrală	${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ frac {a} {2 \ cdot \ sin \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {16}} \ right)}} \\ & = {\ frac {a} {2 \ cdot \ sin (11 {,} 25 ^ {\ circ})}} \\ R & = {\ frac {a} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} \ end {align}}}$
Raza inscrisa	${\ displaystyle {\ begin {align} r & = a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {16}} \ right) \ \ & = a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot \ cot (11 {,} 25 ^ {\ circ}) \\ r & = a \ cdot {\ frac {1} {2} } \ cdot {\ sqrt {\ frac {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} \ sfârșit {aliniat}}}$
înălţime	${\ displaystyle {\ begin {align} h & = 2 \ cdot r = a \ cdot \ cot \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) \ end {align}}}$
Zonă	${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 4 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {16}} \ right) \\ & = 4 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ cot (11 {,} 25 ^ {\ circ}) \\ A & = 4 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ cdot \ left ({\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2}}}} + 1 \ right) \\ A & = 4 \ cdot R ^ {2} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} \ end {align}}}$

Relații matematice

Unghiul interior

Formula generală pentru poligoane dă

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {n-2} {n}} \ times 180 ^ {\ circ} = {\ frac {16-2} {16}} \ times 180 ^ {\ circ} = {\ frac {14} {16}} \ cdot 180 ^ {\ circ} = 157 {,} 5 ^ {\ circ}.}$

Unghiul central

Unghiul central sau unghiul central este închis de două raze circumferențiale vecine . În formula generală, introduceți numărul variabilei : ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 16}$

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {16}} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}.}$

Lungime laterală

Pentru calculul lungimii laturii, gândiți-vă la hexagonul împărțit în 16 triunghiuri congruente (triunghiuri de determinare). Dacă luăm jumătate din astfel de triunghi a, adică un triunghi dreptunghic cu laturile , și cu jumătate din unghiul central apoi se aplică următoarele ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ frac {22 {,} 5 ^ {\ circ}} {2}} = 11 {,} 25 ^ {\ circ},}$

${\ displaystyle \ sin (11 {,} 25 ^ {\ circ}) = {\ frac {\ frac {a} {2}} {R}} = {\ frac {a} {2 \ cdot R}}; }$

prin înmulțirea cu unul se obține ${\ displaystyle 2 \ cdot R}$

${\ displaystyle a = 2 \ cdot R \ cdot \ sin (11 {,} 25 ^ {\ circ}) \ approx 0 {,} 390 \ cdot R.}$

Expresie algebrica:

${\ displaystyle a = R \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}}$

Raza perimetrală

Raza perimetrală pentru o lungime laterală dată este ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ cdot \ sin (11 {,} 25 ^ {\ circ})}} \ approx 2 {,} 563 \ cdot a.}$

Expresie algebrica:

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}}$

Raza inscrisa

Raza incerculară poate fi determinată și cu ajutorul unui triunghi de determinare înjumătățit. Se predă ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ tan \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) = {\ frac {\ frac {a} {2}} {r}} = {\ frac {a} {2 \ cdot r}};}$

prin înmulțirea cu unul se obține ${\ displaystyle 2 \ cdot r}$

${\ displaystyle 2 \ cdot r \ cdot \ tan \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) = a}$

și mai departe

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2 \ cdot \ tan \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right)}};}$

din cauza

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tan \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right)}} = \ cot \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right)}$

se aplică, de asemenea

${\ displaystyle r = a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot \ cot \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) \ approx 2 {,} 514 \ cdot a.}$

Expresie algebrica:

${\ displaystyle a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sqrt {\ frac {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}}}$

înălţime

Înălțimea unui hexagon obișnuit este de două ori raza de cerc. ${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle h = 2 \ cdot r = {\ frac {a} {\ tan \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right)}} = a \ cdot \ cot \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) \ approx 5 {,} 0273 \ cdot a.}$

Zonă

Aria unui triunghi se calculează pornind într - o determinare triunghi , înălțimea este egală cu raza incircle . Aria întregului hexagon, adică H. 16 triunghiuri de determinare, este deci ${\ displaystyle A _ {\ Delta} = {\ frac {1} {2}} \ cdot a \ cdot h_ {a}.}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle A = {\ frac {16} {2}} \ cdot a \ cdot r.}$

Cu expresia pentru derivat în raza incerculară urmează ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle A = {\ frac {16} {2}} \ cdot a \ cdot a \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot \ cot \ left (11 {,} 25 ^ {\ circ} \ right) = 4 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ cot (11 {,} 25 ^ {\ circ}).}$

Expresie algebrica:

${\ displaystyle A = 4 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ cdot \ left ({\ sqrt {4-2 {\ sqrt {2}}} } +1 \ dreapta) \ aproximativ 20 {,} 109 \ cdot a ^ {2}.}$

Deoarece numărul laturilor unui hexagon este o putere de două , aria poate fi calculată și pe circumferința cu raza folosind o formulă derivată din reprezentarea produsului Vieta a numărului de cerc Pi : ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle A = R ^ {2} \ cdot {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2}}}}} = 4 \ cdot R ^ {2} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} \ approx 3 {,} 061 \ cdot R ^ {2} .}$

Construcții geometrice

Având o rază dată

La prima vedere, se pare evident mai întâi desena o parte a octogon cu ei circumferința și apoi să înjumătățească centrul unghiul pentru a obține lungimea laterală a hexagonului. Cu toate acestea, este de asemenea posibil să se determine unghiul central în câteva etape de construcție. ${\ displaystyle \ mu}$

Imaginea 1: Hexagon pentru o circumferință dată

• ES începe (Fig. 1) cu extragerea diametrului , urmată de un punct și un arc cu o rază care se intersectează în și . Linia de legătură bisectând diametrul în După desenarea cercului circumscris este intersecția rezultată cu legată. Dacă se trasează un arc de cerc în jurul razei liniei de legătură în tăieturi. În cele din urmă, o jumătate de linie rezultă din punctul central prin până când se intersectează circumferința la punctul de colț . Astfel, a fost găsită prima parte a celui de- al șaisprezecelea rezultat. După ce au fost trasate cele cincisprezece laturi rămase, hexagonul este complet.${\ displaystyle {\ overline {AB}},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {AB}},}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ overline {CD}}}$${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle O.}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle {\ overline {E_ {4} O}},}$${\ displaystyle {\ overline {E_ {4} B}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle {\ overline {E_ {1} B}}}$

Unghiul central cu lățimea unghiulară rezultă din unghiurile interioare ale triunghiului isoscel${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {16}} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle OFE_ {4}:}$

${\ displaystyle \ angle {OE_ {4} F} = 45 ^ {\ circ},}$

${\ displaystyle \ angle {FOE_ {4}} = \ angle {E_ {4} FO} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (180 ^ {\ circ} -45 ^ {\ circ} \ right) = 67 {,} 5 ^ {\ circ}}$

urmează

${\ displaystyle \ angle {BOF} = 90 ^ {\ circ} -67 {,} 5 ^ {\ circ} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$

• O construcție alternativă (Fig. 2) înjumătățește raza circumferențială și un unghi.${\ displaystyle 45 ^ {\ circ}}$

Imaginea 2: Construcție alternativă a unui hexagon regulat cu o circumferință dată, animație

Pentru o lungime laterală dată

Imaginea 3: Hexagon cu o lungime laterală dată, vezi animația

Construcția unui hexagon regulat cu o lungime laterală dată (Fig. 3) este foarte asemănătoare cu cea a unui octogon cu o lungime laterală dată .)

În primul rând, punctele finale ale lungimii laterale sunt desemnate cu și. Acesta este urmat de un arc cu raza în jurul punctului și un al doilea cu aceeași rază în jur ; intersecțiile și rezultatul . Se continuă cu raza de prin și paralelele la din punct că arc în jurul valorii în bucăți. Acum punctul este legat de ; se creează punctul de intersecție . Apoi o bisectoare bisectează unghiul ; l taie pe jumătate linie în . În acest fel, se determină centrul hexagonului rezultat. Unghiul central este asigurat de a doua jumătate de linie . După trasarea circumferinței în jurul și prin , rezultă colțurile și hexagonul. Acum, îndepărtați lungimile laterale lipsă de pe circumferință și conectați în cele din urmă colțurile vecine la un hexagon finit. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ overline {RS}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle TBU}$${\ displaystyle {\ overline {RS}}}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle O.}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle a}$

Unghiul central cu lățimea unghiulară rezultă din unghiurile interioare ale triunghiului isoscel${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {16}} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle BUA:}$

${\ displaystyle \ angle {BAU} = 45 ^ {\ circ},}$

${\ displaystyle \ angle {AUB} = \ angle {UBA} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (180 ^ {\ circ} -45 ^ {\ circ} \ right) = 67 {, } 5 ^ {\ circ}}$

urmează

${\ displaystyle \ mu = \ angle {TBU} = \ angle {AOB} = 90 ^ {\ circ} -67 {,} 5 ^ {\ circ} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}.}$

Hexagone încrucișate regulat

Se obține un colț al șaisprezecelea arcuit regulat dacă cel puțin unul este omis de fiecare dată când se conectează cele șaisprezece puncte de colț și acordurile astfel create au aceeași lungime. Astfel de stele obișnuite sunt notate cu simboluri Schläfli , indicând numărul de puncte de colț și conectând fiecare punct. ${\ displaystyle \ left \ {n / k \ right \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Există doar trei stele obișnuite cu șaisprezece raze, numite și hexadecagrame.

„Stele“ cu simbolurile Schläfli {16/2} și {16/14} sunt regulate octogoane și cele cu simbolurile Schläfli {16/4} și {16/12} sunt pătrate . Stelele cu simbolurile Schläfli {16/6} și {16/10} sunt opt stele, numite și octograme.

• Stele obișnuite cu șaisprezece raze
• 

  ${\ displaystyle \ left \ {16/3 \ right \} {,} \ \ left \ {16/13 \ right \}}$

• 

  ${\ displaystyle \ left \ {16/5 \ right \} {,} \ \ left \ {16/11 \ right \}}$

• 

  ${\ displaystyle \ left \ {16/7 \ right \} {,} \ \ left \ {16/9 \ right \}}$

Apariție

artă

Turnul cu șaisprezece laturi din Căsătoria Fecioarei lui Rafael

Un model de țiglă cu șaisprezece fețe al Alhambrei ,
în centru steaua {16/7}, {16/9}

În modelul de țiglă Girih din Alhambra , există, de asemenea, simetrii cu șaisprezece fețe.

La începutul secolului al XVI-lea, Rafael a fost primul pictor care a descris o reprezentare în perspectivă a unei clădiri obișnuite cu șaisprezece părți din Căsătoria Fecioarei .

arhitectură

Structurile cu șaisprezece laturi sunt z. De exemplu, englezii A La Ronde din secolul al XVIII-lea, farul olandez Huisduinen de la sfârșitul secolului al XIX-lea și fosta clădire Panorama din Leipzig . Clădirile centrale sacre , cum ar fi Catedrala din Aachen, în special , au o astfel de structură cu concepția geometrică a octogonului său carolingian, împreună cu zona înconjurătoare și capela cu șaisprezece părți din interiorul Catedralei din Magdeburg .

Link-uri web

• Eric W. Weisstein : Hexadecagon . În: MathWorld (engleză).

Dovezi individuale

1. ↑ Publicat în Nexus III: Architecture and Mathematics , Kim Williams (Ed.): Ospedaletto , Pisa: Pacini Editore, 2000, pp. 147–156.
2. ↑ ottostadt magdeburg: Capela cu șaisprezece colțuri . Otto cel Mare din Catedrala din Magdeburg. Informații turistice Magdeburg, 12 septembrie 2019, accesat pe 23 septembrie 2019 .