Istoria matematicii

Istoria matematicii merge înapoi la antichitate și începuturile de numărare în epoca neolitică . Dovezile primelor începuturi ale proceselor de numărare datează de aproximativ 50.000 de ani. Construirea piramidelor în Egiptul antic în urmă cu peste 4500 de ani, cu formele sale calculate cu precizie, este un indiciu clar al existenței unor cunoștințe matematice extinse . Spre deosebire de matematica egiptenilor, din care există doar câteva surse din cauza papirusurilor sensibile , există aproximativ 400 de tăblițe de lut de matematică babiloniană în Mesopotamia . Cele două zone culturale aveau sisteme de numere diferite , dar ambele cunoșteau cele patru operații aritmetice de bază și aproximări pentru numărul cercului . Dovezile matematice din China sunt mult mai recente, deoarece documentele au fost distruse de incendii, iar matematica indiană timpurie este la fel de dificilă de datat. În Europa antică , matematica era practicată de greci ca știință în cadrul filozofiei . Orientarea către sarcina „dovezii pur logice” și prima abordare a axiomatizării , și anume geometria euclidiană, datează din acest moment . Matematicienii persani și arabi au preluat ideile grecești, dar și indiene, pe care romanii le neglijaseră, și au stabilit algebra . Din Spania și Italia, aceste cunoștințe s-au răspândit în școlile și universitățile mănăstirii europene . Dezvoltarea matematicii moderne (algebră superioară, geometrie analitică , teoria probabilității , analiză etc.) a avut loc în Europa începând cu Renașterea . Europa a rămas centrul dezvoltării matematicii până în secolul al XIX-lea, secolul al XX-lea a cunoscut o dezvoltare „explozivă” și internaționalizarea matematicii, cu un accent clar pe SUA, care, mai ales după cel de-al doilea război mondial, a atras matematicieni din toată lumea. mare cerere mondială datorită dezvoltării tehnologice expansive.

Matematica vechilor egipteni și babilonieni

Egipt

Cea mai importantă dintre puținele surse supraviețuitoare care ne oferă informații despre abilitățile matematice ale egiptenilor sunt papirusul Rhind , papirusul Moscovei și așa-numita „rolă de piele”.

Egiptenii foloseau majoritatea matematica doar pentru sarcini practice precum calcularea salariilor, calcularea cantității de cereale pentru coacerea pâinii sau calcularea suprafeței . Știau cele patru operații aritmetice de bază , cum ar fi scăderea ca reversul adunării , multiplicarea a fost urmărită înapoi la dublarea continuă și împărțirea la înjumătățirea repetată. Pentru a putea realiza împărțirea complet, egiptenii au folosit fracții generale de numere naturale, pe care le-au reprezentat prin sumele fracțiilor ancestrale și fracția 2/3. De asemenea, puteți rezolva ecuații cu un necunoscut abstract . In geometrie ei erau familiarizați cu calcularea zonelor de triunghiuri , dreptunghiuri și trapeze , ca o aproximare a numărului de cercuri tt (pi) și calculul volumului unui pătrat trunchi de piramidă . Descoperirile arheologice ale înregistrărilor dovezilor matematice lipsesc și astăzi. Aveau propriile lor hieroglife pentru numere , începând cu 1800 î.Hr. Au folosit un script hieratic , care a fost scris cu caractere hieroglifice rotunjite și simplificate.

Babilon

Tabletă cuneiformă babiloniană YBC 7289 cu o aproximare sexagesimală pentru rădăcina pătrată de 2 (pe diagonală)

The Babilonienii au folosit un șaizecelea - sistem de valori loc , deși cu expresie imperfectă, atunci sensul că de multe ori doar a constatat în afara contextului. Tăblițele de lut obținute sunt, de exemplu, tabele de numere pentru înmulțire, cu valori reciproce (conform metodei lor de divizare), pătrate și cuburi; Valorile tabelului care nu erau disponibile ar putea fi determinate prin interpolare liniară și aplicarea regulilor de divizibilitate. Există, de asemenea, tabele cu sarcini care corespund, de exemplu, sistemelor liniare de ecuații sau calculelor dobânzii compuse și explicațiilor metodelor de calcul. Aveau un algoritm pentru calcularea rădăcinilor pătrate (extracția rădăcinii babiloniene) și chiar puteau rezolva ecuații pătratice cu aceasta. Știau teorema lui Pitagora și foloseau 3 sau 3 + 1/8 ca aproximare pentru numărul cercului π. Evident, babilonienii nu s-au străduit să dispună un argument strict .

Matematica în Grecia

Matematica Greciei antice este împărțită în patru perioade majore:

Conform unei tradiții care provine din antichitate, dar este controversată în rândul istoricilor științei, istoria matematicii ca știință începe cu Pitagora din Samos . Principiul „totul este număr” i se atribuie - deși greșit. El a fondat școala pitagoreicilor , din care au ieșit matematicieni precum Hippasus din Metapontium și Archytas din Taranto . Spre deosebire de babilonieni și egipteni, grecii aveau un interes filosofic pentru matematică. Una dintre descoperirile pitagoreice este iraționalitatea relațiilor geometrice de traseu, despre care se spune că Hippasus a descoperit. Opinia larg răspândită anterior că descoperirea iraționalității în rândul pitagoreicilor a declanșat o „criză fundamentală” filosofică, deoarece le-a zguduit convingerile anterioare, este respinsă de cercetările actuale. Legenda antică conform căreia Hippasus și-a trădat secretele făcând publică descoperirea sa se crede că a apărut dintr-o neînțelegere.

Matematica a fost foarte popular în Academia platoniciană din Atena. Platon a apreciat-o foarte mult pentru că a servit pentru a putea dobândi adevărate cunoștințe. Matematica greacă a devenit apoi o știință doveditoare . Aristotel a formulat bazele logicii propoziționale . Cu metoda epuizării, Eudoxos von Knidos a creat pentru prima dată o formă rudimentară de calcul infinitesimal . Cu toate acestea, din cauza lipsei numerelor reale și a valorilor limită, această metodă a fost destul de dificilă. Arhimede a extins acest lucru și a calculat, printre altele, o aproximare pentru numărul cercului π.

În manualul său Elements, Euclid a rezumat o mare parte a matematicii cunoscute la acea vreme (geometrie și teoria numerelor). Printre altele, demonstrează că există infinit de multe numere prime. Această lucrare este considerată un prim exemplu de dovadă matematică: din câteva specificații, toate rezultatele sunt derivate cu o rigoare care nu ar fi trebuit să existe înainte. „Elementele” lui Euclid sunt folosite și astăzi ca manual, după mai bine de 2000 de ani.

Spre deosebire de greci, vechii romani erau cu greu preocupați de matematica superioară, erau mai interesați de aplicațiile practice, de exemplu în topografie și inginerie. Inspectorii romani au fost numite Gromatici sau Agrimensors ; scrierile lor au fost rezumate într-o lucrare colectivă ( Corpus Agrimensorum ) în secolul al VI-lea . Agrimensori importanți au fost Sextus Iulius Frontinus , Hyginus Gromaticus și Marcus Iunius Nipsus . Până în antichitatea târzie, matematica a rămas în mare parte un domeniu al locuitorilor vorbitori de greacă ai imperiului, accentul cercetării matematice în epoca romană fiind pus pe Sicilia și în Africa de Nord, în special în Alexandria . Pappos a adus noi contribuții la geometrie (de asemenea, cu primele rezultate la geometria proiectivă), Apollonios la secțiunile conice, iar Diophantus a adus contribuții la o algebră și teoria numerelor deghizate geometric (soluție de ecuații întregi, numite ulterior probleme diofantine după el). Ultimul matematician din Alexandria cunoscut pe nume a fost Hypatia , care a fost ucis de o gloată creștină în 415.

Matematică chineză și indiană

China

Primul manual existent de matematică chineză este Zhoubi suanjing . A fost realizat în timpul dinastiei Han , între 206 î.Hr. BC până la 220 d.Hr., completat de Liu Hui , deoarece majoritatea înregistrărilor matematice au fost distruse și rescrise din memorie ca urmare a arderii cărților și documentelor în timpul dinastiei Qin . Cunoașterea matematică este folosită până în secolul al XVIII-lea î.Hr. Datat. Completări suplimentare au urmat mai târziu până în 1270 d.Hr. De asemenea, include un dialog calendaristic între Zhou Gong Dan, ducele de Zhou și ministrul Shang Gao. Aproape la fel de vechi este Jiu Zhang Suanshu („Nouă capitole despre arta matematicii”), care conține 246 de probleme pe diverse domenii; Printre altele, Teorema lui Pitagora poate fi găsită în ea, dar fără nicio dovadă. Chinezii au folosit un sistem de valori zecimale scrise din bare orizontale și verticale (Suan Zi, „aritmetică cu mize”); în jurul anului 300 d.Hr., Liu Hui a calculat numărul 3.14159 ca o aproximare pentru π folosind un colț 3072 .

Matematica chineză a atins apogeul în secolul al XIII-lea. Cel mai important matematician din acest timp a fost Zhu Shijie cu manualul său Siyuan Yujian („Oglinda prețioasă a celor patru elemente”), care a tratat sistemele algebrice de ecuații și ecuațiile algebrice de gradul al XIV-lea și le-a rezolvat folosind un fel de metodă Horner . După această perioadă a avut loc o pauză bruscă în matematică în China. În jurul anului 1600 japonezii au preluat cunoștințele despre Wasan (matematică japoneză). Cel mai important matematician al tău a fost Seki Takakazu (în jurul anului 1700). Matematica a fost practicată ca o știință secretă a templului.

India

Aryabhata

Potrivit unui bon mot al savantului indian W. D. Whitney , întâlnirile sunt extrem de problematice de-a lungul istoriei indiene.

Cele mai vechi aluzii la regulile geometrice ale altarului de sacrificiu se găsesc deja în Rig Veda . Dar abia câteva secole mai târziu au fost create (adică canonizate) Sulbasutras („reguli de frânghie”, metode geometrice pentru construirea altarelor de sacrificiu) și alte texte didactice precum Silpa Sastras (reguli pentru construirea templelor) etc. Aryabhatiya și diverse alte „ Siddhantas ” („sisteme”, în principal sarcini astronomice). Indienii au dezvoltat sistemul familiar de poziție zecimală , adică notația polinomială pentru baza 10 și regulile de calcul asociate. Înmulțirea scrisă în notația babiloniană, egipteană sau romană a fost extrem de complicată și a funcționat prin substituire; d. H. cu multe reguli de descompunere și rezumare legate de notație, în timp ce în textele indiene există multe proceduri „elegante” și simple, de exemplu pentru trasarea rădăcinilor în scris.

Numeralele noastre ( cifre indiene ) pentru cifrele zecimale sunt derivate direct din Devanagari indian . Cea mai veche utilizare a numărului 0 este datată în jurul anului 400 d.Hr .; Aryabhata în jur de 500 și Bhaskara în jur de 600 le-a folosit deja fără ezitare, contemporanul său Brahmagupta chiar a calculat cu ele ca număr și știa numere negative. Numirea numerelor din diferite culturi este inconsecventă: arabii numesc aceste cifre (adoptate în Devanagari) cifre „numere indiene”, europenii „numere arabe” bazate pe istoria recepției medievale și japonezii pentru un motiv similar Romaji , adică caractere latine sau romane (împreună cu alfabetul latin). Europenii înțeleg „ cifrele romane ” ca altceva.

Odată cu răspândirea islamului spre est, cel târziu între 1000 și 1200, lumea musulmană a preluat multe din cunoștințele indiene; cărturarii islamici au tradus lucrări indiene în arabă, care au ajuns și în Europa pe această cale. O carte a matematicianului persan Muhammad ibn Musa Chwarizmi a fost tradusă în limba latină în Spania în secolul al XII-lea . Numerele indiene (figurae Indorum) au fost folosite pentru prima dată de negustorii italieni. În jurul anului 1500 erau cunoscuți în ceea ce este acum Germania.

Un alt matematician important a fost astronomul Bhaskara II (1114–1185).

Matematica în perioada de glorie a Islamului

În lumea islamică, capitala Bagdadului era centrul științei pentru matematică . Matematicienii musulmani au adoptat aritmetica pozițională indiană și sinusul și au dezvoltat în continuare trigonometria greacă și indiană , au completat geometria greacă și au tradus și au comentat lucrările matematice ale grecilor. Cea mai importantă realizare matematică a musulmanilor este stabilirea algebrei de astăzi. Această cunoaștere a venit în Europa prin Spania, cruciade și comerțul maritim italian. De exemplu, în școala de traducere din Toledo, multe dintre scripturile arabe au fost traduse în latină.

Se pot distinge următoarele faze:

Matematica Maya

Cunoștințele noastre despre matematică și astronomie (calculul calendarului) Maya provin în principal din Codexul de la Dresda . Numeral Maya se bazează pe baza 20. Motivul pentru care acest lucru este considerat a fi că strămoșii Maya numărate cu degetele și degetele de la picioare. Maya știa numărul 0, dar nu a folosit fracții. Pentru a reprezenta numerele, au folosit puncte, linii și cercuri, care reprezentau cifrele 1, 5 și 0. Matematica Maya a fost foarte dezvoltată, comparabilă cu culturile înalte din Orient. Le-au folosit pentru calculele calendarului și pentru astronomie. Calendarul Maya a fost cea mai exactă a timpului său.

Matematica în Europa

Matematica în Evul Mediu

În Evul Mediu ca o epocă a istoriei europene a început în jurul sfârșitul Imperiului Roman și a durat până la Renaștere . Istoria acestui timp a fost determinată de marea migrație și ascensiunea creștinismului în Europa de Vest. Declinul Imperiului Roman a dus la un vid care a fost compensat doar în Europa de Vest odată cu ascensiunea Imperiului Franconian . În cursul creării unei noi ordini politice de către franci, a apărut așa-numita renaștere carolingiană . Cunoașterea antică a fost păstrată pentru prima dată în mănăstiri. În Evul Mediu ulterior, școlile mănăstirii au fost înlocuite de universități ca centre de învățare. O importantă îmbogățire a științei vest-europene a avut loc prin faptul că tradiția arabă și dezvoltarea ulterioară a matematicii, medicinei și filosofiei grecești, precum și adaptarea arabă a matematicii indiene și scrierii numerice au devenit cunoscute în Occident prin traduceri în latină. Contactele cu cărturarii arabi și scrierile lor au apărut, pe de o parte, ca urmare a cruciadelor din Orientul Mijlociu și, pe de altă parte, prin contacte cu arabii din Spania și Sicilia, în plus, au existat contacte comerciale, în special cu italienii din zona mediteraneană, de exemplu Leonardo da Pisa („Fibonacci”) datorează o parte din cunoștințele sale matematice.

Înălțarea școlilor mănăstirii

Boëthius (ilustrare medievală)

Boëthius (aprox. 480-524) se află la granița dintre Imperiul Roman și începutul Noului . Introducerea sa în aritmetică a stat la baza predării acestei materii până la sfârșitul Evului Mediu; De asemenea, a influențat, dacă într-o măsură mai mică, a fost introducerea sa în geometrie. În 781, Carol cel Mare l-a numit pe cărturarul Alcuin din York (735-804) să conducă școala sa de curte, care trebuia să dezvolte sistemul educațional al Imperiului Franconian. El a fost numit și „Învățătorul francilor de vest”. Un elev al lui Alkuin a fondat sistemul școlar în Imperiul Franconian de Est, Rabanus Maurus din Mainz . Conținutul didactic matematic a fost predat în conformitate cu clasificarea celor șapte arte liberale în cele patru materii ale quadriviumului :

  • Aritmetică: proprietățile și tipurile de numere (de exemplu, numerele pare, impare, prime, numerele ariei și corpurilor), precum și proporțiile și raporturile numerice, fiecare conform lui Boëthius, de asemenea, cunoștințe de bază despre cifrele grecești și latine , aritmetica de bază, aritmetica degetelor și în secolele XI-XII. Abacus de secol , încă din secolul al XIII-lea a scris și aritmetica cu cifre arabe
  • Geometrie: elemente de geometrie euclidiană , măsurare și topografie, geografie și z. T. de asemenea istorie
  • Astronomie: cunoștințe de bază despre astronomie ptolemeică și z. De asemenea , astrologia , utilizarea astrolabului încă din secolul al X-lea , precum și informatica pentru a calcula data Paștelui și sărbătorile mobile ale anului bisericii
  • Muzica: teoria armoniei în funcție de proporțiile numerice ale modurilor bisericești antice

Sunt cunoscute următoarele cărți aritmetice create în mănăstiri: Exerciții pentru ascuțirea minții tinerilor (aproximativ 800) ( atribuite anterior lui Alcuin von York), exercițiile din Annales Stadenses (Stade Abbey) (în jurul anului 1180) și Practica Algorismului Ratisbonensis (Emmeram Abbey Regensburg) (în jurul anului 1450).

Calculul datei Paștelui

Calculul datei pentru Paști , cel mai important festival din creștinism , a jucat un rol major în dezvoltarea matematicii în Evul Mediu. Carol cel Mare a decretat că un călugăr trebuie să se ocupe de informatică în fiecare mănăstire . Acest lucru ar trebui să asigure cunoașterea calculului datei Paștelui . Calculul exact al datei și dezvoltarea calendarului modern a fost dezvoltat în continuare de către acești călugări, elementele de bază au fost preluate de Evul Mediu de la Dionysius Exiguus (aprox. 470 până la aprox. 540) și Beda Venerabilul (aprox. 673- 735). În 1171 Reinher von Paderborn a publicat o metodă îmbunătățită pentru calcularea datei Paștelui.

Universități

Școlile mănăstirii timpurii medievale au fost completate mai târziu, în Evul Mediu, de școlile catedrale , școlile ordinelor mendicante și universitățile. Prin urmare, ei au fost inițial singurii purtători ai patrimoniului cultural antic, asigurându-se că lucrările antice au fost copiate și distribuite. Multă vreme, copierea, comentarea și compilarea materialului didactic au rămas singura formă de a trata subiectele matematicii. Abia în Evul Mediu s- a dezvoltat metoda oarecum mai critică a scolasticismului , cu care opiniile doctrinare au fost verificate pentru contradicții în pro și contra lor și acestea au fost rezolvate, dacă este posibil, în conformitate cu punctele de vedere ale autorităților ecleziastice și antice, care au fost considerate fundamentale.

Această metodă a fost aplicată reprezentărilor științei antice, în special celei lui Aristotel, din secolul al XII-lea. În secolul al XII-lea universitățile din Paris și Oxford au devenit centrul european al activității științifice. Robert Grosseteste (1168–1253) și elevul său Roger Bacon (1214–1292) au conceput o nouă paradigmă științifică. Nu apelul către autoritățile ecleziastice sau antice, ci mai degrabă experimentul ar trebui să determine în mod semnificativ evaluarea corectitudinii. Papa Clement al IV-lea i-a cerut lui Roger Bacon în 1266 să împărtășească opiniile și sugestiile sale pentru remedierea deficiențelor științifice. Bacon a scris mai multe cărți ca răspuns, inclusiv Opus Maius . Bacon a subliniat importanța matematicii ca cheie a științei; s-a ocupat în special de geometria aplicată opticii. Din păcate, Papa a murit înainte ca cartea să ajungă la el. O altă contribuție importantă a lui Bacon se referă la reforma calendaristică, pe care a solicitat-o, dar care nu a fost pusă în aplicare până în 1582 ca reformă calendaristică gregoriană .

O dezvoltare metodologică importantă în știință a fost cuantificarea calităților ca cheie pentru descrierea cantitativă a proceselor. Nikolaus von Oresme (1323-1382) a fost unul dintre primii care s-a ocupat de schimbarea intensităților. Oresme a studiat diferite forme de mișcare. El a dezvoltat un fel de descriere funcțională, trasând viteza în timp. El a clasificat diferitele forme de mișcare și a căutat conexiuni funcționale.

Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)

Oresme, dar și Thomas Bradwardine (1295–1349), Wilhelm von Ockham (1288–1348), Johannes Buridan (aproximativ între 1300 și 1361) și alți cercetători de la Colegiul Merton au examinat descrierea funcțională a relațiilor dintre viteză, forță și locație, pe scurt: s-au ocupat de cinetică . De asemenea, s-au făcut progrese importante din punct de vedere metodologic. Grosseteste a formulat principiul uniformității naturii, conform căruia corpurile de aceeași natură se comportă în același mod în aceleași condiții. Aici devine clar că, chiar și atunci, savanții au fost conștienți de faptul că circumstanțele în care este privit un anumit comportament trebuie verificate dacă se vor face comparații. Mai mult, Grosseteste a formulat principiul economiei descrierii, potrivit căruia, în aceleași circumstanțe, trebuie preferate acele argumente care necesită un răspuns mai mic la întrebări sau mai puține ipoteze pentru o dovadă completă. William Ockham a fost unul dintre cei mai mari logicieni ai vremii, iar aparatul de ras al lui Ockham este renumit , un principiu care spune că o teorie ar trebui să conțină întotdeauna cât mai puține presupuneri și concepte posibil.

Savanții vremii erau adesea și teologi. Preocuparea pentru întrebări spirituale precum B. atotputernicia lui Dumnezeu i-a condus la întrebări despre infinit. În acest context, ar trebui menționat Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus) (1401–1464), care a fost unul dintre primii care a descris infinitul lumii , chiar înainte de Galileo sau Giordano Bruno . Principiul său al coincidentia oppositorum mărturisește o profundă preocupare filozofică cu tema infinitului.

Matematică practică

Spre sfârșitul Evului Mediu au apărut catedralele Europei, a căror construcție a cerut complet noi stăpânirea staticii și a provocat excelența tehnologică în acest domeniu. În acest context, problemele geometrice au fost, de asemenea, tratate în mod repetat. Un manual important care se ocupă de arhitectură, colibele de pe site - ul din Villard de Honnecourt .

În domeniul geometriei topografice, s-au realizat progrese constante în Evul Mediu, în special geometria geodeziei în secolul al XI-lea , pe baza unei cărți a lui Boëthius , iar în secolul al XII-lea Geometria practica mai convențională de Hugo von St. Victor ( 1096 -1141). În secolul al XIII-lea, Levi ben Gershon (1288–1344) a descris un nou dispozitiv de măsurare, așa-numitul toiag al lui Iacov .

Începutul economiei monetare

Leonardo da Pisa (Fibonacci), portret fantastic

Odată cu începerea unei economii bazată nu pe schimbul de mărfuri, ci pe bani, au apărut noi domenii de aplicare a matematicii. Acest lucru se aplică în special Italiei, care la acea vreme era un punct de transbordare a mărfurilor către și dinspre Europa și al cărui rol principal în finanțe și bancare la acea vreme este încă evident astăzi în utilizarea cuvintelor precum „cont”, „brut” ”Și„ net ”. Afectează. În acest context, ar trebui menționați în mod special Leonardo da Pisa, numit Fibonacci , și Liber abbaci , care nu are nimic de-a face cu abacul ca tablou de calcul, ci mai degrabă cuvântul abacus sau „abbacco” ca sinonim pentru, conform un limbaj care se ivea în Italia în acest moment Matematica și aritmetica utilizate. În matematica lui Fibonacci, a avut loc o sinteză de aritmetică comercială, matematică tradițională greco-latină și noi metode de matematică arabă și (mediată în arabă), care a fost unică în Evul Mediu. Matematic mai puțin solicitante, dar mai orientate spre cerințele practice ale bancherilor și comercianților, au fost numeroasele cărți aritmetice care au fost scrise în italiană ca manuale despre aritmetica practică și mercantilă din secolul al XIV-lea.

Matematica modernă timpurie

Matematica arabă a venit prin Spania, unde a maurii au fost expulzați din Europa în cursul Reconquista , cât și prin relațiile comerciale cu Europa și matematică lor au influențat ulterior european fundamental. Termeni precum algebră , algoritm și cifre arabe revin la el. În timpul Renașterii, clasicele antice și alte lucrări au devenit disponibile pe scară largă prin intermediul tipografiei. Arta Renașterii a dus la dezvoltarea perspectivei (inclusiv Albrecht Dürer , Filippo Brunelleschi , Leon Battista Alberti , Piero della Francesca ) și geometria descriptivă și geometria proiectivă aferentă ( Gérard Desargues ) și-a avut și originea în arhitectură. Călătoriile de descoperire au condus la evoluții în cartografie și navigație ( problema longitudinii acute lungi ), iar topografia terenului ( geodezie ) a fost importantă pentru dezvoltarea statelor teritoriale. Cerințele practice ale inginerilor (nu în ultimul rând de natură militară) precum Simon Stevin (fracții zecimale) și astronomi au condus la îmbunătățiri ale tehnologiei de calcul, în special prin invenția logaritmilor ( John Napier , Jost Bürgi ).

În Germania, proverbialul Adam Ries (e) a explicat aritmetica compatrioților săi în limba locală, iar utilizarea numerelor indiene în locul cifrelor romane impracticabile a devenit populară. În 1544, Arithmetica integra , un rezumat al aritmeticii și algebrei cunoscute de atunci de Michael Stifel , a fost tipărit la Nürnberg . În Franța, René Descartes a descoperit că geometria, care fusese predată de Euclid până atunci , poate fi descrisă și algebric și, dimpotrivă, ecuațiile algebrice pot fi interpretate geometric (geometrie analitică ) după introducerea unui sistem de coordonate . Un schimb de scrisori între Blaise Pascal și Pierre de Fermat în 1654 despre problemele jocurilor de noroc este considerat a fi nașterea teoriei clasice a probabilității .

Blaise Pascal a fost, de asemenea, unul dintre fondatorii combinatoriei ( coeficienți binomiali , triunghiul lui Pascal ) și a construit una dintre primele mașini de calculat. François Viète a folosit sistematic variabile (necunoscute) în ecuații. Cu aceasta, algebra a fost formalizată în continuare. Pierre de Fermat, care era judecător cu normă întreagă, a oferit rezultate importante în calculul variațiilor și în teoria numerelor (rezolvarea ecuațiilor algebrice în numere întregi, așa-numitele probleme diofantine ), în special „ teorema micului Fermat ” și a formulat „ Teorema lui Fermat mare ”. El a susținut că ecuația nu are soluții întregi pozitive dacă . În marginea ediției sale a Aritmeticii Diofantului din Alexandria, el a scris propoziția: „Am găsit o dovadă minunată, dar, din păcate, marja este prea îngustă pentru aceasta”. Timp de secole, matematicienii au căutat în zadar această presupusă dovadă. Dovada teoremei a fost posibilă numai secole mai târziu (1995) folosind metode inaccesibile Fermat (vezi mai jos). În Italia, Cardano și Tartaglia au găsit formula algebrică pentru soluțiile ecuației cubice , Ferrari ecuația gradului 4. Căutarea unor formule suplimentare pentru rezolvarea ecuațiilor superioare nu s-a încheiat decât în teoria Galois din secolul al XIX-lea.

Dezvoltarea calculului infinitesimal

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz

Problema determinării tangențelor la curbe ( calcul diferențial ) și a zonelor sub curbe ( calcul integral ) a ocupat mulți matematicieni ai secolului al XVII-lea, cu contribuții importante de, de exemplu, Bonaventura Cavalieri , Johannes Kepler , Gilles de Roberval , Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , René Descartes, Isaac Barrow (care l-a influențat pe Newton) și Christian Huygens (care l-a influențat în special pe Leibniz).

Independent unul de celălalt, Isaac Newton și Leibniz au dezvoltat una dintre cele mai de amploare descoperiri în matematică, calculul infinitezimal și, astfel, conceptul de derivare și conexiune a calculului diferențial și integral folosind teorema fundamentală a analizei . Pentru a face față problemei dimensiunilor infinit de mici, Newton a argumentat în principal despre viteze (fluxuri) . Leibniz a dat o formulare mai elegantă a calculului infinitesimal și a justificat numele și semnul integral . Între cei doi matematicieni și studenții lor, a existat mai târziu o dispută prelungită cu privire la prioritate, care a ajuns, de asemenea, într-o contradicție între matematica continentală europeană și cea engleză. Versatile, dar mai degrabă interesate din punct de vedere filosofic, Leibniz nu s-au apropiat de Newton, care a fost personal foarte dificil și controversat în ceea ce privește abilitățile matematice (Leibniz fusese anterior în corespondență cu Newton, care a văzut-o în așa fel încât era esențial pentru el În acest fel, a prezentat rezultate pe care Newton nu le-a publicat, ci le-a vehiculat printre matematicienii selectați), dar a primit sprijin de la matematicienii europeni continentali, în special matematicienii supradotați ai familiei Bernoulli din Elveția.

În același timp, Isaac Newton a pus bazele mecanicii teoretice și ale fizicii teoretice în celebra sa lucrare principală Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . El nu a folosit limbajul analizei, dar și-a formulat propozițiile în stilul geometric clasic, dar contemporanilor săi le-a fost clar că le-a câștigat cu ajutorul analizei, iar fizica teoretică și mecanica au fost apoi folosite și în acest limbaj în secolul al XVIII-lea s-a extins.

Pe de altă parte, Leibniz a venit cu idei pentru o algebră universală, determinanți , numere binare și o mașină de calcul .

Matematica în secolul al XVIII-lea

Metodele de calcul au fost dezvoltate în continuare, chiar dacă cerințele pentru rigoarea matematică erau încă foarte scăzute la acel moment, pe care unii filozofi, precum George Berkeley, îl critică aspru. Unul dintre cei mai productivi matematicieni din acea vreme a fost elvețianul Leonhard Euler . O mare parte din simbolismul „modern” folosit astăzi se întoarce la Euler. În plus față de contribuțiile sale la analiză, printre multe alte îmbunătățiri ale notației, el a fost primul care a introdus simbolul  i ca soluție la ecuația x 2 = -1. Preistoria numerelor complexe s-a întors la Cardano și la alți matematicieni renascențiali, dar această extindere a gamei de numere a cauzat dificultăți pentru imaginația majorității matematicienilor pentru o lungă perioadă de timp și adevărata lor descoperire în matematică a fost realizată abia în secolul al XIX-lea, după o interpretare atunci când au fost descoperiți vectori bidimensionali ( Caspar Wessel 1799, Jean-Robert Argand , Gauß). Numeroase aplicații ale matematicii în fizică și mecanică provin, de asemenea, de la Euler.

Euler a speculat, de asemenea, despre cum ar putea arăta un situs de analiză , descrierea relațiilor de poziție a obiectelor fără utilizarea unei metrice (măsurarea lungimii și unghiului). Această idee a fost ulterior extinsă în clădirea teoretică a topologiei . Prima contribuție a lui Euler la aceasta a fost soluția problemei podului Königsberg și înlocuirea poliedrului său . O altă conexiune fundamentală între două domenii îndepărtate ale matematicii, analiza și teoria numerelor , revine, de asemenea, la el. Euler a fost primul care a descoperit legătura dintre funcția zeta și numerele prime , pe care Bernhard Riemann a făcut baza teoriei analitice a numerelor în secolul al XIX-lea. Contribuții ulterioare la analiza timpului și aplicarea acestuia au venit de la Bernoullis (în special Johann I Bernoulli , Daniel Bernoulli ), Lagrange și D'Alembert , în special dezvoltarea și aplicarea calculului variațiilor pentru soluționarea multor probleme din mecanică. Un centru de dezvoltare a fost Franța și Parisul, unde, după Revoluția Franceză și sub Napoleon, matematica a decolat în școlile de inginerie nou înființate (în special Ecole Politechnique ). Matematicieni precum Jakob I Bernoulli la începutul secolului, Abraham de Moivre , Laplace și Thomas Bayes din Anglia au dezvoltat teoria probabilității .

Lagrange a adus contribuții importante la algebră (forme pătratice, teoria ecuațiilor) și teoria numerelor, Adrien-Marie Legendre la analiză (funcții eliptice etc.) și teoria numerelor și Gaspard Monge la geometria descriptivă.

Matematica în secolul al XIX-lea

Augustin-Louis Cauchy

Din secolul al XIX-lea, elementele de bază ale termenilor matematici au fost puse la îndoială și justificate. Augustin-Louis Cauchy a stabilit definiția valorii limită . De asemenea, el a pus bazele teoriei funcției . Legătura strânsă dintre dezvoltarea fizicii și mecanicii și analiza din secolul al XVIII-lea a rămas și mulți matematicieni au fost în același timp fizicieni teoretici, care nu erau încă separați în acel moment. Un exemplu de conexiune este dezvoltarea analizei Fourier de către Joseph Fourier . Una dintre temele centrale ale secolului al XIX-lea, studiul funcțiilor speciale, în special funcțiile eliptice și generalizările acestora (au jucat un rol important aici Niels Henrik Abel și Carl Gustav Jacobi ) și geometria algebrică a curbelor și suprafețelor cu legături cu teoria funcțiilor (inclusiv Bernhard Riemann cu ideea sa de suprafață Riemann , Alfred Clebsch , Felix Klein și școala italiană pentru suprafețe algebrice). O abundență de rezultate individuale au fost descoperite în cele mai variate domenii, dar ordinea și justificarea lor strictă ar putea fi adesea efectuate doar în secolul al XX-lea. Ca și în secolul al XVIII-lea, mecanica cerească a rămas un domeniu larg de activitate pentru matematicieni și o sursă de evoluții în matematică .

Francezul Évariste Galois , care a fost ucis tânăr într-un duel, a folosit metode ale teoriei grupurilor în teoria sa Galois pentru a investiga solvabilitatea ecuațiilor algebrice, ceea ce a dus la dovada insolubilității generale a ecuațiilor polinomiale (gradul 5 și superior) de către radical (operațiuni root). Acest lucru a fost arătat independent de Niels Henrik Abel. Cu ajutorul teoriei lui Galois, unele dintre problemele clasice ale antichității au fost recunoscute ca nerezolvabile, și anume trisecția unghiului și dublarea cubului ( Pierre Wantzel a reușit însă fără teoria lui Galois). Cadrarea cercului a fost făcută doar dovedind transcendența de către Ferdinand Lindemann . Au apărut noi geometrii, în special geometria proiectivă ( Jean-Victor Poncelet , Jakob Steiner , Karl von Staudt ) a fost mult extinsă și Felix Klein a aranjat aceste și alte geometrii cu ajutorul conceptului grupului de transformare ( programul Erlanger ).

Algebricele și-au dat seama că nu se poate calcula numai cu numere; tot ce aveți nevoie sunt comenzi rapide. Această idee a fost formalizată în grupuri (de ex. Galois, Arthur Cayley , Camille Jordan , Ferdinand Georg Frobenius ), inele , idealuri și corpuri (inclusiv Galois, corpurile finite sunt numite corpuri Galois după Galois), cu algebraiști în Germania precum Richard Dedekind , Leopold Kronecker a jucat un rol important. Norvegianul Sophus Lie a studiat proprietățile simetriilor . Prin teoria sa, ideile algebrice au fost introduse în analiză și fizică. Teoriile moderne ale câmpului cuantic se bazează în esență pe grupuri de simetrie. Conceptul vector a fost creat (de Hermann Grassmann printre alții ) și conceptul concurent al cuaternionelor (de William Rowan Hamilton ), un exemplu al multor structuri algebrice nou descoperite, precum și teoria modernă a matricelor (algebră liniară).

Carl Friedrich Gauss
Bernhard Riemann

Doi dintre cei mai influenți matematicieni ai vremii, Carl Friedrich Gauß și Bernhard Riemann, au lucrat în Göttingen . În plus față de cunoștințele fundamentale în analiză, teoria numerelor și teoria funcției, ei și alții au creat geometrie diferențială cu conceptul de curbură și generalizarea extinsă în dimensiuni superioare de către Riemann ( geometria Riemanniană ). Geometria non-euclidiene a făcut limitările secolelor au învățat în mod semnificativ sistemul de axiome euclidiene și a fost Nikolai Lobachevsky și János Bolyai motive (existența lor era cunoscută Gauss, dar nimic despre publicat). Cu Disquisitiones Arithmeticae, Gauss a pus bazele teoriei numerelor algebrice și a dovedit teorema fundamentală a algebrei .

La Berlin, Karl Weierstrass a înființat în special o școală matematică bazată pe fundamentul strict al analizei și fundamentarea teoriei funcției pe seriile de putere, în timp ce Riemann a fondat teoria funcției geometrice și a subliniat rolul topologiei. Studentul lui Weierstrass, Sofja Wassiljewna Kowalewskaja, a fost una dintre primele femei care a jucat un rol proeminent în matematică și prima profesor în matematică.

Georg Cantor a surprins cu conștientizarea faptului că poate exista mai mult de un „infinit”. El a definit pentru prima dată ce este un set și a devenit astfel fondatorul teoriei mulțimilor . Spre sfârșitul secolului al XIX-lea, Henri Poincaré a preluat un rol principal în matematică, printre altele a făcut progrese semnificative în topologia algebrică și teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale, ceea ce l-a făcut ulterior un precursor al teoriei haosului .

Noile cereri crescute privind rigoarea probelor și eforturile de axiomatizare a sub-zonelor matematice au fost reprezentate de Richard Dedekind în număr real, Giuseppe Peano în numerele naturale și David Hilbert în geometrie. După mii de ani, logica s-a transformat complet. Slavă Domnului Frege a inventat logica predicatului , prima inovație în acest domeniu de la Aristotel . În același timp, opera sa a marcat începutul crizei fundamentale în matematică .

Franța a cunoscut o mare revoltă în matematică după Revoluția Franceză, iar Germania a urmat exemplul la începutul secolului cu personalitatea de cercetare dominantă a lui Gauss, care, totuși, nu a format o școală și, ca Newton, avea obiceiul de a nu publicând chiar noi descoperiri semnificative. Sistemul german de seminarii de cercetare la universități s-a format mai întâi la Königsberg și apoi a devenit o componentă centrală a predării în centrele matematice din Göttingen și Berlin și apoi a avut un impact, de exemplu, în SUA, pentru care Germania a fost formativă în matematică . Și în Italia, matematica a decolat după independența țării, în special în geometria algebrică (școala italiană a lui Francesco Severi , Guido Castelnuovo și Federigo Enriques ) și bazele matematicii (Peano). Marea Britanie a fost deosebit de activă în fizica teoretică, dar școlile sale matematice au avut în mod repetat tendința de a lua căi speciale care le-au izolat de Europa continentală, cum ar fi adeziunea încăpățânată la stilul de analiză al lui Newton în secolul al XVIII-lea și accentul pus pe rolul cuaternionilor la sfârșit al secolului al XIX-lea. Felix Klein, care a lucrat ultima dată la Göttingen alături de Hilbert și a fost bine conectat, a preluat o poziție de lider în multe privințe în Germania spre sfârșitul secolului și a organizat un proiect de enciclopedie despre matematică și aplicațiile sale, care includea și matematicieni francezi. Înfrângerea din războiul franco-prusian din 1870/71 a acționat ca un stimulent pentru mulți matematicieni francezi, ca și în alte zone pentru a prinde un presupus deficit în creșterea Imperiului German, ceea ce a dus la o nouă înflorire a matematicii franceze. Primul război mondial a rupt și relațiile în matematică.

Matematică modernă

Secolul XX a cunoscut o expansiune fără precedent a matematicii, atât în ​​lățime, cât și în profunzime, care a eclipsat secolele precedente. Numărul matematicienilor și al utilizatorilor de matematică a crescut brusc, și în ceea ce privește numărul țărilor de origine și al femeilor. America și Uniunea Sovietică au preluat un rol de conducere, în special după cel de-al doilea război mondial, pe lângă națiunile tradiționale din Europa Centrală, dar și țări precum Japonia și China după deschiderea către Occident. Matematica a devenit o disciplină cheie datorită marilor progrese tehnologice din secolul al XX-lea și mai ales a digitalizării.

În 1900 Hilbert a formulat o serie de probleme celebre (problemele lui Hilbert ), care au servit adesea ca linii directoare pentru progresul ulterior și cele mai multe dintre ele au fost rezolvate sau aduse mai aproape de o soluție în cursul secolului al XX-lea. O preocupare a matematicii moderne a fost necesitatea de a consolida fundamentele acestei științe odată pentru totdeauna. Totuși, acest lucru a început cu o criză de la începutul secolului al XX-lea: Bertrand Russell a recunoscut importanța operei lui Frege. În același timp, totuși, a descoperit și contradicții insolubile, care erau legate de paradoxurile infinitului ( antinomia lui Russell ). Această realizare a zguduit toată matematica. Au fost făcute mai multe încercări de salvare: Russell și Alfred North Whitehead au încercat în lucrarea lor de câteva mii de pagini Principia Mathematica să construiască o fundație cu ajutorul teoriei tipurilor . Alternativ, Ernst Zermelo și Abraham Fraenkel au stabilit teoria seturilor în mod axiomatic ( teoria seturilor Zermelo-Fraenkel ). Aceasta din urmă a prevalat deoarece puținele sale axiome sunt mult mai ușor de gestionat decât prezentarea dificilă a Principiei Mathematica .

David Hilbert , fotografie din 1886
Kurt Gödel (1925)

Dar au rămas îndoielile cu privire la elementele de bază. David Hilbert , care a fondat o renumită școală în Göttingen și a revoluționat o mare varietate de discipline matematice (de la geometrie, teoria numerelor algebrice, analiza funcțională cu contribuții la fizică la fundamentele matematicii), totuși, sa concentrat în mod esențial pe un domeniu în perioadele creative individuale. și a renunțat complet la domeniile de cercetare anterioare, s-a îndreptat în ultima sa fază creativă către fundamentele matematicii și formalizarea dovezilor matematice. Pentru Hilbert și școala sa formalistă, dovezile erau doar o serie de deducții din axiome, o serie de simboluri și, potrivit unei celebre ziceri a lui Hilbert referitoare la axiomatizarea geometriei, punctelor, liniilor și planurilor în limbajul formulelor ar trebui ori Pentru a putea înlocui mesele, scaunele și cănile de bere , erau importante doar axiomele și regulile de derivare. Teorema incompletitudinii lui Kurt Gödel a arătat, totuși, că în orice sistem formal suficient de extins pentru a construi aritmetica numerelor naturale, există teoreme care nu pot fi nici dovedite, nici respinse. Matematicieni și logicieni precum Gerhard Gentzen au dovedit consistența sub-ariilor matematice (fiecare cu recurs la principii care depășesc aceste sub-arii). O altă direcție, care a început la începutul secolului cu intuiționismul lui Brouwers , care a fost și unul dintre fondatorii topologiei set-teoretice, a încercat să construiască matematică constructivă bazată pe pași finiti , în care totuși trebuia să renunțe importante teoreme ale matematicii.

În plus față de logică, alte domenii ale matematicii au fost din ce în ce mai abstracte și plasate pe baze axiomatice, în care David Hilbert și școala sa au jucat un rol principal. Matematicieni francezi precum Henri Lebesgue ( integral Lebesgue ), Jacques Hadamard și Emile Borel (teoria măsurătorilor), Școala Hilbert din Göttingen și școala poloneză sub figura sa de frunte Stefan Banach au fost centrele dezvoltării analizei funcționale , adică a investigării infinitului spații funcționale dimensionale. Cu ajutorul spațiilor Banach și dualităților lor , multe probleme, de exemplu ecuațiile integrale , pot fi rezolvate foarte elegant. Școala poloneză din perioada interbelică a fost, de asemenea, un lider în topologie și cercetare matematică de bază, iar matematicienii ruși s-au concentrat, de asemenea, inițial pe analiza funcțională ( Școala Lusin , Andrei Kolmogorow ) și topologia (inclusiv Pawel Sergejewitsch Alexandrow , Lev Pontryagin ). Matematica a fost fertilizată prin dezvoltarea de noi teorii fizice, în special mecanica cuantică (cu o legătură în special cu analiza funcțională) și teoria relativității , care a promovat calculul tensorial și geometria diferențială. În distribuțiile ( Laurent Schwartz , Serghei Lwowitsch Sobolew ) a analizei funcționale au fost introduse pentru prima dată de Paul Dirac în mecanica cuantică. Acest lucru, la rândul său, a beneficiat de dezvoltarea teoriei spectrale a operatorilor liniari (algebră liniară într-un număr infinit de dimensiuni).

Andrei Kolmogorov a dat o justificare axiomatică a probabilității . Pentru el, probabilitatea este similară cu zona și poate fi tratată cu metode de teoria măsurătorilor . Acest lucru a oferit acestui domeniu o bază sigură, chiar dacă disputele privind problemele de interpretare au continuat (a se vedea și istoricul calculului probabilității ). O mare sursă de „matematică utilă” a fost dezvoltarea diverselor metode statistice ( Ronald Aylmer Fisher , Karl Pearson , Abraham Wald , Kolmogorow și alții) cu aplicații largi în experimentare, medicină, dar și în științele sociale și umane, cercetarea pieței și politica.

Rolul principal al Școlii Hilbert s-a încheiat cu național-socialismul, care a fost exprimat și în matematică printre reprezentanții matematicii germane și expulzarea majorității oamenilor de știință evrei din funcțiile lor universitare. Mulți și-au găsit refugiu în Statele Unite și în alte părți și acolo au stimulat dezvoltarea matematicii.

John von Neumann

În timpul celui de-al doilea război mondial, a existat o mare nevoie de rezolvare a problemelor matematice specifice în scopuri militare, de exemplu în dezvoltarea bombei atomice, a radarului sau a decodificării codurilor. John von Neumann și Alan Turing , care au dezvoltat anterior conceptul abstract al unei mașini de calcul universale în teoria predictibilității , au lucrat la proiecte informatice specifice. Calculatorul și-a găsit drumul în matematică. Acest lucru a dus la un progres dramatic în matematica numerică . Cu ajutorul computerului, problemele complexe care nu au putut fi rezolvate manual pot fi acum calculate relativ rapid, iar experimentarea numerică a făcut multe fenomene noi accesibile în primul rând ( matematică experimentală ).

Abstracția și formalizarea au atins un punct culminant în opera colectivului de autor Nicolas Bourbaki , care a inclus matematicieni de frunte în Franța (și nu numai), precum André Weil , Jean-Pierre Serre , Henri Cartan și Claude Chevalley și ale căror întâlniri au început încă din sfârșitul anilor 1930. După căderea Școlii Hilbert și expulzarea multor matematicieni de către național-socialiști după război, de care au beneficiat în special SUA, aceștia au preluat un rol de lider în concepția structurală a matematicii și, inițial, în referința conștientă la Göttingen școala algebrică a dorit să depășească curriculum-ul orientat spre analiză în Franța, dar în curând a avut și un impact mult dincolo de acesta (cu noua matematică din programa școlară din anii 1960 și 1970).

Semnificativă în a doua jumătate a secolului al XX-lea a fost răsturnarea fundamentală în geometria algebrică , în primul rând prin opera lui Alexander Grothendieck și a școlii sale, precum și dezvoltarea largă a topologiei algebrice și - în unele cazuri, dezvoltarea teoriei categoriilor . Aceasta a reprezentat o creștere suplimentară a abstractizării după dezvoltarea algebrei abstracte în prima jumătate a secolului XX, în special în școala lui Emmy Noether, și a oferit noi abordări și moduri de gândire care au devenit eficiente în părți mari ale matematicii. Teoria categoriilor oferea o alternativă la teoria seturilor ca teorie a structurilor de bază.

În plus față de tendința spre abstractizare, a existat întotdeauna o tendință în matematică de a explora în detaliu obiecte concrete. Aceste studii erau, de asemenea, deosebit de potrivite pentru a aduce rolul matematicii mai aproape de public (de exemplu, fractali din anii 1980 și teoria haosului, teoria catastrofei din anii 1970).

Andrew Wiles

Noi evoluții importante, cum ar fi rata indicelui Atiyah-Singer sau dovezile conjecturilor Weil, sunt reflectate în premiile Fields Medal și Premiul Abel . Multe probleme, unele dintre ele vechi de secole, au fost rezolvate în secolul al XX-lea, cum ar fi problema cu patru culori , conjectura Kepler (ambele cu ajutorul computerului), teorema clasificării grupurilor finite , conjectura Mordell ( Gerd Faltings ), conjectura lui Poincaré (de Grigori Perelman 2002) și în cele din urmă în 1995 de teorema lui Fermat de către Andrew Wiles . Afirmația lui Fermat conform căreia marginea unei pagini de carte era prea îngustă pentru o dovadă a fost confirmată: dovada lui Wiles are peste 100 de pagini și avea nevoie de instrumente care să depășească cunoștințele matematice din timpul lui Fermat. Unele probleme au fost recunoscute ca fiind în principal nerezolvabile (cum ar fi ipoteza continuumului de către Paul Cohen ), au fost adăugate multe noi probleme (cum ar fi conjectura abc ), iar ipoteza Riemann este una dintre puținele probleme de pe lista Hilbert a cărei dovadă continuă în ciuda marile eforturi ale multor matematicieni par departe. O listă a problemelor cheie nerezolvate în matematică este Lista problemelor mileniului . La sfârșitul secolului a existat din nou o interacțiune puternică între matematică și fizică prin teoriile câmpului cuantic și teoria șirurilor cu conexiuni surprinzătoare și adânc în diferite domenii ale matematicii (algebre Lie infinit dimensionale, supersimetrie, dualități cu aplicații în contorizarea geometriei algebrice , teoria nodurilor etc.). Înainte de aceasta, fizica elementară a particulelor a beneficiat de matematică în special prin clasificarea grupelor de simetrie continuă, grupurile Lie, algebrele lor Lie și reprezentările lor ( Elie Cartan , Wilhelm Killing în secolul al XIX-lea), iar grupurile Lie sunt, de asemenea, un element central, tema unificatoare a matematicii în secolul 20. Secol cu ​​o mare varietate de aplicații în cadrul matematicii la teoria numerelor ( programul Langlands ).

Vezi si

Portal: Matematică  - Prezentare generală a conținutului Wikipedia pe tema matematicii

literatură

Biografiile matematicienilor pot fi găsite în:

Link-uri web

Commons : Istoria matematicii  - Colecție de imagini, videoclipuri și fișiere audio
Wikisursă: Matematică  - Surse și texte complete
Wikisursă: Cărți aritmetice  - surse și texte complete

Dovezi individuale

  1. ^ Howard Eves : Introducere în istoria matematicii . Ediția a 6-a, 1990 p. 9.
  2. ↑ Papirusul Moscovei
  3. ^ Heinz-Wilhelm Alten și colab.: 4000 de ani de algebră . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9 , p. 49.
  4. ↑ Istoria universală a numerelor Ifrah . Două mii și un capitol 29.
  5. ↑ „Toate datele date în istoria literară indiană sunt, ca să spunem așa, conuri dărâmate” din: Alois Payer: Introducere în exegeza textelor sanscrite. Script . Pelerină. 8: Exegeza propriu-zisă. Partea II: Cu privire la întrebări individuale de înțelegere sincronă ( online ).
  6. ↑ Vezi și Maya Mathematics , MacTutor.
  7. ↑ Vezi Thomas de Padova : Totul devine număr. Cum s-a reinventat matematica în Renaștere. Hanser, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3 .
  8. ↑ Vezi Joseph Ehrenfried Hofmann : Michael Stifel (1487? –1567). Viață, muncă și semnificație pentru matematica timpului său (= arhiva Sudhoffs . Supliment 9). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1968, ISBN 3-515-00293-6 .
  9. ↑ Calculul Istoric, McTutor
  10. ^ Moritz Cantor: Prelegeri despre istoria matematicii. Volumul 3, 1901, pp. 285-328 ( ediție digitală Univ. Heidelberg, 2014).
  11. ↑ Thomas Sonar: Istoria disputei prioritare dintre Leibniz și Newton . Springer Verlag, Berlin 2016.