energie

Mărimea fizică
Nume de familie	energie
Simbolul formulei	${\ displaystyle E}$
Dimensiune și sistem de unitate unitate dimensiune SI J = kg·m 2·s −2   = N·m   = W·s L 2·M.·T −2 cgs erg L 2·M.·T −2

Energia este o cantitate fizică fundamentală care joacă un rol central în toate domeniile fizicii , precum și în tehnologie , chimie , biologie și economie . Unitatea dvs. SI este joule . Importanța practică a energiei este de multe ori ca un sistem fizic la gradul de căldură da off de muncă permite sau radiații pot emite, în cazul în care se reduce energia. Într-un sistem care este închis de mediu , energia totală nu se schimbă (legea conservării energiei ). Importanța energiei în fizica teoretică constă, printre altele, în faptul că legea conservării energiei, inițial un fapt al experienței, poate fi deja dedusă din faptul că legile fizice fundamentale ale naturii sunt neschimbabile în timp.

Energia vine sub diferite forme de energie care pot fi convertite una în alta . Exemple de forme de energie sunt energia potențială , cinetică , electrică , chimică și termică (energia termică). Exemple de astfel de conversii de energie sunt că o persoană ridică un pachet sau accelerează o bicicletă , că o baterie este încărcată, că o ființă vie metabolizează sau că un încălzitor degajă căldură.

Energia unui sistem depinde de starea sa , i. H. asupra parametrilor sistemului și a valorilor actuale ale variabilelor sale . Forma acestei dependențe determină dezvoltarea temporală a sistemului în fiecare detaliu în conformitate cu ecuațiile hamiltoniene ale mișcării , ecuația Schrödinger sau ecuația Dirac .

Conform teoriei relativității , energia de repaus și masa sunt legate de echivalența masei și energiei ( ). ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$

Istoria termenului

Hermann von Helmholtz

Nicolas Léonard Sadi Carnot

Cuvântul energie se întoarce la greaca antică ἐνέργεια , energeia , care în Grecia antică avea un sens pur filosofic în sensul „realității și eficacității vii” (vezi și „ act și potență ”). Ca termen științific, cuvântul în sine a fost introdus pentru prima dată în mecanică în 1807 de către fizicianul Thomas Young . Noua cantitate de energie ar trebui să indice puterea unor efecte foarte specifice pe care un corp în mișcare le poate produce prin mișcarea sa și care nu poate fi determinată doar prin impulsul său („masa de viteză”). De la investigarea impactului a două corpuri de Christiaan Huygens , Christopher Wren și John Wallis în jurul anului 1668, se știe despre impulsul că este reținut în corpuri elastice și inelastice, adică măsura corectă a modificărilor provocate și astfel căci „măreția mișcării” indestructibilă este. Cu toate acestea, în alte procese, corpuri de masă diferită provoacă efecte de magnitudine diferită, chiar dacă au același impuls. Aceasta include, de exemplu, înălțimea pe care o atinge un corp atunci când se deplasează în sus sau adâncimea găurii pe care o face într-o masă moale la impact. Efectul nu crește proporțional cu viteza, la fel ca impulsul, ci cu pătratul vitezei. Prin urmare, în 1686 Gottfried Wilhelm Leibniz a descris mărimea drept adevărata măsură a dimensiunii mișcării și a numit-o vis viva („forța vie”). Acest nume a urmat limbajul folosit la acea vreme, în care un corp nu putea produce efecte decât prin forțele inerente acestuia. Numele de forță vie , totuși, a „provocat o confuzie de idei nefastă și o multitudine de neînțelegeri prin confuzia sa cu conceptul de forță al lui Newton” (potrivit lui Max Planck în prezentarea sa premiată a istoriei legii conservării energie în 1887). Leibniz a argumentat după cum urmează: ${\ displaystyle mv}$${\ displaystyle mv ^ {2}}$

O greutate a înălțimii pentru a ridica fiecare bucată la fel de multă muncă ca o greutate la înălțime pentru a ridica (principiul pârghiei). Potrivit lui Galileo, Galilei este în cădere liberă , deci viteza finală în primul caz este de două ori mai mare decât în ​​al doilea caz. Dacă se începe cu forța inerentă (vie) cu care se dorește măsurarea acestei lucrări ( forma latentă a forței vii ), atunci se păstrează forța vie , adică și nu așa cum au gândit adepții lui Descartes.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 4h}$${\ displaystyle 4m}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle v \ sim {\ sqrt {h}}}$${\ displaystyle m \, f (v)}$${\ displaystyle m \, f (2v) = 4 \, m \, f (v)}$${\ displaystyle f (v) = v ^ {2}}$${\ displaystyle f \ sim v}$

Daniel Bernoulli a derivat deja prefactorul corect în energia cinetică în 1726. La el, ca și la alte mecanici analitice ale secolului al XVIII-lea, cum ar fi Leonhard Euler (de exemplu, tratamentul deformării elastice), Joseph Louis Lagrange (Mécanique Analytique 1788), există și precursori ai conceptului de energie potențială (termenul funcție potențială provine din George Green În 1828 și independent a fost introdus de Carl Friedrich Gauß în 1840, dar era deja cunoscut sub numele de Lagrange și Laplace ca potențial). Conceptul era deja cunoscut de Leibniz (în derivarea sa din ) și de Johann I Bernoulli , care a fost primul care a formulat principiul conservării forțelor vii în 1735 (Leibniz a avut și ideea, de exemplu, în a cincea scrisoare adresată lui Samuel Clarke ), în special de la studentul Leibniz Christian Wolff a fost răspândit. În acel moment, se vorbea despre energia potențială ca forma latentă a forței vii care, de exemplu, este distribuită particulelor mai mici ale corpului în timpul coliziunilor inelastice.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle mv ^ {2}}$

Pentru a putea prezice efectele menționate ale mișcării corpului , Young a definit cantitatea de energie ca fiind capacitatea corpului de a parcurge o anumită distanță împotriva unei forțe rezistente. De asemenea, el a observat că lucrarea care se face sub formă de lucrări de ridicare pe un corp se reflectă ulterior cantitativ în energia sa, dar nu a venit încă cu conceptul de conversie a diferitelor forme de energie și, de asemenea, a păstrat formula lui Leibniz și a fost în mare măsură Încă un susținător al punctului de vedere cartezian al forțelor .${\ displaystyle \ textstyle mv ^ {2}}$

În secolul al XVIII-lea, mecanica și fizica nu erau interesate în mod deosebit de energie; cercetători importanți precum Euler au văzut disputa cu privire la Vis Viva , adevărata măsură a forței, ca o chestiune pentru filozofi și soluția la ecuațiile mișcării a fost în primul rând preocupată cu mecanica cerească. Conceptul de energie în sensul actual nu a luat naștere din mecanica analitică a secolului al XVIII-lea, ci de matematicienii aplicați ai școlii franceze, inclusiv Lazare Carnot , care a scris că forța vie este fie ca forță de ori (ca latentă) forță vie) se poate manifesta. O definiție cantitativă a muncii („force times way” sau ) a fost dată simultan de Coriolis și Poncelet în 1829 , aparent independent unul de celălalt și, de asemenea, de Young. Coriolis a găsit, de asemenea, expresia potrivită pentru energia cinetică , pe care Rankine a numit-o prima dată energie cinetică în 1853 .${\ displaystyle mv ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int {\ vec {F}} \ cdot d {\ vec {s}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$

În legătură cu motorul cu aburi, s-a dezvoltat ideea că energia termică este cauza energiei în mișcare sau a lucrărilor mecanice în multe procese. Punctul de plecare a fost că apa este transformată într-o stare gazoasă prin intermediul căldurii și expansiunea gazului este utilizată pentru a muta un piston într-un cilindru. Mișcarea de putere a pistonului reduce energia termică stocată a vaporilor de apă. Legătura dintre energie mecanică și căldură a fost demonstrată în experimentele lui Benjamin Thompson (contele Rumford, München 1796, 1798) și Humphry Davy (1799), care au devenit celebre .

Fizicianul Nicolas Carnot a recunoscut că efectuarea lucrărilor mecanice necesită o modificare a volumului aburului. De asemenea, a aflat că apa fierbinte din motorul cu aburi nu este răcită doar prin conducție. Carnot a publicat aceste descoperiri în 1824 într-o lucrare foarte apreciată despre principiul funcțional al motorului cu aburi. Émile Clapeyron a adus descoperirile lui Carnot într-o formă matematică în 1834 și a dezvoltat reprezentarea grafică a ciclului Carnot , care este încă folosită astăzi .

În 1841 medicul german Julius Robert Mayer și-a publicat ideea că energia nu poate fi nici creată, nici distrusă, ci doar convertită. El i-a scris unui prieten: „Afirmația mea este ...: Forța în cădere, mișcarea, căldura, lumina, electricitatea și diferența chimică a ponderabiliei sunt unul și același obiect în diferite manifestări.” Cantitatea de căldură care se pierde în o mașină cu aburi ar corespunde exact acelei lucrări mecanice pe care o face mașina. Acest lucru este cunoscut astăzi ca „conservarea energiei”, sau „prima lege a termodinamicii”.

În 1854, fizicianul Rudolf Clausius a îmbunătățit ideile despre conversia energiei. El a arătat că doar o parte din energia termică poate fi transformată în lucru mecanic. Un corp în care temperatura rămâne constantă nu poate face nicio lucrare mecanică. Clausius a dezvoltat a doua lege a termodinamicii și a introdus conceptul de entropie. Conform celei de-a doua legi, este imposibil ca căldura să treacă independent de la un corp mai rece la unul mai cald.

În 1847 Hermann von Helmholtz a formulat principiul „despre păstrarea puterii” și imposibilitatea unei mișcări perpetue ( perpetuus , lat. Etern; mobilis , lat.: Mobil) de tip 1 A generat energie atunci când a fost introdusă în ea. Helmholtz și-a găsit descoperirile lucrând cu energia electrică din elemente galvanice, în special o celulă de zinc / brom. În anii următori, el a legat entropia și dezvoltarea căldurii unei conversii chimice la energie liberă . Cu toate acestea, în anii 1840, atât Mayer, cât și Helmholtz au avut dificultăți în publicarea descoperirilor lor, deoarece amândoi au fost considerați inițial străini nespecialiști, iar fizicienii din Germania erau și se aflau într-o poziție defensivă împotriva filozofiei naturale a cercului din jurul Schelling , care influențaseră încă de la sfârșitul secolului al XVIII-lea, ambii suspectându-se că sunt susținătorii acestei fizici speculative .

În 1878, Josiah Gibbs a ajuns la descoperiri similare, așa cum a făcut Helmholtz cu celulele electrochimice. Reacțiile chimice au loc numai atunci când energia liberă scade. Energia liberă poate fi utilizată pentru a prezice dacă o conversie chimică este chiar posibilă sau cum se va comporta echilibrul chimic al unei reacții atunci când există o modificare a temperaturii.

După ce Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902) și Hendrik Lorentz (1904) publicaseră deja reflecții asupra masei electromagnetice, Albert Einstein a publicat în 1905, ca parte a teoriei sale speciale a relativității, cunoașterea faptului că masa și energia sunt echivalente .

Forme de energie și conversie a energiei

Motoarele cu aburi transformă căldura în energie mecanică.

O dinamă de bicicletă transformă energia mecanică în energie electrică.

Un incendiu transformă energia chimică în căldură.

Energia poate fi conținută într-un sistem în moduri diferite. Aceste posibilități se numesc forme de energie . Exemple de forme de energie sunt energia cinetică , energia chimică , energia electrică sau energia potențială . Diferite forme de energie pot fi convertite una în alta, prin care suma cantităților de energie peste diferitele forme de energie este întotdeauna aceeași înainte și după conversia energiei.

O conversie poate avea loc numai în așa fel încât toate celelalte cantități conservate ale sistemului să aibă aceeași valoare înainte și după conversie. De exemplu, conversia energiei cinetice este restricționată de conservarea impulsului și a impulsului unghiular al sistemului. Un giroscop poate fi încetinit și astfel poate pierde energie dacă emite simultan impuls unghiular. Există, de asemenea, astfel de restricții la nivel molecular. Multe reacții chimice care ar fi posibile din punct de vedere energetic nu au loc spontan, deoarece ar încălca conservarea impulsului. Alte cantități conservate sunt numărul de barioni și numărul de leptoni . Ele restricționează conversia energiei prin reacții nucleare . Energia conținută în masa materiei poate fi convertită complet într-o altă formă de energie cu o cantitate egală de antimaterie . Fără antimaterie, conversia cu ajutorul fisiunii nucleare sau a fuziunii nucleare nu reușește decât într-o mică măsură.

De Termodinamica este a doua lege a termodinamicii o altă condiție de conversie înainte: entropia unui sistem închis nu poate scădea. Eliminarea căldurii fără ca alte procese să funcționeze în paralel înseamnă răcire. O temperatură mai scăzută, însă, corespunde unei entropii reduse și contrazice astfel a doua lege. Pentru a transforma căldura într-o altă formă de energie, o altă parte a sistemului trebuie încălzită în schimbul răcirii. Prin urmare, conversia energiei termice în alte forme de energie necesită întotdeauna o diferență de temperatură. În plus, nu se poate converti întreaga cantitate de căldură stocată în diferența de temperatură. Motoarele termice sunt folosite pentru a transforma căldura în energie mecanică. Raportul dintre munca maximă posibilă dată de a doua lege și cantitatea de căldură consumată se numește eficiența Carnot . Cu cât diferența de temperatură cu care funcționează motorul termic este mai mare, cu atât este mai mare.

Alte transformări nu sunt la fel de afectate de constrângerile legilor de conservare și ale termodinamicii. În acest fel, energia electrică poate fi convertită aproape complet în multe alte forme de energie cu puțin efort tehnic. De exemplu, motoarele electrice le transformă în energie cinetică.

Majoritatea transformărilor nu au loc în întregime într-o singură formă de energie, ci mai degrabă o parte din energie este transformată în căldură. În aplicațiile mecanice, căldura este generată în principal de frecare . În aplicațiile electrice, rezistența electrică sau curenții turbionari sunt adesea cauza generării de căldură. Această căldură nu este de obicei utilizată și se numește pierdere. În legătură cu curentul electric, emisia undelor electromagnetice poate apărea și ca o pierdere nedorită. Raportul dintre energia convertită cu succes și energia utilizată se numește eficiență .

În aplicațiile tehnice, o serie de conversii de energie sunt adesea cuplate. Într-o centrală electrică pe cărbune , energia chimică a cărbunelui este transformată mai întâi în căldură prin ardere și transferată în vaporii de apă. Turbinele transformă căldura aburului în energie mecanică și, la rândul său, acționează generatoare care transformă energia mecanică în energie electrică.

Energia în mecanica clasică

Pendulul unui ceas cu pendul convertește regulat energia cinetică în energie potențială și invers. Ceasul folosește energia pozițională a greutăților din câmpul gravitațional al Pământului pentru a compensa pierderile de frecare.

În mecanica clasică , energia unui sistem este capacitatea sa de a lucra . Lucrarea convertește energia între diferite forme de energie. Forma specială a legilor lui Newton asigură că suma tuturor energiilor nu se schimbă. Fricțiunea și pierderile de energie asociate nu sunt luate în considerare în această considerație.

Teorema Noether permite o definiție mai generală a energiei, care ia automat în considerare aspectul de conservare a energiei. Toate legile naturale ale mecanicii clasice sunt invariante în ceea ce privește schimbările în timp. Acestea se caracterizează prin faptul că se aplică neschimbate în aceeași formă în orice moment. Teorema Noether afirmă acum că există o cantitate fizică pentru această simetrie în raport cu schimbarea în timp, a cărei valoare nu se modifică în timp. Această cantitate este energie.

Din legea conservării energiei și inevitabila pierdere a energiei prin frecare rezultă că este imposibil să se construiască o mașină mecanică care poate funcționa pentru orice perioadă de timp ( mișcare perpetuă ). În plus, conservarea energiei, împreună cu conservarea impulsului, permit să se facă afirmații despre rezultatul coliziunilor dintre obiecte fără a fi nevoie să se cunoască mecanismul exact al coliziunii.

Energie și mișcare

Energia cinetică este energia inerentă stării de mișcare a unui corp. Este proporțională cu masa și cu pătratul vitezei față de sistemul inerțial în care este descris corpul. ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} \, = \, {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$.

Cantitatea de energie cinetică depinde de punctul de vedere din care este descris sistemul. Adesea se folosește un sistem inerțial, care este în repaus în raport cu solul.

În plus față de o mișcare de translație, un corp extins poate efectua și o mișcare de rotație. Energia cinetică conținută în mișcarea de rotație se numește energie de rotație . Aceasta este proporțională cu pătratul vitezei unghiulare și cu momentul de inerție al corpului.

Energie și potențial

Energia potențială , numită și energie pozițională , ajunge la un corp prin poziția sa într-un câmp de forță , cu condiția să fie o forță conservatoare . Acesta ar putea fi, de exemplu, câmpul de gravitație al pământului sau câmpul de forță al unui arc . Energia potențială scade în direcția forței și crește în direcția forței; perpendicular pe direcția forței, este constantă. Dacă corpul se deplasează dintr-un punct în care are o energie potențială ridicată într-un punct în care este mai mic, face la fel de multă muncă fizică pe cât a scăzut energia sa potențială. Această afirmație se aplică indiferent de modul în care corpul a ajuns de la un punct la altul.

Energia potențială a unui corp cu masă într-un câmp gravitațional omogen cu accelerație gravitațională este proporțională cu înălțimea deasupra originii sistemului de coordonate: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle E _ {\ text {pot}} = m \, g \, h \,}$.

În timpul căderii libere , această energie potențială este convertită în energie cinetică prin accelerarea corpului.

Deoarece originea coordonatelor poate fi aleasă în mod arbitrar, energia pozițională a corpului nu este dată niciodată în termeni absoluți și nu poate fi măsurată. Numai schimbările lor sunt măsurabile.

În cazul mișcărilor periodice, energia potențială este convertită în mod regulat în energie cinetică și din nou în energie potențială. În cazul pendulului , de exemplu, energia potențială este maximă în punctele de inversare; energia cinetică este zero aici. Când firul atârnă vertical, masa atinge viteza maximă și astfel și energia cinetică maximă; energia potențială are aici un minim. O planetă are cel mai mare potențial, dar și cea mai mică energie cinetică în punctul său cel mai îndepărtat de soare. Până în punctul cel mai apropiat de soare, viteza sa orbitală crește suficient cât creșterea energiei cinetice compensează cu precizie scăderea energiei potențiale.

Energia elastică este energia potențială a atomilor sau moleculelor deplasate din poziția lor de repaus într-un corp deformat elastic , de exemplu un arc mecanic . În general, energia care este stocată (sau eliberată) în corp în timpul deformării elastice sau plastice se numește energie de deformare .

Energia în termodinamică

Fig. 1 Energia termică și principiile principale ale termodinamicii (ordinea energiilor din cercul exterior este arbitrară).

Fig. 2 Componente exergice din combustibil, după arderea gazelor de ardere, după transferul de căldură la vaporii de apă și după trecerea într-o cameră încălzită

Fig. 3 Exergie în gazele de ardere

Fig. 4 Exergie în vapori de apă la 32 bari și 350 ° C

Figura 5 Diagrama simplificată a fluxului de energie și energie pentru generarea și distribuția energiei electrice de la o centrală cu abur

Energia termică este energiastocatăîn mișcarea dezordonată a atomilor sau moleculelor unei substanțe . Este, de asemenea, cunoscut colocvial ca „energie termică” sau „conținut de căldură”. Conversia energiei termice în alte forme de energie este descrisă prin termodinamică . Aici se face distincția între energia conținută în sistem ( energie internă , entalpie ) și căldură ,energia termică transportatăpeste granița sistemului .

Suma energiei termice, a vibrațiilor din corp și a energiei de legare se numește energie internă . În unele surse, se face distincția între energia internă termică , energia chimică internă și energia nucleară ca energie internă , care, însă, părăsește cadrul termodinamicii.

Conversia energiei termice în lucru mecanic

În timp ce toate formele de energie pot fi complet convertite în energie termică în anumite condiții (vezi # Forme de energie și conversie de energie ) ( prima lege a termodinamicii ), aceasta nu se aplică în direcția opusă. A doua lege a termodinamicii descrie aici o limitare foarte importantă (Fig. 1). În funcție de temperatura la care este disponibilă căldura, doar o proporție mai mult sau mai puțin mare poate fi transformată în lucru mecanic printr-un ciclu , în timp ce restul este eliberat în mediu. În termodinamica tehnică, părțile convertibile ale unei forme de energie sunt, de asemenea, denumite exergie . Exergia nu este o variabilă de stare în sens strict, deoarece nu depinde doar de starea sistemului, ci și de starea mediului , care este dată în cazul individual, trebuie în general asumată. Apoi, folosind diagrame de flux de energie, se poate urmări un lanț de conversie a energiei unde se găsesc pierderi evitabile (frecare sau alte procese disipative ). În Figura 2 puteți vedea că atunci când energia chimică (100% exergie) este transformată în căldură la o temperatură medie de 1000 ° C, ponderea exergică este de numai 80%. Dacă această energie este transferată sub formă de căldură într-un cazan cu abur în vapori de apă la 273 ° C, rămâne doar aproximativ 50% și când este transferată într-o cameră încălzită la 20 ° C, rămâne doar aproximativ 7%. S-a presupus întotdeauna o temperatură ambiantă de 0 ° C.

Calculul muncii maxime (exergie)

La calcularea proporției exergetica de energie termică este de a analiza dacă sursa de căldură sau are o temperatură constantă, cum ar fi într-un singur punct de fierbere reactor cu apă este cazul , la aproximativ 270 ° C, dacă puterea calorică a unui singur mediu de răcire a gazelor de ardere durează loc,. În primul caz, componenta exergetică poate fi determinată prin eficiența Carnot de la temperatura superioară a procesului și temperatura ambiantă, altfel căldura și exergia sunt obținute din integralul zonei , care este derivat din diagrama TS din Figura 3 și din Diagrama TS din Figura 4 poate fi văzută. Formula este:

${\ displaystyle {E _ {\ mathrm {ex}}} = H_ {1} -H_ {U} -T_ {U} \ cdot {\ left (S_ {1} -S_ {U} \ right)} \, }$.

Relația poate fi citită și direct din diagrame. Aici: T este temperatura absolută în K, S este entropia în J / K, H este entalpia în J, indicele 1: starea inițială, indicele U: starea ambientală.

Diferența de entalpie este în esență (în acest caz) energia furnizată ca căldură de la combustibil la aerul de ardere. Apare ca zona de sub curba aportului de căldură izobarică . Partea exergetică este peste temperatura ambiantă, cealaltă parte neutilizabilă, numită „ anergie ”, se află sub această linie. Scăderea exergiei într-un lanț de conversie a energiei este denumită și depreciere a energiei .

Când căldura din gazele de ardere este transferată în mediul de lucru, apa, care este evaporată și supraîncălzită , există o nouă pierdere de exergie . Puterea mecanică maximă care poate fi obținută din fluxul de masă al aburului pentru un proces cu abur supraîncălzit de, de exemplu, 16 bari și 350 ° C nu trebuie în niciun caz calculat utilizând eficiența Carnot cu această temperatură. Rezultatul cu o eficiență de 52% ar fi greșit. Ar contrazice a doua lege, deoarece temperatura medie a intrării de căldură în ciclul apă-abur este mai mică. Dacă nu există transfer intern de căldură ( preîncălzirea apei regenerabile de alimentare ) de la aburul condensat la apa de alimentare, la fel ca în cazul motoarelor cu aburi, în care, în cazul teoretic cel mai favorabil, aburul poate fi adus reversibil în apă în condiții ambientale , apoi la temperatura ambiantă de 15 ° C se obține doar o eficiență maximă de 34, 4%. Procesul reversibil Clausius-Rankine din Figura 4 cu o presiune de vapori de 32 bari și condens la 24 ° C, pe de altă parte, atinge 37,2%. Cu acești parametri de abur, procesele reale ating doar eficiențe mult mai mici.

Diagrama fluxului de energie și exergie pentru generarea de energie electrică

În Figura 5, o simplificat de energie diagrama fluxului de generare a energiei electrice cu o mare centrală electrică de abur ( viu abur stare 260 bar, 545 ° C, apa de alimentare preîncălzire la 276 ° C) , cu distribuirea către utilizatorul final este comparat cu un exergie corespunzător Diagrama fluxului. Se poate observa din aceasta că o parte semnificativă a deprecierii energetice nu are loc în condensator sau în turnul de răcire din aval al centralei, unde căldura reziduală este disipată, ci mai degrabă atunci când energia chimică a combustibilului este convertită în energie termică ( combustie ) și atunci când căldura este transferată din gazele de ardere la abur. Valorile numerice pentru distribuția puterii sunt valori de referință, ele pot diferi ușor în cazuri individuale.

Energie solara

Energia solară care ajunge pe pământ prin radiații are de asemenea o pierdere de exergie pe drumul către suprafața pământului . În timp ce energia internă a soarelui la aproximativ 15 milioane K constă încă din exergie pură, soarele radiază cu o temperatură de suprafață de aproximativ 6000 K pe suprafața pământului, a cărei temperatură trebuie setată la aproximativ 300 K. Prin concentrarea razelor solare într-un colector, nu s-ar ajunge peste temperatura suprafeței soarelui - chiar și în munții înalți, unde absorbția de către atmosfera terestră cu greu joacă un rol. Factorul Carnot ar avea ca rezultat o eficiență de aproximativ 95%. Apoi, însă, nu s-ar mai transmite energie. Limita termodinamică este sub aceasta la o temperatură de absorbție de 2500 K cu o eficiență de aproximativ 85%. În practică, există și pierderi disipative, începând cu absorbția în atmosferă, prin proprietățile materiale ale celulelor cristaline la rezistența ohmică a sistemelor fotovoltaice , astfel încât până în prezent se pot obține eficiențe mai mici de 20%. Cea mai mare eficiență obținută în prezent este de 18,7%.

Puterea și puterea combinate (CHP)

Bilanțul energetic al încălzirii urbane (roșu: exergy, albastru: anergy)

Bilanțul energetic al pompei de căldură (roșu: exergy, albastru: anergy)

Căldura cu o cantitate mică de exergie este de obicei necesară pentru încălzire. De aceea încălzirea cu curent electric prin încălzire prin rezistență este o „risipă de energie”. Oriunde se produce energie mecanică sau electricitate din căldură și este nevoie de căldură în același timp, utilizarea căldurii reziduale pentru încălzire are mai mult sens decât furnizarea separată de căldură. Într-o centrală termică , dacă este acționată cu abur, aburul este extras din turbină, a cărui temperatură este suficient de ridicată pentru a conduce căldura de condensare către consumator printr-o rețea de termoficare . Alternativ, căldura reziduală de la motoarele staționare cu ardere este utilizată și în centralele termice de tip bloc . Aici trebuie menționată și pompa de căldură . Cheltuiește lucrarea pentru a absorbi căldura (energia) din mediu și, împreună cu acționarea, o eliberează ca căldură termică la o temperatură corespunzătoare ridicată. Dacă apa subterană la 10 ° C este disponibilă ca sursă de căldură și o cameră trebuie încălzită la 20 ° C, o pompă de căldură cu procesul Carnot ar putea furniza 29 kWh de căldură folosind un kilowatt oră de lucru (coeficient de performanță = 29). Pompele de căldură reale care funcționează cu agenți frigorifici care se evaporă alternativ și condensează la diferite presiuni ating coeficienți de performanță de aproximativ 3 până la 5.

Energie chimica

Energia chimică este forma de energie stocată sub forma unui compus chimic într-un purtător de energie și care poate fi eliberată în timpul reacțiilor chimice . Descrie energia care este asociată cu forțele electrice din atomi și molecule și poate fi împărțită în, pe de o parte, energia cinetică a electronilor din atomi și, pe de altă parte, energia electrică a interacțiunii dintre electroni și protoni.

Este eliberat în cazul reacțiilor exoterme și trebuie adăugat pentru reacțiile endoterme .

Energia în electrodinamică

Într-un câmp electric , dacă nu există câmp magnetic care variază în timp , se poate defini un potențial electric . Un purtător de sarcină are apoi o energie electrică (electrostatică) potențială care este proporțională cu potențialul și cantitatea sa de încărcare. Deoarece punctul zero al potențialului poate fi determinat în mod liber, nici energia nu este definită în mod absolut. Cu toate acestea, pentru două puncte din câmpul potențial, diferența de energii este independentă de alegerea punctului zero potențial. În electrotehnică , diferențele de potențial corespund tensiunilor ; Potențialul pământului este de obicei ales ca punctul zero al scalei de potențial .

Pentru dispunerea a doi conductori electrici , energia electrostatică este proporțională cu pătratul diferenței dintre potențialele electrice ale celor doi conductori. Dublul constantei de proporționalitate se numește capacitate electrică . Condensatoarele sunt componente electrotehnice care au o capacitate mare și, prin urmare, pot stoca energie.

Echivalent cu opinia că energia electrostatică este transportată de sarcini este interpretarea că energia este distribuită în spațiul gol dintre sarcini. Cu această abordare, densitatea energiei, adică energia pe volum a elementului, este proporțională cu pătratul puterii câmpului electric. Dacă există un dielectric în câmpul electric , energia este, de asemenea, proporțională cu constanta dielectrică .

Dacă o sarcină se deplasează în vid într-un loc cu un potențial electric mai mic, energia cinetică a sarcinii crește la fel de mult ca și energia potențială scade. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, cu electronii dintr-un tub de electroni , într-un tub cu raze X sau într-un ecran cu tub de raze catodice . Dacă, pe de altă parte, o sarcină se mișcă de-a lungul unui gradient de potențial într-un conductor, eliberează imediat energia pe care a absorbit-o sub formă de căldură către mediul conductor. Puterea este proporțională cu gradientul potențial și puterea curentă .

Energia electrică poate fi transportată de purtătorii de sarcină care se deplasează de-a lungul conductoarelor fără niciun gradient de potențial semnificativ. Acesta este cazul, de exemplu, în liniile aeriene sau în cablurile de alimentare, cu ajutorul cărora energia electrică curge de la centrală către consumator.

Energia magnetică este conținută în câmpuri magnetice, cum ar fi stocarea energiei magnetice supraconductoare .

Energia stocată într-un circuit oscilant electric ideal se schimbă continuu între forma electrică și forma magnetică. În orice moment, suma energiilor parțiale este aceeași (conservarea energiei). Componenta magnetică sau electrică pură a energiei are de două ori frecvența oscilației electrice.

Energia în teoria relativității

Conform teoriei speciale a relativității , masa unui obiect în repaus corespunde unei energii de repaus de ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle E _ {\ text {rest}} = m \, c ^ {2} \,}$.

Prin urmare, energia de repaus este echivalentă cu factorul (pătratul vitezei luminii ) a masei . Energia de repaus poate fi convertită în alte forme de energie în timpul anumitor procese și invers. Produsele de reacție ale fisiunii nucleare și ale fuziunii nucleare au mase măsurabile mai mici decât materiile prime. În fizica elementară a particulelor , dimpotrivă, se observă și generarea de particule și deci a energiei de repaus din alte forme de energie. ${\ displaystyle c ^ {2}}$${\ displaystyle c \,}$

În mecanica clasică, energia de repaus nu este inclusă deoarece este irelevantă atât timp cât particulele nu se transformă în alte particule.

Teoria generală a relativității generalizează conceptul de energie în continuare și conține o reprezentare unitară a energiilor și impulsuri ca surse pentru curburilor spațiale prin intermediul tensorul energie-impuls . Din aceasta, prin contracții, pot fi obținute variabile precum densitatea energiei care poate fi măsurată de un observator. Conținutul de energie este decisiv pentru investigarea dezvoltării spațiu-timpului. Deci, se poate prezice prăbușirea spațiului-timp la o singularitate din condițiile de energie .

Energia în mecanica cuantică

În mecanica cuantică , operatorul Hamilton determină energia care poate fi măsurată într-un sistem fizic. Stările legate ale sistemului pot corespunde doar unor valori de energie discrete , adică nu arbitrare. De aceea particulele sau razele emise în timpul tranzițiilor dintre aceste stări au spectre de linie .

Cuantificarea energiei are loc cu unde electromagnetice : Un val de frecvență poate doar emite energie în pachete , prin care cuantumul Planckian al acțiunii este. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle E _ {\ text {Photon}} = h \, \ nu}$${\ displaystyle h}$

Utilizarea tehnică a energiei

O generare de energie nu este posibilă datorită legii conservării energiei. Termenul de producție de energie este totuși folosit în viața economică pentru a exprima conversia unei anumite forme de energie (de exemplu curent electric) dintr-o altă formă (de exemplu, energie chimică sub formă de cărbune). În mod similar, nu există nici un consum de energie în sens fizic strict, dar ceea ce se înțelege în termeni economici este trecerea de la o energie primară ușor utilizabilă (de exemplu, petrol, gaz, cărbune) la o formă de energie care nu mai poate fi utilizată (de ex. căldura reziduală din mediu). Din menționarea conservării energiei , dacă se găsesc procese mai eficiente care necesită mai puțină energie primară în același scop, sau altfel, de exemplu prin consum redus, consumul de energie primară este redus.

Fizica descrie „consumul de energie” introdus vag mai sus cu termenul exact al creșterii entropiei . În timp ce energia este întotdeauna reținută într-un sistem închis, entropia crește întotdeauna în timp sau, în cel mai bun caz, rămâne constantă. Cu cât este mai mare entropia, cu atât este mai dificilă utilizarea energiei. În loc de o creștere a entropiei, se poate vorbi în mod clar despre deprecierea energiei .

În special, legea creșterii entropiei împiedică conversia directă a energiei termice în energie cinetică sau electrică. În schimb, sunt necesare întotdeauna o sursă de căldură și un radiator (= răcire ). Potrivit lui Carnot , eficiența maximă poate fi calculată din diferența de temperatură.

Cazul limită al unei conversii de energie fără o creștere a entropiei se numește proces reversibil . Un satelit pe o orbită eliptică în jurul Pământului este un exemplu de conversie a energiei aproape reversibilă: în cel mai înalt punct al orbitei are energie potențială ridicată și energie cinetică scăzută, în cel mai de jos punct al orbitei este exact invers. . Conversia poate avea loc aici de mii de ori pe an, fără pierderi semnificative. La rezonatoarele supraconductoare, energia poate fi convertită înainte și înapoi între energia radiantă și energia electrică de milioane sau chiar miliarde de ori pe secundă, de asemenea, cu pierderi mai mici de una la mie pe conversie.

În multe procese, care în trecut erau asociate cu pierderi mari, adică o creștere considerabilă a entropiei, progresul tehnologic permite pierderi din ce în ce mai mici. O lampă cu economie de energie sau LED convertește energia electrică în lumină mult mai eficient decât o lampă cu incandescență . O pompă de căldură generează de multe ori mai multă căldură decât o încălzire electrică convențională cu aceeași putere, utilizând căldura din mediul cu o anumită putere electrică. Cu toate acestea, în alte domenii, stadiul tehnicii a fost aproape de maximul teoretic de ceva timp, astfel încât aici este posibil doar un mic progres. Motoarele electrice bune transformă peste 90% din energia electrică utilizată în energie mecanică utilizabilă și doar o mică parte în căldură inutilă.

În sens fizic, economisirea energiei înseamnă minimizarea deprecierii energiei și creșterea entropiei la conversia sau utilizarea energiei.

Energie specifică

În științele naturii, specific înseamnă „bazat pe o anumită bază de evaluare” ( cantitatea aferentă). Energia specifică este legată de o anumită proprietate a unui sistem, carepoate fi descrisăprintr-o cantitate fizică .

Conform DIN 5485 , energia specifică este în mod specific legată de masă, iar densitatea volumetrică a energiei este denumirea dimensională.

Exemple

• Energie per volum în J / m (dimensiune ): entalpie (termodinamică), căldură latentă specifică : căldură de fuziune , căldură de vaporizare , căldură de cristalizare sau entalpiile corespunzătoare (Știința materialelor), condensare și valoare de încălzire (tehnologie energetică), specifică energie de compactare (Știința materialelor), energie specifică explozivului${\ displaystyle ML ^ {- 1} T ^ {- 2}}$
• Energia pe masă în J / kg (dimensiune ): lucru specific , căldură latentă specifică (termodinamică), puterea calorică și puterea calorică a combustibililor solizi, energia specifică a depozitului de energie (tehnologia energiei), capacitatea electrică și densitatea energiei condensatorului de placă (electrotehnică), energia specifică a punctului de masă (Mecanică)${\ displaystyle L ^ {2} T ^ {- 2}}$

Termodinamica și chimia denotă valorile energetice legate de material nu la fel de specifice , ci ca molare :

• Energie per cantitate de substanță în J / mol (dimensiune ): căldură latentă molară (termodinamică)${\ displaystyle ML ^ {2} T ^ {- 2} N ^ {- 1}}$

Aprovizionarea și consumul de energie

Consumul de energie este termenul colocvial folosit pentru a descrie utilizarea diferitelor energii în forme pe care oamenii le pot folosi. Aprovizionarea cu energie se referă la aprovizionarea consumatorilor cu aceste forme de energie, inclusiv infrastructura energetică necesară .

Cele mai comune forme de energie utilizate de oameni sunt energia termică și energia electrică . Nevoile umane se concentrează în primul rând pe zonele de încălzire , pregătirea alimentelor și funcționarea instalațiilor și a mașinilor pentru a ușura viața. Aici, subiectul este în jurul consumului de combustibili fosili , de exemplu, ca combustibil pentru vehicule semnificativ.

Diferitele surse de energie pot ajunge la consumatori prin intermediul liniilor, cum ar fi de obicei gazele de combustibil , energia electrică, căldura de proces și încălzirea . Sau pot fi depozitate în mare măsură și ușor de transportat, cum ar fi cărbunele tare , motorina pentru încălzire , combustibili ( benzină , combustibili diesel , kerosen ), combustibil nuclear , biomasă .

Cererea de energie variază foarte mult în întreaga lume și este de multe ori mai mare în țările industrializate decât, de exemplu, în lumea a treia (a se vedea lista țărilor cu cel mai mare consum de energie ). În țările extrem de dezvoltate industrial, companiile au fost implicate în generarea și furnizarea de energie pentru consumul general încă din secolul al XIX-lea . Astăzi, accentul se pune pe generarea centrală de energie electrică și distribuția către consumatorii individuali . În plus, achiziționarea, transportul și rafinarea combustibililor pentru încălzire sunt ramuri importante ale economiei.

Sursa de energie

unități

În plus față de unitatea SI derivată Joule , sunt utilizate și alte unități energetice, în funcție de zona de aplicare. Watt second (Ws) și newton meter (Nm) sunt identice cu joule.

Electron volt (eV) este folosit în fizica atomică , fizica nucleară și fizica particulelor elementare pentru a indica energii ale particulelor și nivelurile de energie. Rydberg apare mai rar în fizica atomică . Cgs Unitatea erg este adesea folosit în fizica teoretică.

De calorii a fost comună în calorimetrie și este încă folosit și în limbajul cotidian comerțul cu mărfuri , în plus față de unitatea de Joule juridică atunci când specificarea valorii calorice fiziologică a alimentelor . Furnizorii de energie măsoară cantitatea de energie furnizată clienților în kilowați-oră (kWh). Unitatea de cărbune tare și unitatea de petrol sunt utilizate pentru a indica conținutul de energie al surselor primare de energie. Echivalent TNT este folosit pentru a măsura puterea explozivă a explozivilor.

listă

Următoarele conversii în diferite unități se aplică exact (valorile numerice au fost determinate prin definiții), cu excepția cazului în care stă „≈”.

Conversii

În următorul tabel de conversie, unitatea indicată în stânga este egală cu numărul de unități indicate mai sus:

Ordinele de mărime

Energia este o cantitate care poate avea o valoare care variază cu multe ordine de mărime , chiar și în viața de zi cu zi . Exemple sunt:

1 J = 1 Ws = 1 Nm

Energie potențială care este stocată într-un baton de ciocolată (aprox. 100 g) cu 1 metru când este ridicată.

3,6 · 10 ⁶ J = 3600 kJ = 3600 kWs = 1 kWh

Unitate de facturare pentru energie electrică (col. Electricitate), gaz etc. O gospodărie privată europeană are nevoie de aproximativ 2000–4000 kWh de energie electrică pe an.

2,9 · 10 ⁷ J = 8,141 kWh = 1 kg SKE

O unitate de cărbune dur corespunde cantității de energie care este convertită atunci când se arde 1 kg de cărbune tare. Aceasta este o măsură obișnuită atunci când se specifică cantități de energie primară . (În 1998, cifra de afaceri mondială a energiei primare a fost de 14,1 Gt SCE = 390 · 10 ¹⁸ J)

1 eV = 1,602 176 565 (35) · 10 ⁻¹⁹ J

Unitatea de electroni volt este utilizată, printre altele, în fizica în stare solidă , nucleară și a particulelor elementare . Un foton de lumină violetă are o energie de aproximativ 3 eV, una roșie de aproximativ 1,75 eV.

1 kg masă ≙ 8,99 · 10 ¹⁶ J

(89.875.517.873.681.764 J) conform relației lui Einstein : E = mc ² .

Formule

• Energia tensiunii unui arc tensionat :

${\ displaystyle E _ {\ text {pot}} = {1 \ peste 2} \, D \, s ^ ​​{2} \,}$

unde este constanta elastică și deformarea arcului din poziția de repaus.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle s}$

• Energia potențială a unui corp cu masă într-un câmp gravitațional omogen:${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle E _ {\ text {pot}} = mgh}$

unde este masa , accelerația gravitației și altitudinea la care se află corpul.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

• Energia cinetică a unui corp cu masă și viteză :${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} \, = \, {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$.

• Energia de rotație a unui corp:

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {red}} = {\ frac {1} {2}} J \ omega ^ {2}}$

unde este momentul de inerție în jurul axei de rotație corespunzătoare și vitezei unghiulare .${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ omega}$

• energie electrică într-un circuit:

${\ displaystyle E _ {\ text {el. Curent}} = U \ cdot I \ cdot t}$

în cazul în care este tensiunea electrică , curentul prin linie și durata de timp.${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle t}$

• Energia unui condensator încărcat :

${\ displaystyle E _ {\ text {Capacitor}} = {\ frac {Q ^ {2}} {2C}} = {\ frac {C \, U ^ {2}} {2}} \,}$

în care taxa , capacitatea și tensiunea electrică.${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle U}$

• Energia câmpului magnetic al unei bobine ideale cu curent care curge prin ea:

${\ displaystyle E _ {\ text {bobina}} = {\ frac {L \, I ^ {2}} {2}} \,}$

în cazul în care este inductanța și curentul electric.${\ displaystyle L}$${\ displaystyle I}$

• Energia relativistă a unei particule libere de masă cu viteza :${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ text {relativistic}} = {\ frac {m \, c ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}$

în cazul în care este viteza luminii .${\ displaystyle c}$

• Energia luminii ( fotoni ):

${\ displaystyle E _ {\ text {Photon}} = h \, f \,}$

în cazul în care este constanta lui Planck si frecventa .${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$

• Energia unui cutremur :

${\ displaystyle E _ {\ text {Cutremur}} = 10 ^ {{\ frac {3} {2}} (M-2)}}$Tone de TNT ,

unde magnitudinea este pe scara Richter .${\ displaystyle M}$

• Munca (schimbarea energiei) este integrala forței de -a lungul distanței parcurse :${\ displaystyle F}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle W = \ int \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ mathbf {s} \,}$

• Lucrarea efectuată pe un sistem în intervalul de timp poate fi definită și prin intermediul performanței :${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {1}]}$

${\ displaystyle W = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} P (t) \, \ mathrm {d} t}$

Vezi si

literatură

• Jennifer Coopersmith: Energia - conceptul subtil. Oxford University Press, 2010, ISBN 0-19-954650-9 .
• Max Jammer : Energie. În: Donald M. Borchert (Ed.): Enciclopedia filozofiei. Volumul 3. Thomson Gale, 2005, pp. 225-234.
• Marc Lange : Energie (Addendum). În: Donald M. Borchert (Ed.): Enciclopedia filozofiei. Volumul 3. Thomson Gale, 2005, pp. 234-237.
• Yehuda Elkana : Descoperirea conservării energiei. Harvard University Press 1974, (prefață de I. Bernard Cohen ).
• István Szabó : Istoria principiilor mecanice. Birkhäuser 1979.
• Martin Buchholz : Energie - Cum pierdeți ceva care nu poate obține mai puțin? Springer , Heidelberg / Berlin, ISBN 978-3662497418 .

Link-uri web

Wikționar: Energie  - explicații ale semnificațiilor, originea cuvintelor, sinonime, traduceri

• Energie. În: Lumea fizicii. Adus la 13 ianuarie 2017 . 
• Ce este energia din seria de televiziune alfa-Centauri (aproximativ 15 minute). Prima emisiune pe 10 noiembrie 2002.

Dovezi individuale

1. ↑ Rudolf Eisler: Dicționar de termeni filosofici (1904) [1]
2. ↑ Leibniz: Brevis demonstratio erroris memorabilis Cartesii. Acta Eruditorum, 1686.
3. ↑ ^{a b} Max Planck: Principiul conservării energiei. BG Teubner, Leipzig 1887.
4. ↑ Bazat pe Max Jammer, Energy, Encyclopedia of Philosophy
5. ↑ Bernoulli: Examen principiorum mechanicae. Com. Acad. Petropol. 1726, p. 126. A se vedea Szabo: Istoria principiilor mecanice. Birkhäuser 1979, p. 71.
6. ↑ Max Jammer: Energie, Enciclopedia filozofiei. P. 228.
7. ↑ Thomas Young: Un curs de prelegeri despre filosofia naturală și artele mecanice . Johnson, 1807, p. 44. „Aceeași idee este oarecum mai concisă exprimată prin termenul de energie care indică tendința unui corp de a urca sau de a pătrunde la o anumită distanță în opoziție cu o forță de întârziere”.
8. ↑ Max Jammer: Articolul Energy, Enciclopedia filosofiei.
9. ↑ A se vedea Szabo: Istoria principiilor mecanice. P. 78, pentru ignorarea pamfletului lui Euler de către Immanuel Kant din 1749 privind adevărata estimare a forțelor vii
10. ↑ Max Jammer: Articolul Energy, Enciclopedia filosofiei.
11. ↑ Essai sur les machines en general. 1783, 2nd edition 1803 as Principes fondamentaux de l´equilibre et du mouvement.
12. ↑ Alexandre Moatti: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843): un mathématicien, théoricien de la mécanique appliquée. Disertație la Universitatea din Paris, 2011 (PDF; 6,4 MB; franceză)
13. ↑ Hans Joachim Störig : Mică istorie mondială a științei. Volumul 2. Fischer Taschenbuch, Hamburg 1982, ISBN 3-596-26399-9 , pp. 89-91, 1280.
14. ↑ Walther Gerlach: Progrese în științele naturii în secolul al XIX-lea. În: Propilee istoria lumii. Volumul 8 (secolul al XIX-lea), 1960.
15. ↑ Friedhelm Kuypers: Fizică pentru ingineri și oameni de știință în natură: volumul 1 - Mecanică și termodinamică . John Wiley & Sons, 4 octombrie 2012, ISBN 978-3-527-66957-8 , pp. 248– (accesat la 13 iunie 2013).
16. ↑ Vezi și: Martin Buchholz: Energia - Cum irosești ceva ce nu poate fi redus? În: Science Slam Finale 2011. 19 noiembrie 2011, accesat la 30 aprilie 2020 .  sau Martin Buchholz: Energie - Cum pierdeți ceva ce nu poate fi redus? Prima ediție. Springer, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49741-8 , p. 27 ff . 
17. ↑ Peter Kurzweil: Colecția de formule de fizică. 2008, p. 15.